2023年導(dǎo)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)例題(3篇)

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導(dǎo)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)例題篇一

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識與技能目標(biāo)：掌握導(dǎo)數(shù)的概念，并能夠利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算導(dǎo)數(shù).（2）過程與方法目標(biāo)：通過引入導(dǎo)數(shù)的概念這一過程，讓學(xué)生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領(lǐng)悟極限思想；提高類比歸納、抽象概括的思維能力．

（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

通過合作與交流，讓學(xué)生感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的熱愛，養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度．

2.教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義和利用定義如何計(jì)算導(dǎo)數(shù)． 難點(diǎn)：對導(dǎo)數(shù)概念的理解．

3.教學(xué)方法

1.教法：引導(dǎo)式教學(xué)法

在提出問題的背景下，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究、合作交流的空間，指導(dǎo)學(xué)生類比探究形成導(dǎo)數(shù)概念的形成．

2.教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)

4.教學(xué)過程

（一）情境引入

導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類的實(shí)踐。導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（fermat）為研究極值問題而引入的，但導(dǎo)數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國數(shù)學(xué)家牛頓（newton）和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（leibniz）在研究力學(xué)與幾何學(xué)的過程中建立起來的。

17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類問題：

一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀(jì)是一個(gè)十分盛行的研究課題，早在公元1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家海倫（heron）就已經(jīng)證明了光的反射定律：光射向平面時(shí)，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時(shí)，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么，對于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。

cbcbaa

圖 1 光在平面上的反射 圖 2 光在球面上的反射

二是曲線運(yùn)動(dòng)的速度問題。對于直線運(yùn)動(dòng)，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。

三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個(gè)古老的難題。自古希臘以來，人們對圓弧和直線構(gòu)成的角——牛頭角（圖3中ab弧與ac構(gòu)成的角）和弓形角（圖4中ab與acb弧所構(gòu)成的角）即有過很多爭議。17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線

所構(gòu)成的角呢？這就需要確定曲線在交點(diǎn)處的切線。(二)探索新知

問題1 已知：勻加速直線運(yùn)動(dòng)方程為：s(t)?v0t?刻（t0?[0,t]）的瞬時(shí)速度。

問題解決：設(shè)t為t0的鄰近時(shí)刻，則落體在時(shí)間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

12at，t?[0,t]，求：物體在t0時(shí)2v?若t?t0時(shí)平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度。

問題2已知：曲線y?f(x)上點(diǎn)m(x0,y0)，求：m點(diǎn)處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設(shè)曲線c及曲線c上的一點(diǎn)m，如圖，在m外c上另外取一點(diǎn)n，作割線mn，當(dāng)n沿著c趨近點(diǎn)m時(shí)，如果割線mn繞點(diǎn)m旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置mt，直線mt就稱為曲線c在點(diǎn)m處的切線。

問題解決：取在c上m附近一點(diǎn)n(x,y)，于是割線pq的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線mn的傾角）?x?x0x?x0當(dāng)x?x0時(shí)，若上式極限存在，則極限

k?tan??為點(diǎn)m處的切線的斜率。

導(dǎo)數(shù)的定義

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，若極限limx?x0f(x)?fx(0)（?為割線mt的傾角）limx?x0x?x0f(x)?f(x0）存在，則稱函數(shù)

x?x0

f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱該極限為f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)。

即 f(x0)?（2）

也可記作y?x?x，of(x)?fx(0）

limx?x0x?x0dydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

dxx?xof在x0處可導(dǎo)的等價(jià)定義：

設(shè)x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價(jià)于?x?0，如果 函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，可等價(jià)表達(dá)成為以下幾種形式：

f(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

?f(x0)?lim?x?0?xx?x0?f(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

?x單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

在函數(shù)分段點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)等處，不得不考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù)：

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?x?0?x存在，則稱該極限為f在點(diǎn)x0的右導(dǎo)數(shù)，記作f?(x0)。

?左導(dǎo)數(shù)

f?(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：若函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，則f(x0)存在?f?(x0)，f?(x0)都存在，且f?(x0)=f?(x0)。

（三）知識鞏固

2例題1 求f(x)?x在點(diǎn)x?1處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程。

解：由定義可得：

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x附注：在解決切線問題時(shí)，要熟悉導(dǎo)數(shù)的定義，并能通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義來解決一般問題

例題2設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

證

f(x)?f(?x)?f(?x)?f(??x)

f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x 又f(0)?lim ?x?0 ?lim?x?0?f?(0)?0

附注：需要注意公式f(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的靈活運(yùn)用，它可以變化成其他的形式。

x?x0例3 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

證明

x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，???x?0x?0x?0x?0xx?0x?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

附注：判斷一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處是否可導(dǎo)，只需要考慮該點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)是否相等即可。

（四）應(yīng)用提高 求曲線y?x在點(diǎn)（－1，－1）處的切線方程為(a)x?2a.y=2x＋1 b.y=2x－1 c.y=－2x－3 d.y=－2x－2

（五）小結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的基本概念，在經(jīng)歷探究導(dǎo)數(shù)概念的過程中，讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)的形成，并對導(dǎo)數(shù)的幾何意義有較深刻的認(rèn)識。

本節(jié)課中所用數(shù)學(xué)思想方法：逼近、類比、特殊到一般。

（六）作業(yè)布置

1．已知f(1)?2012，計(jì)算：

f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)(2)lim

?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim

?x?0?x?04?x?x(1)lim2.計(jì)算函數(shù)f(x)??2x?3在點(diǎn)（1，1）處切線的方程。2

導(dǎo)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)例題篇二

幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

一、課題引入

情境一：我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度．那么，對于函數(shù)y?f(x)，如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？ 問題1：導(dǎo)數(shù)是用什么來定義的？（平均變化率的極限）

問題2：平均變化率的極限如何計(jì)算？（求增量，求比值，取極限）

問題3：以上求導(dǎo)數(shù)的過程用起來是否方便？我們有沒有必要?dú)w結(jié)一下公式便于以后的運(yùn)算？ 情境二：

1.利用定義求出函數(shù)①y?c的導(dǎo)數(shù)

2.若y?c表示速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y??0可以如何解釋？如何描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？ 我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度．那么，對于函數(shù)y?f(x)，如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？

由導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，但這種方法在運(yùn)算上很麻煩，有時(shí)甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從這一節(jié)課開始我們將研究比較簡捷的求導(dǎo)數(shù)的方法，下面我們先求幾個(gè)常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 二．新課講授

1．函數(shù)y?f(x)?c的導(dǎo)數(shù) 知識點(diǎn)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因?yàn)?yf(x??x)?f(x)c?c???0 ?x?x?x?y?lim0?0 所以y??lim?x?0?x?x?0y??0表示函數(shù)y?c圖像（圖1.2-1）上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0．若y?c表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y??0可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為0，即物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài)． 2．函數(shù)y?f(x)?x的導(dǎo)數(shù)

?yf(x??x)?f(x)x??x?x???1 因?yàn)?x?x?x?y?lim1?1 所以y??lim?x?0?x?x?0y??1表示函數(shù)y?x圖像（圖1.2-2）上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為1．若y?x表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y??1可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為1的勻速運(yùn)動(dòng)． 練習(xí)：在同一直角坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)y?2x,y?3x,y?4x的圖象，求出它們的導(dǎo)數(shù)。

（1）從圖象上看，它們的導(dǎo)數(shù)分別表示什么?（2）這三個(gè)函數(shù)，哪一個(gè)增加得最快，哪一個(gè)增加的最慢？（3）函數(shù)y?kx?k?0?增（減）的快慢與什么有關(guān)？

3．函數(shù)y?f(x)?x2的導(dǎo)數(shù)

?yf(x??x)?f(x)(x??x)2?x2??因?yàn)??x?x?xx2?2x?x?(?x)2?x2??2x??x

?x所以y??lim?y?lim(2x??x)?2x

?x?0?x?x?0y??2x表示函數(shù)y?x2圖像（圖1.2-3）上點(diǎn)(x,y)處的切線的斜率都為2x，說明隨著x的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率來看，表明：當(dāng)x?0時(shí)，隨著x的增加，函數(shù)y?x2減少得越來越慢；當(dāng)x?0時(shí)，隨著x的增加，函數(shù)y?x2增加得越來越快．若y?x表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y??2x可以解釋為某物體做變速運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)刻x的瞬時(shí)速度為2x． 4．函數(shù)y?f(x)?21的導(dǎo)數(shù) x11??yf(x??x)?f(x)x??xx因?yàn)????x?x?x?x?(x??x)1??2

x(x??x)?xx?x??x?y11?lim(?2)??2

?x?0?x?x?0x?x??xx1練習(xí)作出函數(shù)y?的圖象，根據(jù)圖象，描述它的變化情況，并求出其在點(diǎn)（1，1）處的切x所以y??lim線方程

5．函數(shù)y?f?x??x的導(dǎo)數(shù)

x??x?x

?x因?yàn)?yf(x??x)?f?x????x?x

=?x??x?x?xx??x?x1x??x?x ???x??x?x??

=所以y??lim?y11 ?lim??x?0?x?x?0x??x?x2xnn?16.推廣：若f?x??x?n?q?，則f?(x)?nx

練習(xí)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（1）y?x3（2）y?1 x2（3）y?三．例題講解 3x（4）y?x2x

3例1．曲線y?x上哪一點(diǎn)的切線與直線y?3x?1平行？

解：設(shè)點(diǎn)p(x0,y0)為所求，則 它的切線斜率為k?3，∵f?(x)?3x，∴3x0?3，x0??1，∴p(1,1)或p(?1,?1)．

例2．證明：曲線xy?1上的任何一點(diǎn)p(x0,y0)(x0?0)的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是一個(gè)常數(shù)． 解：由xy?1，得y?∴y??()???221，x1x1，x2

∴k?f?(x0)??1，2x0過點(diǎn)p(x0,y0)的切線方程為

y?y0??1(x?x0)，2x02，x0令x?0得y?令y?0得x?2x0，∴過p(x0,y0)的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積

s?12??2x0?2是一個(gè)常數(shù)． 2x0四．課時(shí)小結(jié)

c??0，xn

五、作業(yè) ????nx?n?q? n?

1六、板書設(shè)計(jì)

七、教學(xué)反思

導(dǎo)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)例題篇三

一、《利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

激趣入境：

問題：試說出函數(shù)f?x??x2?2x?3的零點(diǎn)

設(shè)計(jì)意圖：引出零點(diǎn)的概念，并由簡單問題使學(xué)生回憶函數(shù)零點(diǎn)、方程根、函數(shù)圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系，為基本概念、思想轉(zhuǎn)化做知識性的必要鋪墊。

本環(huán)節(jié)由學(xué)生集體作答，問題簡單，都能給出答案 函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)化：

1、函數(shù)y?f?x?的零點(diǎn)?方程f?x??0的根?函數(shù)y?f?x?的圖象與x軸 （即y?0）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

2、推廣：函數(shù)h?x??f?x??g?x?的零點(diǎn)

?方程_________________即_________________的根；

?函數(shù)_________________和_________________的圖象的________________ 例如：

函數(shù)h?x??x?lnx的零點(diǎn)

?方程_________________即_________________的根；

?函數(shù)_________________和_________________的圖象的________________

設(shè)計(jì)意圖：由問題的表面認(rèn)識升華為理論層面，先給基本的轉(zhuǎn)化思想，然后再推廣到一般情況，為使學(xué)生靈活應(yīng)用和轉(zhuǎn)化打好基礎(chǔ)。例題的給出使學(xué)生對剛剛理解的轉(zhuǎn)化有立竿見影的認(rèn)識，并起到夯基釋義的作用。

此環(huán)節(jié)由教師提問，學(xué)生單獨(dú)作答，在推廣時(shí)學(xué)生遇到了一些問題，由其他學(xué)生補(bǔ)充回答，直到答案完整。

二、導(dǎo)引體驗(yàn)、合作探究：

例

1、已知函數(shù)f?x??x?3x?1，求f?x?的極值并畫出函數(shù)的草圖 3設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生在課前完成，即能復(fù)習(xí)前幾節(jié)的知識重點(diǎn)，同時(shí)為引出本節(jié)課的課題做好知識上的準(zhǔn)備

此題學(xué)生在課前完成，在此環(huán)節(jié)由某學(xué)生提前寫黑板上，由教師和學(xué)生共同核對、檢查，強(qiáng)調(diào)書寫格式和畫圖注意的問題

問題

1、根據(jù)圖象說出圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？與y?1，y??3，y?2，y??4呢？ __________________________________________________________________

問題

2、若函數(shù)圖象與y?m有三個(gè)不同交點(diǎn)，則m的范圍是什么？有兩個(gè)交點(diǎn)和一個(gè)交點(diǎn)呢？

__________________________________________________________________ 問題

3、若方程f?x??m?0有三個(gè)不等實(shí)根，則m的范圍是什么？若是有三個(gè)零點(diǎn)呢？ g?x??f??x?m___________________________________________________________________ 設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點(diǎn)，在例一的基礎(chǔ)上并結(jié)合幾何畫板，問題一讓學(xué)生對照圖像觀察定直線和定圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，數(shù)形結(jié)合，顯而易見，學(xué)生很容易接受，問題2要求學(xué)生逆向思維去考慮動(dòng)直線和定圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，幾何畫板動(dòng)態(tài)展示動(dòng)直線的運(yùn)動(dòng)過程，從而直觀觀察出圖象與動(dòng)直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)以及相關(guān)的要素即與極大值和極小值有關(guān)，問題迎刃而解，問題3回歸本節(jié)課的課題，使學(xué)生們清楚研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題實(shí)際上等價(jià)于研究函數(shù)的零點(diǎn)問題和方程根的問題。

此環(huán)節(jié)由教師提問，在教師用幾何畫板投影圖象的過程中，由學(xué)生看圖完成作答，此處是本節(jié)課難點(diǎn)也是重點(diǎn)，但經(jīng)過設(shè)計(jì)學(xué)生基本能接受并回答出。達(dá)標(biāo)訓(xùn)練

1、32已知函數(shù)f?x??x?3x?1，若直線y?m與y?f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：檢測學(xué)生對基本思想的落實(shí)情況，夯實(shí)基礎(chǔ)，并為后邊的變式及拓展延伸做好準(zhǔn)備。

本環(huán)節(jié)由學(xué)生自己完成，并找學(xué)生上黑板板書，在學(xué)生完成的過程中與學(xué)生交流，了解學(xué)生的完成情況與存在的問題，適當(dāng)提示和指導(dǎo)

32變式

1、已知函數(shù)f?x??x?3x?x?1，若直線y?x?m與曲線y?f?x?的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

32變式

2、已知函數(shù)f?x??x?3x?x?1，若直線y?x?m與曲線y?f?x?的圖象在?1??,3?上有三個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 ??2?設(shè)計(jì)意圖：層層遞進(jìn)，逐步加深，變式1是為強(qiáng)化三種問題的轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生從正確的思考方向出發(fā)，先由函數(shù)圖像交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程根的問題，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像和平行于x軸的動(dòng)直線的交點(diǎn)問題，在此歸納出解決此類問題的步驟即：轉(zhuǎn)化、求導(dǎo)找極值、畫圖、看圖取范圍，變式2在變式一的基礎(chǔ)上限定定義域，為學(xué)生指出問題的解決不僅和極值有關(guān)還和端點(diǎn)值有關(guān)

本環(huán)節(jié)采用提問式，因?yàn)槭菍?的變形，所以轉(zhuǎn)化之后與例一一致，對變式2采取數(shù)形結(jié)合的方法依然借助幾何畫板來挖掘本題所注意的問題 達(dá)標(biāo)訓(xùn)練

2、已知函數(shù)f?x???

1312x?x?2x，若關(guān)于x的方程 322

?1?f?x??x3?2x2?x?m?0在區(qū)間?,2?上恰有兩不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的范圍。

?2?設(shè)計(jì)意圖：舉一反三，夯基落實(shí)，強(qiáng)化對變式的理解和解決方法 由學(xué)生自己完成，教師給予適當(dāng)引導(dǎo)

三、

已知函數(shù)f?x???x2?8x與函數(shù)g?x??6lnx?m的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的范圍。

設(shè)計(jì)意圖：在函數(shù)形式上改變，引進(jìn)對數(shù)函數(shù)，既是對本節(jié)課的

總結(jié)

為學(xué)生點(diǎn)出需要注意的問題，讓學(xué)生課后自己完成四、小結(jié)歸納、（1）數(shù)形結(jié)合的思想

（2）函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題或方程根的個(gè)數(shù)問題最終轉(zhuǎn)化為平行與x軸的直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。

設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)本節(jié)課的知識重點(diǎn)，理清知識脈絡(luò)，使學(xué)生在整體對本節(jié)課有全面的認(rèn)識。

五、作業(yè)

學(xué)案：

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