2014年甘肅高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

2014年甘肅高考數(shù)學(xué)（理）試題及高考試題答案

全國(guó)卷新可標(biāo)2卷包括省份：吉林、寧夏、青海、新疆、云南、內(nèi)蒙古、貴州、甘肅、西藏等

整體數(shù)學(xué)考試難度：（五顆為很難）

2014年全國(guó)卷新課標(biāo)2卷高考數(shù)學(xué)（理）試題及答案【點(diǎn)擊前面下載】

學(xué)分網(wǎng)預(yù)祝甘肅考生在2015年的高考中取得驕人的成績(jī)，走進(jìn)理想的校園。

2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科

（新課標(biāo)卷二Ⅱ）

第Ⅰ卷

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合M=｛0,1,2｝，N=，則=( )

A. ｛1｝

B. ｛2｝

C. ｛0，1｝

D. ｛1，2｝

2.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，zxxk，則（ ）

A. - 5

B. 5

C. - 4+ i

D. - 4 - i

3.設(shè)向量a,b滿(mǎn)足|a+b|=，|a-b|=，則ab = ( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

4.鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC= ，則AC=( )

A. 5

B.

C. 2

D. 1

5.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（ ）

A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

6.如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1（表示1cm）,圖中粗線(xiàn)畫(huà)出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為（ ）

A. B. C. D.

7.執(zhí)行右圖程序框圖，如果輸入的x,t均為2，則輸出的S= （ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8.設(shè)曲線(xiàn)y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為y=2x，則a=

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

9.設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為（ ）

A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

10.設(shè)F為拋物線(xiàn)C:的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線(xiàn)交C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（ ）

A. B. C. D.

11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，

則BM與AN所成的角的余弦值為（ ）

A. B. C. D.

12.設(shè)函數(shù).若存在的極值點(diǎn)滿(mǎn)足，則m的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生必須做答.第22題~第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答.本試題由http://www.aiweibaby.com整理

二.填空題

13.的展開(kāi)式中，的系數(shù)為15，則a=________.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)

14.函數(shù)的最大值為_(kāi)________.

15.已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是__________.

16.設(shè)點(diǎn)M（,1），若在圓O:上存在點(diǎn)N，使得zxxk∠OMN=45°，則的取值范圍是________.

三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.（本小題滿(mǎn)分12分）

已知數(shù)列滿(mǎn)足=1，.

（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）證明：.

18. （本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.

19. （本小題滿(mǎn)分12分）

某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

（Ⅰ）求y關(guān)于t的線(xiàn)性回歸方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

附：回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：

，

20. （本小題滿(mǎn)分12分）

設(shè),分別是橢圓C:的左,右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線(xiàn)與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.

（Ⅰ）若直線(xiàn)MN的斜率為，求C的離心率；

（Ⅱ）若直線(xiàn)MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.

21. （本小題滿(mǎn)分12分）

已知函數(shù)=zxxk

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)時(shí)，,求的最大值；

（Ⅲ）已知，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）

請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，學(xué)分網(wǎng)同按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào).

22.（本小題滿(mǎn)分10）選修4—1：幾何證明選講

如圖，P是O外一點(diǎn)，PA是切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，割線(xiàn)PBC與O相交于點(diǎn)B，C，PC=2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交O于點(diǎn)E.證明：

（Ⅰ）BE=EC；

（Ⅱ）ADDE=2

23. （本小題滿(mǎn)分10）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸

為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為，

.zxxk

（Ⅰ）求C的參數(shù)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，根據(jù)（Ⅰ）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo).

24. （本小題滿(mǎn)分10）選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)=

（Ⅰ）證明：2；

（Ⅱ）若，求的取值范圍.

2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)試題參考答案

一、 選擇題

（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D

（ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C

二、 填空題

（13） （14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1]

三、解答題

（17）解：

（1）由得

又，所以，{ } 是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列。

=，因此{(lán)}的通項(xiàng)公式為=

（2）由（1）知=

因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，所以，

于是，=

所以，

（18）解：

（1）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)EO

因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)

又E為的PD的中點(diǎn)，所以EOPB

EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC

（2）因?yàn)镻A平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB,AD,AP兩兩垂直

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A—xyz,則D(0, ,0),則E(0, ,),=(0, ,)

設(shè)B(m,0,0)(m＞0)，則C（m, ，0）

設(shè)n(x,y,z)為平面ACE的法向量，

則{ 即{

可取=（,-1, ）

又=（1,0,0）為平面DAE的法向量，

由題設(shè)=，即

=，解得m=

因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐E-ACD的高為，三棱錐E-ACD的體積為

V==

19解：

（1） 由所得數(shù)據(jù)計(jì)算得

=（1+2+3+4+5+6+7）=4，

=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3

=9+4+1+0+1+4+9=28

=(-3) （-1.4）+（-2）（-1）+（-1）（-0.7）+00.1+10.5+20.9+31.6=14，

b===0.5

a=-b=4.3-0.54=2.3

所求回歸方程為=0.5t+2.3

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，b=0.5>0,故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.

將2015年的年份代號(hào)t=9代入（1）中的回歸方程，得

y=0.5×9+2.3=6.8

故預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元

（20）解：

（Ⅰ）根據(jù)c=以及題設(shè)知M（c，），2=3ac

將=-代入2=3ac，解得=，=-2（舍去）

故C的離心率為

（Ⅱ）由題意，原點(diǎn)O的的中點(diǎn)，M∥y軸，所以直線(xiàn)M與y軸的交點(diǎn)D是線(xiàn)段M的中點(diǎn)，故=4，即

①

由=得=

設(shè)N（x，y），由題意可知y<0,則 即

代入方程C，得+=1 ②

將①以及c=代入②得到+=1

解得a=7，

a=7，

（21）解

（Ⅰ）+-2≥0，等號(hào)僅當(dāng)x=0時(shí)成立，所以f（x）在（—∞，+∞）單調(diào)遞增

（Ⅱ）g（x）=f(2x)-4bf(x)=--4b(-)+(8b-4)x

(x)=2[++]=2(+)(+)

（1） 當(dāng)b2時(shí)，g’(x) 0,等號(hào)僅當(dāng)x=0時(shí)成立，所以g(x)在(-,+)單調(diào)遞增，而g(0)=0，所以對(duì)任意x>0,g(x)>0;

（2） 當(dāng)b>2時(shí)，若x滿(mǎn)足，2< <2b-2即 0<x<ln(b-1+)時(shí)g’(x)<0,而

g（0）=0,因此當(dāng)0<Xln(b-1+)時(shí)，g(x)<0

綜上，b的最大值為2

（3） 由（2）知，g(ln)=-2b+2(2b-1)ln2

當(dāng)b=2時(shí)，g(ln)=-4+6ln2>0,ln2>>0.6928

當(dāng)b=+1時(shí)，ln(b-1+)=ln

g(ln)=-2+(3+2)ln2<0

in2<<0.693

(22)解：

（1）連結(jié)AB,AC由題設(shè)知PA=PD,故PAD=PDA

因?yàn)镻DA=DAC+DCA

PAD=BAD+PAB

DCA=PAB

所以DAC=BAD,從而。。。。。。。

因此=

（2）由切割線(xiàn)定理得=PB*PC

因?yàn)镻A=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB

由相交弦定理得AD*DE=BD*DC

所以，AD*DE=2

(23)解：

（1）C的普通方程為

+=1(0)

可得C的參數(shù)方程（t為參數(shù)，0

（Ⅱ）設(shè)D（1+cost,sint).由（Ⅰ）知C是以G（1,0）為圓心，1為半徑的上半圓。

因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線(xiàn)與I垂直，所以直線(xiàn)GD與I的斜率相同。

tant=，t=π/3.

故D的直角坐標(biāo)為（1+cosπ/3，sinπ/3）,即（3/2, /2）.

(24)解：

（Ⅰ）由a>0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2.

所以f（x）≥2.

（Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.

當(dāng)a＞3時(shí)，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜

當(dāng)0<a≤3時(shí)，f（3）=6-a+，f（3）<5得<a≤3

綜上所訴，a的取值范圍為（）