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直線的傾斜角和斜率的關(guān)系 直線的傾斜角與斜率的概念篇一
（1）了解直線方程的概念.
（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.
（3）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（4）通過(guò)直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力.
（5）通過(guò)斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神.
建議
1.教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念；其次為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而實(shí)現(xiàn)了直線的方向或者說(shuō)直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變；最后推導(dǎo)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想方法.
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
①本節(jié)的重點(diǎn)是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開(kāi)的主線，無(wú)論是建立直線的方程，還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生對(duì)于用直線的傾斜角來(lái)刻畫(huà)直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個(gè)問(wèn)題卻并不容易接受.
2.教法建議
（1）本節(jié)課的任務(wù)有三大項(xiàng)：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學(xué)生思維也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應(yīng)的過(guò)程也有三個(gè)階段
①在中首先是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫(huà)直線的方向，如何定義這個(gè)角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫(huà)直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學(xué)生還會(huì)認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問(wèn)題，就要求幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數(shù) 的形式，下同）中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)：
(1)? α變化→直線變化→ 中的 系數(shù) 變化??? （同時(shí)注意 的變化）.
(2)? 中的 系數(shù) 變化→直線變化→α變化??? （同時(shí)注意 的變化）.
運(yùn)用上述正反兩種變化的動(dòng)態(tài)演示充分揭示直線方程中 系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系，這對(duì)幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的.
③在進(jìn)行過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式推導(dǎo)的中要注意與前后知識(shí)的聯(lián)系，課前要對(duì)平面向量，三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備.
④在學(xué)習(xí)直線方程的概念時(shí)要通過(guò)舉例清晰地指出兩個(gè)條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為將來(lái)學(xué)習(xí)曲線方程做好準(zhǔn)備.
（2）本節(jié)內(nèi)容在中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法，設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評(píng)價(jià)的模式.學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的討論、爭(zhēng)辯、交流、和評(píng)價(jià).傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項(xiàng)任務(wù)都是在討論、交流、評(píng)價(jià)中完成的.在此過(guò)程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展.的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)爭(zhēng)論，組織交流，參與評(píng)價(jià).
設(shè)計(jì)示例
目標(biāo)：
（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，
（2）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力.
（4）幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神.
重點(diǎn)、難點(diǎn)：直線斜率的概念和公式
用具：計(jì)算機(jī)
方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法，討論法
過(guò)程：
（一）直線方程的概念
如圖1，對(duì)于一次函數(shù) ，和它的圖像——直線 有下面關(guān)系：
（1）有序數(shù)對(duì)（0，1）滿足函數(shù) ，則直線上就有一點(diǎn)a，它的坐標(biāo)是（0，1）.
（2）反過(guò)來(lái)，直線上點(diǎn)b（1，3），則有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，3）就滿足 .?
一般地，滿足函數(shù)式 的每一對(duì) ， 的值，都是直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）；
反之，直線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）都滿足函數(shù)式 ，因此，一次函數(shù) 的圖象是一條直線，它是以滿足 的每一對(duì)x，y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.
從方程的角度看，函數(shù) 也可以看作是二元一次方程 ，這樣滿足一次函數(shù) 的每一對(duì) ， 的值“變成了”二元一次方程 的解，使方程和直線建立了聯(lián)系.
定義：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，這條直線上的所有點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個(gè)方程的直線.
以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標(biāo)的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .
問(wèn)：你能用充要條件敘述嗎？
答：一條直線是一個(gè)方程的直線，或者說(shuō)這個(gè)方程是這條直線的方程的充要條件是…….
（二）直線的傾斜角
【問(wèn)題1】
請(qǐng)畫(huà)出以下三個(gè)方程所表示的直線，并觀察它們的異同.
； ；
過(guò)定點(diǎn)，方向不同.
如何確定一條直線？
兩點(diǎn)確定一條直線.
還有其他方法嗎？或者說(shuō)如果只給出一點(diǎn)，要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件？
學(xué)生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說(shuō)傾斜程度.
【導(dǎo)入??】
今天我們就共同來(lái)研究如何刻畫(huà)直線的方向.
【問(wèn)題2】
在坐標(biāo)系中的一條直線，我們用怎樣的角來(lái)刻畫(huà)直線的方向呢？討論之前我們可以設(shè)想這個(gè)角應(yīng)該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問(wèn)題，同時(shí)還應(yīng)該是簡(jiǎn)單的、自然的.
學(xué)生：展開(kāi)討論.
學(xué)生討論過(guò)程中會(huì)有錯(cuò)誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，注意引導(dǎo).
通過(guò)討論認(rèn)為：應(yīng)選擇α角來(lái)刻畫(huà)直線的方向.根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，表明一個(gè)方向可以有無(wú)窮多個(gè)角，這里只需一個(gè)角即可（開(kāi)始時(shí)可能有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角），當(dāng)然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.
【】
定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.
（強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）
特別地，當(dāng) 與 軸平行或重合時(shí)，規(guī)定傾斜角為0°.
由此定義，角的范圍如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π?? 如圖3
至此問(wèn)題2已經(jīng)解決了，回顧一下是怎么解決的.
（三）直線的斜率
【問(wèn)題3】
下面我們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出過(guò)原點(diǎn)傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫(xiě)出它們的直線方程.然后觀察思考：
直線的傾斜角在直線方程中是如何體現(xiàn)的？
學(xué)生：在練習(xí)本上畫(huà)出直線，寫(xiě)出方程.
30° ?--à ＝
45° ?--à? ＝
135°?--à ＝
（注：學(xué)生對(duì)于寫(xiě)出傾斜角是45°、135°的直線方程不會(huì)困難，但對(duì)于傾斜角是30°可能有困難，此時(shí)可啟發(fā)學(xué)生借用三角函數(shù)中的30°角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)解決.）
【演示動(dòng)畫(huà)】
觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數(shù)變化的關(guān)系
(1)? 直線變化→α變化→ 中的 系數(shù) 變化??? （同時(shí)注意 α的變化）.
(2) 中的x系數(shù)k變化→直線變化→α變化??? （同時(shí)注意 α的變化）.
引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數(shù)的關(guān)系：傾斜角不同，方程中 的系數(shù)不同，而且這個(gè)系數(shù)正是傾斜角的正切！
【】
定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即 .
這樣我們定義了一個(gè)從“形”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現(xiàn)在我們又定義一個(gè)從“數(shù)”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.
指出下列：
(1) ＝- ??? (2) ＝ tg60°??? (3) ＝ tg(-30°)
學(xué)生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)
畫(huà)圖，指出傾斜角和斜率.
結(jié)合圖3（也可以演示動(dòng)畫(huà)），觀察傾斜角變化時(shí)，斜率的變化情況.
注意：當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在.
α＝0°????? ?--à??? ＝0
0°＜α＜90° ?--à??? ＞0
α＝90°???? ?--à?? 不存在
90°＜α＜180°?--à? ＜0
（四）直線過(guò)兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)
【問(wèn)題4】
如果給定直線的傾斜角，我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義 ＝tgα求出直線的斜率；
如果給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？
即已知兩點(diǎn)p1(x1，y1)、p2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線p1p2的斜率.
思路分析：
首先由學(xué)生提出思路，啟發(fā)、引導(dǎo)：
運(yùn)用正切定義，解決問(wèn)題.
(1)正切函數(shù)定義是什么？（終邊上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo).）
(2)角α是“標(biāo)準(zhǔn)位置”嗎？（不是.）
(3)如何把角α放在“標(biāo)準(zhǔn)位置”？（平移向量 ，使p1與原點(diǎn)重合，得到新向量 .）
(4)p的坐標(biāo)是多少？（x2-x1，y2-y1）
(5)直線的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2）
(6)如果p1 和p2的順序不同，結(jié)果還一樣嗎？（一樣）.
評(píng)價(jià)：注意公式中x1≠x2，即直線p1 p2不垂直x軸.因此當(dāng)直線p1p2不垂直x軸時(shí)，由已知直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.
【練習(xí)】
(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為 α？
(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？
(3)直線 (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？
(4)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) (0，0)、 (-1， ).
(5)課本第37頁(yè)練習(xí)第2、4題.
巡視，觀察學(xué)生情況，個(gè)別輔導(dǎo)，訂正答案（答案略）.
【總結(jié)】
引導(dǎo)：首先回顧前邊提出的問(wèn)題是否都已解決.再看下邊的問(wèn)題：
(1)直線傾斜角的概念要注意什么？
(2)直線的傾斜角與斜率是一一對(duì)應(yīng)嗎？
(3)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標(biāo)1和2有順序嗎？
學(xué)生邊討論邊總結(jié)：
(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當(dāng)α=90°時(shí)， α不存在.
(3) ＝ （ ），沒(méi)有.
【作業(yè)?】
1.課本第37頁(yè)習(xí)題7.1第3、4、5題.
2.思考題
（1）方程 是單位圓的方程嗎？
（2）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，傾斜角是45°的直線方程嗎？
（3）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
（4）你能說(shuō)出過(guò)（1，1）點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
設(shè)計(jì)
7.1
一、直線方程
二、直線的傾斜角
三、直線的斜率
四、斜率公式
練習(xí)
小結(jié)
作業(yè)?
直線的傾斜角和斜率的關(guān)系 直線的傾斜角與斜率的概念篇二
目標(biāo)
（1）了解直線方程的概念.
（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.
（3）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（4）通過(guò)直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力.
（5）通過(guò)斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神.
建議
1.教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念；其次為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而實(shí)現(xiàn)了直線的方向或者說(shuō)直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變；最后推導(dǎo)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想方法.
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
①本節(jié)的重點(diǎn)是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開(kāi)的主線，無(wú)論是建立直線的方程，還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生對(duì)于用直線的傾斜角來(lái)刻畫(huà)直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個(gè)問(wèn)題卻并不容易接受.
2.教法建議
（1）本節(jié)課的任務(wù)有三大項(xiàng)：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學(xué)生思維也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應(yīng)的過(guò)程也有三個(gè)階段
①在中首先是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫(huà)直線的方向，如何定義這個(gè)角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫(huà)直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學(xué)生還會(huì)認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問(wèn)題，就要求幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數(shù) 的形式，下同）中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)：
(1)? α變化→直線變化→ 中的 系數(shù) 變化??? （同時(shí)注意 的變化）.
(2)? 中的 系數(shù) 變化→直線變化→α變化??? （同時(shí)注意 的變化）.
運(yùn)用上述正反兩種變化的動(dòng)態(tài)演示充分揭示直線方程中 系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系，這對(duì)幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的.
③在進(jìn)行過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式推導(dǎo)的中要注意與前后知識(shí)的聯(lián)系，課前要對(duì)平面向量，三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備.
④在學(xué)習(xí)直線方程的概念時(shí)要通過(guò)舉例清晰地指出兩個(gè)條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為將來(lái)學(xué)習(xí)曲線方程做好準(zhǔn)備.
（2）本節(jié)內(nèi)容在中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法，設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評(píng)價(jià)的模式.學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的討論、爭(zhēng)辯、交流、和評(píng)價(jià).傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項(xiàng)任務(wù)都是在討論、交流、評(píng)價(jià)中完成的.在此過(guò)程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展.的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)爭(zhēng)論，組織交流，參與評(píng)價(jià).
設(shè)計(jì)示例
目標(biāo)：
（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，
（2）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力.
（4）幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神.
重點(diǎn)、難點(diǎn)：直線斜率的概念和公式
用具：計(jì)算機(jī)
方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法，討論法
過(guò)程：
（一）直線方程的概念
如圖1，對(duì)于一次函數(shù) ，和它的圖像——直線 有下面關(guān)系：
（1）有序數(shù)對(duì)（0，1）滿足函數(shù) ，則直線上就有一點(diǎn)a，它的坐標(biāo)是（0，1）.
（2）反過(guò)來(lái)，直線上點(diǎn)b（1，3），則有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，3）就滿足 .?
一般地，滿足函數(shù)式 的每一對(duì) ， 的值，都是直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）；
反之，直線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）都滿足函數(shù)式 ，因此，一次函數(shù) 的圖象是一條直線，它是以滿足 的每一對(duì)x，y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.
從方程的角度看，函數(shù) 也可以看作是二元一次方程 ，這樣滿足一次函數(shù) 的每一對(duì) ， 的值“變成了”二元一次方程 的解，使方程和直線建立了聯(lián)系.
定義：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，這條直線上的所有點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個(gè)方程的直線.
以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標(biāo)的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .
問(wèn)：你能用充要條件敘述嗎？
答：一條直線是一個(gè)方程的直線，或者說(shuō)這個(gè)方程是這條直線的方程的充要條件是…….
（二）直線的傾斜角
【問(wèn)題1】
請(qǐng)畫(huà)出以下三個(gè)方程所表示的直線，并觀察它們的異同.
； ；
過(guò)定點(diǎn)，方向不同.
如何確定一條直線？
兩點(diǎn)確定一條直線.
還有其他方法嗎？或者說(shuō)如果只給出一點(diǎn)，要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件？
學(xué)生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說(shuō)傾斜程度.
【導(dǎo)入??】
今天我們就共同來(lái)研究如何刻畫(huà)直線的方向.
【問(wèn)題2】
在坐標(biāo)系中的一條直線，我們用怎樣的角來(lái)刻畫(huà)直線的方向呢？討論之前我們可以設(shè)想這個(gè)角應(yīng)該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問(wèn)題，同時(shí)還應(yīng)該是簡(jiǎn)單的、自然的.
學(xué)生：展開(kāi)討論.
學(xué)生討論過(guò)程中會(huì)有錯(cuò)誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，注意引導(dǎo).
通過(guò)討論認(rèn)為：應(yīng)選擇α角來(lái)刻畫(huà)直線的方向.根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，表明一個(gè)方向可以有無(wú)窮多個(gè)角，這里只需一個(gè)角即可（開(kāi)始時(shí)可能有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角），當(dāng)然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.
【】
定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.
（強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）
特別地，當(dāng) 與 軸平行或重合時(shí)，規(guī)定傾斜角為0°.
由此定義，角的范圍如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π?? 如圖3
至此問(wèn)題2已經(jīng)解決了，回顧一下是怎么解決的.
（三）直線的斜率
【問(wèn)題3】
下面我們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出過(guò)原點(diǎn)傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫(xiě)出它們的直線方程.然后觀察思考：
直線的傾斜角在直線方程中是如何體現(xiàn)的？
學(xué)生：在練習(xí)本上畫(huà)出直線，寫(xiě)出方程.
30° ?--à ＝
45° ?--à? ＝
135°?--à ＝
（注：學(xué)生對(duì)于寫(xiě)出傾斜角是45°、135°的直線方程不會(huì)困難，但對(duì)于傾斜角是30°可能有困難，此時(shí)可啟發(fā)學(xué)生借用三角函數(shù)中的30°角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)解決.）
【演示動(dòng)畫(huà)】
觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數(shù)變化的關(guān)系
(1)? 直線變化→α變化→ 中的 系數(shù) 變化??? （同時(shí)注意 α的變化）.
(2) 中的x系數(shù)k變化→直線變化→α變化??? （同時(shí)注意 α的變化）.
引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數(shù)的關(guān)系：傾斜角不同，方程中 的系數(shù)不同，而且這個(gè)系數(shù)正是傾斜角的正切！
【】
定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即 .
這樣我們定義了一個(gè)從“形”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現(xiàn)在我們又定義一個(gè)從“數(shù)”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.
指出下列：
(1) ＝- ??? (2) ＝ tg60°??? (3) ＝ tg(-30°)
學(xué)生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)
畫(huà)圖，指出傾斜角和斜率.
結(jié)合圖3（也可以演示動(dòng)畫(huà)），觀察傾斜角變化時(shí)，斜率的變化情況.
注意：當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在.
α＝0°????? ?--à??? ＝0
0°＜α＜90° ?--à??? ＞0
α＝90°???? ?--à?? 不存在
90°＜α＜180°?--à? ＜0
（四）直線過(guò)兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)
【問(wèn)題4】
如果給定直線的傾斜角，我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義 ＝tgα求出直線的斜率；
如果給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？
即已知兩點(diǎn)p1(x1，y1)、p2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線p1p2的斜率.
思路分析：
首先由學(xué)生提出思路，啟發(fā)、引導(dǎo)：
運(yùn)用正切定義，解決問(wèn)題.
(1)正切函數(shù)定義是什么？（終邊上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo).）
(2)角α是“標(biāo)準(zhǔn)位置”嗎？（不是.）
(3)如何把角α放在“標(biāo)準(zhǔn)位置”？（平移向量 ，使p1與原點(diǎn)重合，得到新向量 .）
(4)p的坐標(biāo)是多少？（x2-x1，y2-y1）
(5)直線的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2）
(6)如果p1 和p2的順序不同，結(jié)果還一樣嗎？（一樣）.
評(píng)價(jià)：注意公式中x1≠x2，即直線p1 p2不垂直x軸.因此當(dāng)直線p1p2不垂直x軸時(shí)，由已知直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.
【練習(xí)】
(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為 α？
(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？
(3)直線 (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？
(4)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) (0，0)、 (-1， ).
(5)課本第37頁(yè)練習(xí)第2、4題.
巡視，觀察學(xué)生情況，個(gè)別輔導(dǎo)，訂正答案（答案略）.
【總結(jié)】
引導(dǎo)：首先回顧前邊提出的問(wèn)題是否都已解決.再看下邊的問(wèn)題：
(1)直線傾斜角的概念要注意什么？
(2)直線的傾斜角與斜率是一一對(duì)應(yīng)嗎？
(3)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標(biāo)1和2有順序嗎？
學(xué)生邊討論邊總結(jié)：
(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當(dāng)α=90°時(shí)， α不存在.
(3) ＝ （ ），沒(méi)有.
【作業(yè)?】
1.課本第37頁(yè)習(xí)題7.1第3、4、5題.
2.思考題
（1）方程 是單位圓的方程嗎？
（2）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，傾斜角是45°的直線方程嗎？
（3）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
（4）你能說(shuō)出過(guò)（1，1）點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
設(shè)計(jì)
7.1
一、直線方程
二、直線的傾斜角
三、直線的斜率
四、斜率公式
練習(xí)
小結(jié)
作業(yè)?
直線的傾斜角和斜率的關(guān)系 直線的傾斜角與斜率的概念篇三
（1）了解直線方程的概念.
（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.
（3）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（4）通過(guò)直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用語(yǔ)言表達(dá)能力，交流與評(píng)價(jià)能力.
（5）通過(guò)斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的精神.
教學(xué)建議
1.教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念；其次為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而實(shí)現(xiàn)了直線的方向或者說(shuō)直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變；最后推導(dǎo)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想方法.
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
①本節(jié)的重點(diǎn)是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開(kāi)的主線，無(wú)論是建立直線的方程，還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生對(duì)于用直線的傾斜角來(lái)刻畫(huà)直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個(gè)問(wèn)題卻并不容易接受.
2.教法建議
（1）本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項(xiàng)：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學(xué)生思維也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應(yīng)的也有三個(gè)階段
①在教學(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫(huà)直線的方向，如何定義這個(gè)角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫(huà)直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學(xué)生還會(huì)認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問(wèn)題，就要求教師幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數(shù) 的形式，下同）中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)：
(1)? α變化→直線變化→ 中的 系數(shù) 變化??? （同時(shí)注意 的變化）.
(2)? 中的 系數(shù) 變化→直線變化→α變化??? （同時(shí)注意 的變化）.
運(yùn)用上述正反兩種變化的動(dòng)態(tài)演示充分揭示直線方程中 系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系，這對(duì)幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的.
③在進(jìn)行過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式推導(dǎo)的教學(xué)中要注意與前后知識(shí)的聯(lián)系，課前要對(duì)平面向量，三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備.
④在直線方程的概念時(shí)要通過(guò)舉例清晰地指出兩個(gè)條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為將來(lái)曲線方程做好準(zhǔn)備.
（2）本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法，設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評(píng)價(jià)的教學(xué)模式.學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的討論、爭(zhēng)辯、交流、和評(píng)價(jià).傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項(xiàng)教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、評(píng)價(jià)中完成的.在此過(guò)程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展.教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)爭(zhēng)論，組織交流，參與評(píng)價(jià).
：
（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，
（2）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用語(yǔ)言表達(dá)能力，交流與評(píng)價(jià)能力.
（4）幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的精神.
、難點(diǎn)：直線斜率的概念和公式
教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)
教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法，討論法
：
（一）直線方程的概念
如圖1，對(duì)于一次函數(shù) ，和它的圖像——直線 有下面關(guān)系：
（1）有序數(shù)對(duì)（0，1）滿足函數(shù) ，則直線上就有一點(diǎn)a，它的坐標(biāo)是（0，1）.
（2）反過(guò)來(lái)，直線上點(diǎn)b（1，3），則有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，3）就滿足 .?
一般地，滿足函數(shù)式 的每一對(duì) ， 的值，都是直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）；
反之，直線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）都滿足函數(shù)式 ，因此，一次函數(shù) 的圖象是一條直線，它是以滿足 的每一對(duì)x，y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.
從方程的角度看，函數(shù) 也可以看作是二元一次方程 ，這樣滿足一次函數(shù) 的每一對(duì) ， 的值“變成了”二元一次方程 的解，使方程和直線建立了聯(lián)系.
定義：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，這條直線上的所有點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個(gè)方程的直線.
以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標(biāo)的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .
問(wèn)：你能用充要條件敘述嗎？
答：一條直線是一個(gè)方程的直線，或者說(shuō)這個(gè)方程是這條直線的方程的充要條件是…….
（二）直線的傾斜角
【問(wèn)題1】
請(qǐng)畫(huà)出以下三個(gè)方程所表示的直線，并觀察它們的異同.
； ；
過(guò)定點(diǎn)，方向不同.
如何確定一條直線？
兩點(diǎn)確定一條直線.
還有其他方法嗎？或者說(shuō)如果只給出一點(diǎn)，要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件？
學(xué)生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說(shuō)傾斜程度.
【導(dǎo)入??】
今天我們就共同來(lái)研究如何刻畫(huà)直線的方向.
【問(wèn)題2】
在坐標(biāo)系中的一條直線，我們用怎樣的角來(lái)刻畫(huà)直線的方向呢？討論之前我們可以設(shè)想這個(gè)角應(yīng)該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問(wèn)題，同時(shí)還應(yīng)該是簡(jiǎn)單的、自然的.
學(xué)生：展開(kāi)討論.
學(xué)生討論過(guò)程中會(huì)有錯(cuò)誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，教師注意引導(dǎo).
通過(guò)討論認(rèn)為：應(yīng)選擇α角來(lái)刻畫(huà)直線的方向.根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，表明一個(gè)方向可以有無(wú)窮多個(gè)角，這里只需一個(gè)角即可（開(kāi)始時(shí)可能有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角），當(dāng)然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.
【板書(shū)】
定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.
（教師強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）
特別地，當(dāng) 與 軸平行或重合時(shí)，規(guī)定傾斜角為0°.
由此定義，角的范圍如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π?? 如圖3
至此問(wèn)題2已經(jīng)解決了，回顧一下是怎么解決的.
（三）直線的斜率
【問(wèn)題3】
下面我們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出過(guò)原點(diǎn)傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫(xiě)出它們的直線方程.然后觀察思考：
直線的傾斜角在直線方程中是如何體現(xiàn)的？
學(xué)生：在練習(xí)本上畫(huà)出直線，寫(xiě)出方程.
30° ?--à ＝
45° ?--à? ＝
135°?--à ＝
（注：學(xué)生對(duì)于寫(xiě)出傾斜角是45°、135°的直線方程不會(huì)困難，但對(duì)于傾斜角是30°可能有困難，此時(shí)可啟發(fā)學(xué)生借用三角函數(shù)中的30°角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)解決.）
【演示動(dòng)畫(huà)】
觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數(shù)變化的關(guān)系
(1)? 直線變化→α變化→ 中的 系數(shù) 變化??? （同時(shí)注意 α的變化）.
(2) 中的x系數(shù)k變化→直線變化→α變化??? （同時(shí)注意 α的變化）.
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數(shù)的關(guān)系：傾斜角不同，方程中 的系數(shù)不同，而且這個(gè)系數(shù)正是傾斜角的正切！
【板書(shū)】
定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即 .
這樣我們定義了一個(gè)從“形”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現(xiàn)在我們又定義一個(gè)從“數(shù)”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.
指出下列：
(1) ＝- ??? (2) ＝ tg60°??? (3) ＝ tg(-30°)
學(xué)生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)
畫(huà)圖，指出傾斜角和斜率.
結(jié)合圖3（也可以演示動(dòng)畫(huà)），觀察傾斜角變化時(shí)，斜率的變化情況.
注意：當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在.
α＝0°????? ?--à??? ＝0
0°＜α＜90° ?--à??? ＞0
α＝90°???? ?--à?? 不存在
90°＜α＜180°?--à? ＜0
（四）直線過(guò)兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)
【問(wèn)題4】
如果給定直線的傾斜角，我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義 ＝tgα求出直線的斜率；
如果給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？
即已知兩點(diǎn)p1(x1，y1)、p2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線p1p2的斜率.
思路分析：
首先由學(xué)生提出思路，教師啟發(fā)、引導(dǎo)：
運(yùn)用正切定義，解決問(wèn)題.
(1)正切函數(shù)定義是什么？（終邊上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo).）
(2)角α是“標(biāo)準(zhǔn)位置”嗎？（不是.）
(3)如何把角α放在“標(biāo)準(zhǔn)位置”？（平移向量 ，使p1與原點(diǎn)重合，得到新向量 .）
(4)p的坐標(biāo)是多少？（x2-x1，y2-y1）
(5)直線的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2）
(6)如果p1 和p2的順序不同，結(jié)果還一樣嗎？（一樣）.
評(píng)價(jià)：注意公式中x1≠x2，即直線p1 p2不垂直x軸.因此當(dāng)直線p1p2不垂直x軸時(shí)，由已知直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.
【練習(xí)】
(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為 α？
(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？
(3)直線 (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？
(4)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) (0，0)、 (-1， ).
(5)課本第37頁(yè)練習(xí)第2、4題.
教師巡視，觀察學(xué)生情況，個(gè)別輔導(dǎo)，訂正答案（答案略）.
【總結(jié)】
教師引導(dǎo)：首先回顧前邊提出的問(wèn)題是否都已解決.再看下邊的問(wèn)題：
(1)直線傾斜角的概念要注意什么？
(2)直線的傾斜角與斜率是一一對(duì)應(yīng)嗎？
(3)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標(biāo)1和2有順序嗎？
學(xué)生邊討論邊總結(jié)：
(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當(dāng)α=90°時(shí)， α不存在.
(3) ＝ （ ），沒(méi)有.
【作業(yè)?】
1.課本第37頁(yè)習(xí)題7.1第3、4、5題.
2.思考題
（1）方程 是單位圓的方程嗎？
（2）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，傾斜角是45°的直線方程嗎？
（3）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
（4）你能說(shuō)出過(guò)（1，1）點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
7.1
一、直線方程
二、直線的傾斜角
三、直線的斜率
四、斜率公式
練習(xí)
小結(jié)
作業(yè)?
直線的傾斜角和斜率的關(guān)系 直線的傾斜角與斜率的概念篇四
（1）了解直線方程的概念.
（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.
（3）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（4）通過(guò)直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用語(yǔ)言表達(dá)能力，交流與評(píng)價(jià)能力.
（5）通過(guò)斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的精神.
教學(xué)建議
1.教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念；其次為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而實(shí)現(xiàn)了直線的方向或者說(shuō)直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變；最后推導(dǎo)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想方法.
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
①本節(jié)的重點(diǎn)是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開(kāi)的主線，無(wú)論是建立直線的方程，還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生對(duì)于用直線的傾斜角來(lái)刻畫(huà)直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個(gè)問(wèn)題卻并不容易接受.
2.教法建議
（1）本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項(xiàng)：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學(xué)生思維也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應(yīng)的也有三個(gè)階段
①在教學(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫(huà)直線的方向，如何定義這個(gè)角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫(huà)直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學(xué)生還會(huì)認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問(wèn)題，就要求教師幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數(shù) 的形式，下同）中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)：
(1)? α變化→直線變化→ 中的 系數(shù) 變化??? （同時(shí)注意 的變化）.
(2)? 中的 系數(shù) 變化→直線變化→α變化??? （同時(shí)注意 的變化）.
運(yùn)用上述正反兩種變化的動(dòng)態(tài)演示充分揭示直線方程中 系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系，這對(duì)幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的.
③在進(jìn)行過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式推導(dǎo)的教學(xué)中要注意與前后知識(shí)的聯(lián)系，課前要對(duì)平面向量，三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備.
④在直線方程的概念時(shí)要通過(guò)舉例清晰地指出兩個(gè)條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為將來(lái)曲線方程做好準(zhǔn)備.
（2）本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法，設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評(píng)價(jià)的教學(xué)模式.學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的討論、爭(zhēng)辯、交流、和評(píng)價(jià).傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項(xiàng)教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、評(píng)價(jià)中完成的.在此過(guò)程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展.教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)爭(zhēng)論，組織交流，參與評(píng)價(jià).
：
（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，
（2）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用語(yǔ)言表達(dá)能力，交流與評(píng)價(jià)能力.
（4）幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的精神.
、難點(diǎn)：直線斜率的概念和公式
教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)
教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法，討論法
：
（一）直線方程的概念
如圖1，對(duì)于一次函數(shù) ，和它的圖像——直線 有下面關(guān)系：
（1）有序數(shù)對(duì)（0，1）滿足函數(shù) ，則直線上就有一點(diǎn)a，它的坐標(biāo)是（0，1）.
（2）反過(guò)來(lái)，直線上點(diǎn)b（1，3），則有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，3）就滿足 .?
一般地，滿足函數(shù)式 的每一對(duì) ， 的值，都是直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）；
反之，直線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）都滿足函數(shù)式 ，因此，一次函數(shù) 的圖象是一條直線，它是以滿足 的每一對(duì)x，y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.
從方程的角度看，函數(shù) 也可以看作是二元一次方程 ，這樣滿足一次函數(shù) 的每一對(duì) ， 的值“變成了”二元一次方程 的解，使方程和直線建立了聯(lián)系.
定義：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，這條直線上的所有點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個(gè)方程的直線.
以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標(biāo)的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .
問(wèn)：你能用充要條件敘述嗎？
答：一條直線是一個(gè)方程的直線，或者說(shuō)這個(gè)方程是這條直線的方程的充要條件是…….
（二）直線的傾斜角
【問(wèn)題1】
請(qǐng)畫(huà)出以下三個(gè)方程所表示的直線，并觀察它們的異同.
； ；
過(guò)定點(diǎn)，方向不同.
如何確定一條直線？
兩點(diǎn)確定一條直線.
還有其他方法嗎？或者說(shuō)如果只給出一點(diǎn)，要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件？
學(xué)生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說(shuō)傾斜程度.
【導(dǎo)入??】
今天我們就共同來(lái)研究如何刻畫(huà)直線的方向.
【問(wèn)題2】
在坐標(biāo)系中的一條直線，我們用怎樣的角來(lái)刻畫(huà)直線的方向呢？討論之前我們可以設(shè)想這個(gè)角應(yīng)該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問(wèn)題，同時(shí)還應(yīng)該是簡(jiǎn)單的、自然的.
學(xué)生：展開(kāi)討論.
學(xué)生討論過(guò)程中會(huì)有錯(cuò)誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，教師注意引導(dǎo).
通過(guò)討論認(rèn)為：應(yīng)選擇α角來(lái)刻畫(huà)直線的方向.根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，表明一個(gè)方向可以有無(wú)窮多個(gè)角，這里只需一個(gè)角即可（開(kāi)始時(shí)可能有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角），當(dāng)然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.
【板書(shū)】
定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.
（教師強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）
特別地，當(dāng) 與 軸平行或重合時(shí)，規(guī)定傾斜角為0°.
由此定義，角的范圍如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π?? 如圖3
至此問(wèn)題2已經(jīng)解決了，回顧一下是怎么解決的.
（三）直線的斜率
【問(wèn)題3】
下面我們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出過(guò)原點(diǎn)傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫(xiě)出它們的直線方程.然后觀察思考：
直線的傾斜角在直線方程中是如何體現(xiàn)的？
學(xué)生：在練習(xí)本上畫(huà)出直線，寫(xiě)出方程.
30° ?--à ＝
45° ?--à? ＝
135°?--à ＝
（注：學(xué)生對(duì)于寫(xiě)出傾斜角是45°、135°的直線方程不會(huì)困難，但對(duì)于傾斜角是30°可能有困難，此時(shí)可啟發(fā)學(xué)生借用三角函數(shù)中的30°角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)解決.）
【演示動(dòng)畫(huà)】
觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數(shù)變化的關(guān)系
(1)? 直線變化→α變化→ 中的 系數(shù) 變化??? （同時(shí)注意 α的變化）.
(2) 中的x系數(shù)k變化→直線變化→α變化??? （同時(shí)注意 α的變化）.
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數(shù)的關(guān)系：傾斜角不同，方程中 的系數(shù)不同，而且這個(gè)系數(shù)正是傾斜角的正切！
【板書(shū)】
定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即 .
這樣我們定義了一個(gè)從“形”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現(xiàn)在我們又定義一個(gè)從“數(shù)”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.
指出下列：
(1) ＝- ??? (2) ＝ tg60°??? (3) ＝ tg(-30°)
學(xué)生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)
畫(huà)圖，指出傾斜角和斜率.
結(jié)合圖3（也可以演示動(dòng)畫(huà)），觀察傾斜角變化時(shí)，斜率的變化情況.
注意：當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在.
α＝0°????? ?--à??? ＝0
0°＜α＜90° ?--à??? ＞0
α＝90°???? ?--à?? 不存在
90°＜α＜180°?--à? ＜0
（四）直線過(guò)兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)
【問(wèn)題4】
如果給定直線的傾斜角，我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義 ＝tgα求出直線的斜率；
如果給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？
即已知兩點(diǎn)p1(x1，y1)、p2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線p1p2的斜率.
思路分析：
首先由學(xué)生提出思路，教師啟發(fā)、引導(dǎo)：
運(yùn)用正切定義，解決問(wèn)題.
(1)正切函數(shù)定義是什么？（終邊上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo).）
(2)角α是“標(biāo)準(zhǔn)位置”嗎？（不是.）
(3)如何把角α放在“標(biāo)準(zhǔn)位置”？（平移向量 ，使p1與原點(diǎn)重合，得到新向量 .）
(4)p的坐標(biāo)是多少？（x2-x1，y2-y1）
(5)直線的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2）
(6)如果p1 和p2的順序不同，結(jié)果還一樣嗎？（一樣）.
評(píng)價(jià)：注意公式中x1≠x2，即直線p1 p2不垂直x軸.因此當(dāng)直線p1p2不垂直x軸時(shí)，由已知直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.
【練習(xí)】
(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為 α？
(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？
(3)直線 (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？
(4)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) (0，0)、 (-1， ).
(5)課本第37頁(yè)練習(xí)第2、4題.
教師巡視，觀察學(xué)生情況，個(gè)別輔導(dǎo)，訂正答案（答案略）.
【總結(jié)】
教師引導(dǎo)：首先回顧前邊提出的問(wèn)題是否都已解決.再看下邊的問(wèn)題：
(1)直線傾斜角的概念要注意什么？
(2)直線的傾斜角與斜率是一一對(duì)應(yīng)嗎？
(3)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標(biāo)1和2有順序嗎？
學(xué)生邊討論邊總結(jié)：
(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當(dāng)α=90°時(shí)， α不存在.
(3) ＝ （ ），沒(méi)有.
【作業(yè)?】
1.課本第37頁(yè)習(xí)題7.1第3、4、5題.
2.思考題
（1）方程 是單位圓的方程嗎？
（2）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，傾斜角是45°的直線方程嗎？
（3）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
（4）你能說(shuō)出過(guò)（1，1）點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
7.1
一、直線方程
二、直線的傾斜角
三、直線的斜率
四、斜率公式
練習(xí)
小結(jié)
作業(yè)?
直線的傾斜角和斜率的關(guān)系 直線的傾斜角與斜率的概念篇五
我說(shuō)的課是高中第二冊(cè)（上）第七章直線和圓的方程第一大節(jié)直線的傾斜角和斜率的第一節(jié)課。
一、關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的確定
1、 教材的地位及作用
直線和圓的方程屬于解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，直線的方程是研究?jī)蓷l直線位置關(guān)系的基礎(chǔ)，同時(shí)也是討論圓的方程及其它圓錐曲線方程的基礎(chǔ)。為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念。而作為直線方程的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，介紹了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題。故本節(jié)課是學(xué)好這一章內(nèi)容的關(guān)鍵。
2、 教學(xué)目的的認(rèn)識(shí)
依據(jù)教學(xué)大綱的目的和要求規(guī)定及新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，并結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：
（1）知識(shí)目標(biāo)：了解“直線的方程”和“方程的直線”的概念；理解直線的傾斜角和斜率的定義；掌握斜率公式，并會(huì)求直線的傾斜角和斜率。
（2）能力目標(biāo)：通過(guò)直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，以提高學(xué)生分析、比較、概括、化歸的數(shù)學(xué)能力,使學(xué)生初步了解用代數(shù)方程研究幾何問(wèn)題的思路，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。
（3）情感目標(biāo)：幫助學(xué)生進(jìn)一步了解分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想，在教學(xué)中充分揭示“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)、形的統(tǒng)一美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)學(xué)生進(jìn)行對(duì)立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀點(diǎn)的教育，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神。
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
1、本節(jié)的重點(diǎn)是直線的傾斜角和斜率概念，及斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開(kāi)的主線，無(wú)論是建立直線的方程，還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。
2、本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)“直線的方程”和“方程的直線”的概念以及對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生對(duì)于用直線的傾斜角來(lái)刻畫(huà)直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切這兩個(gè)問(wèn)題卻并不容易接受。
三、教法、學(xué)法指導(dǎo)
1、學(xué)法輔導(dǎo)：
（1）學(xué)情介紹：
本課的教學(xué)對(duì)象是高二年學(xué)生，考慮到我校學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，思維較為活躍，并針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，在教學(xué)中我通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。
（2）本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項(xiàng)：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式。學(xué)生思維也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮：傾斜角如何定義？為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立？相應(yīng)的教學(xué)過(guò)程也有三個(gè)階段：
①在教學(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫(huà)直線的方向，如何定義這個(gè)角呢？學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念。
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解與過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式的建立。學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫(huà)直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣。學(xué)生還會(huì)認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎？再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率？要解決這些問(wèn)題，可引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想工程問(wèn)題中的“坡度”問(wèn)題，以及三角函數(shù)的定義。
（3）學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要學(xué)會(huì)展開(kāi)思維，教師的啟發(fā)、激勵(lì)，有利于思維的進(jìn)行；問(wèn)題情景的創(chuàng)設(shè)有利于思維的活躍。但教學(xué)是雙邊的活動(dòng)，教師要注意觀察學(xué)生是否動(dòng)起來(lái)，予以情緒調(diào)控，使學(xué)生有意識(shí)地開(kāi)動(dòng)腦筋，主動(dòng)投入。
2、教法方法：
斯托利亞爾指出“數(shù)學(xué)教學(xué)是教學(xué)活動(dòng)（思維活動(dòng)）的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果——數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)”。本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)式，設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、歸納、總結(jié)的教學(xué)模式。傾斜角如何定義？為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立？這三項(xiàng)教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、歸納中完成的。在此過(guò)程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展。教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)爭(zhēng)論，組織交流，歸納總結(jié)。把教學(xué)內(nèi)容以問(wèn)題的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，以便引起學(xué)生進(jìn)行反思，從而形成必要的認(rèn)知沖突，最終達(dá)到建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
四、教學(xué)手段
本節(jié)課，除使用常規(guī)的教學(xué)手段外，我還使用多媒體課件輔助教學(xué)。把教學(xué)設(shè)計(jì)的步驟及內(nèi)容制成課件，利于突破重點(diǎn)、難點(diǎn)，還能節(jié)省時(shí)間，擴(kuò)大教學(xué)內(nèi)容，加快教學(xué)節(jié)奏，體現(xiàn)教改的新理念。
五、關(guān)于教學(xué)程序的設(shè)計(jì)
（一）知識(shí)導(dǎo)入階段
利用多媒體展示ssbezier變形曲線及笛卡兒簡(jiǎn)介，目的是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，及坐標(biāo)法對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起了巨大作用。
（二）知識(shí)探索階段
（創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，展現(xiàn)概念形成過(guò)程）
1、直線的方程與方程的直線的定義
【問(wèn)題1】有了“一次函數(shù)的圖象”，為什么還要講“方程的直線”？
一次函數(shù)的圖象是一條直線，它能表示平面上的所有的直線？不能，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象，與坐標(biāo)平面上的直線的對(duì)應(yīng)，是一種不完美的對(duì)應(yīng)。坐標(biāo)平面上，有些直線不能用一次函數(shù)表示。（如x=2）那么該怎樣修補(bǔ)？
（方程的解 坐標(biāo) 直線的點(diǎn)，直線 方程）
定義：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn),反過(guò)來(lái),這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解,這時(shí),這個(gè)方程就叫做這條直線的方程,這條直線叫做這個(gè)方程的直線。
2、直線傾斜角定義
【問(wèn)題2】如何確定一條直線？
兩點(diǎn)確定一條直線.還有其他方法嗎？或者說(shuō)如果只給出一點(diǎn)，要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件？
學(xué)生：思考，回憶，回答：這條直線的方向，或者說(shuō)傾斜程度。
（動(dòng)畫(huà)演示）展示直線的傾斜度的變化情況。
【問(wèn)題3】在坐標(biāo)系中的一條直線，我們用怎樣的角來(lái)刻畫(huà)直線的方向呢？
討論之前我們可以設(shè)想這個(gè)角應(yīng)該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問(wèn)題，同時(shí)還應(yīng)該是簡(jiǎn)單的、自然的。
學(xué)生：展開(kāi)討論，學(xué)生討論過(guò)程中會(huì)有錯(cuò)誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，教師注意引導(dǎo)。
通過(guò)討論認(rèn)為：應(yīng)選擇α角來(lái)刻畫(huà)直線的方向.根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，表明一個(gè)方向可以有無(wú)窮多個(gè)角，這里只需一個(gè)角即可（開(kāi)始時(shí)可能有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角），當(dāng)然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念。
定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為 ，那么 就叫做直線 的傾斜角。
特別地，當(dāng) 與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定傾斜角為0°。
由此定義，角的范圍如何？ 0°≤α＜180°或0≤α＜π?
（教師強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1）直線的方向向上（2） 軸的正方向，（3）最小正角）
3、 直線斜率的定義
用傾斜角刻畫(huà)直線的方向，乃是幾何問(wèn)題，如何把直線方向量化？
【問(wèn)題4】為什么要用傾斜角的正切定義斜率？而不用正弦、余弦或余切哪?
可聯(lián)想到工程問(wèn)題中的“坡度”，及三角函數(shù)的定義。
定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。記作 ，即? 。
（動(dòng)畫(huà)演示揭示直線傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系）強(qiáng)調(diào) 定義域與值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，及函數(shù)的單調(diào)性。
4、 直線過(guò)兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)
【問(wèn)題5】如果給定直線的傾斜角 ，我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義 ＝tanα求出直線的斜率；如果給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線是確定的，傾斜角也是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？
即已知兩點(diǎn)p1(x1，y1)、p2(x2，y2)，求直線p1p2的斜率。
思路分析：首先由學(xué)生提出思路，教師啟發(fā)、引導(dǎo)，運(yùn)用正切定義，解決問(wèn)題。
； x1= x2？
說(shuō)明：（1）公式適用范圍：注意公式中x1≠x2，即直線p1 p2不垂直x軸。因此當(dāng)直線p1p2不垂直x軸時(shí)，由已知直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得斜率，而不需要求出傾斜角。?
（2）公式與p1 和p2的順序無(wú)關(guān)，但要注意下標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
（三）知識(shí)應(yīng)用階段????????????????????????????????????????????????????????????
我設(shè)計(jì)了二道例題例1是道斜率與傾斜角概念的辨析題，而例2是課本的例題已知直線的傾斜角求斜率，還設(shè)計(jì)兩道變式題，目的是培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，討論傾斜角變化：銳角—鈍角—抽象角，對(duì)斜率的影響，加深同學(xué)對(duì)斜率與傾斜角對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解。
例1：關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說(shuō)法是正確的：??????????????????????????? （1）任一條直線都有傾斜角，也都有斜率????????? （?? ）????????????????????????? （2）直線的傾斜角越大，它的斜率就越大；??????? （?? ）????????????????????????? （3）平行于x軸的直線的傾斜角是 ；???? （?? ）????????????????????????? （4）兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等；??? （?? ）????????????????????????? （5）直線斜率的范圍是(－∞，＋∞) ；?????????? （?? ）????????????????????????? （6）直線的斜率為tan ,則直線的傾斜角為 ；??? （?? ）??????????????????????? 說(shuō)明：①當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定直線的傾斜角為0°；②直線傾斜角的取值范圍是[ ；③傾斜角是90°的直線沒(méi)有斜率.。④坐標(biāo)平面內(nèi)，每一條直線都有唯一的傾斜角，但不是每一條直線都有斜率。???????????????????????????????????????????? 例2： 如圖，直線 的傾斜角 ＝30°，直線 ⊥ ，求 、 的斜率。????????????? 分析：對(duì)于直線 的斜率，可通過(guò)計(jì)算 直接獲得，而直線 的斜率則需要先求出傾斜角 ，而根據(jù)平面幾何知識(shí)， ，然后再求 即可。
解： 的斜率 ＝tan＝tan30°＝ ，
∵ 的傾斜角 ＝90°＋30°＝120°，
∴ 的斜率 ＝tan120°＝tan（180°－60°）??????
＝－tan60°＝ 。
評(píng)述：此題要求學(xué)生掌握已知直線的傾斜角求斜率，其中涉及到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及特殊角正切值的確定。
【變式1】直線 的傾斜角 ＝150°，直線 ⊥ ，求 的斜率。
【變式2】已知直線 的傾斜角 ，直線 ⊥ ，求 的斜率及傾斜角。
（四）在學(xué)習(xí)小結(jié)階段：帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)和方法進(jìn)行梳理，本節(jié)須掌握三個(gè)概念：直線方程、傾斜角和斜率；兩個(gè)關(guān)系：直線的方程與方程的直線、斜率與傾斜角；兩個(gè)問(wèn)題：求傾斜角問(wèn)題，求斜率問(wèn)題。
（五）知識(shí)延伸拓展階段：?????????????????????????????????????????????????? 在知識(shí)延伸拓展階段，編制了三道思考題，在于拓寬學(xué)生的視野，斜率是聯(lián)結(jié)數(shù)與形的紐帶。體現(xiàn)了分層教學(xué)的思想，達(dá)到因材施教的目的。
思考1：??????????????? 思考2：已知兩點(diǎn)m(2，－3)、n(－3，－2)，直線l過(guò)點(diǎn)p(1，1)且與線段mn相交，求直線l的斜率k的取值范圍？直線l的傾斜角a的取值范圍？
思考3：已知
布置課后作業(yè)：必做作業(yè)題：p37頁(yè)? 3、4
選做作業(yè)：三道思考題
直線的傾斜角和斜率的關(guān)系 直線的傾斜角與斜率的概念篇六
（1）了解直線方程的概念.
（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.
（3）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（4）通過(guò)直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用語(yǔ)言表達(dá)能力，交流與評(píng)價(jià)能力.
（5）通過(guò)斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的精神.
教學(xué)建議
1.教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念；其次為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而實(shí)現(xiàn)了直線的方向或者說(shuō)直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變；最后推導(dǎo)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想方法.
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
①本節(jié)的重點(diǎn)是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開(kāi)的主線，無(wú)論是建立直線的方程，還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生對(duì)于用直線的傾斜角來(lái)刻畫(huà)直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個(gè)問(wèn)題卻并不容易接受.
2.教法建議
（1）本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項(xiàng)：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學(xué)生思維也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應(yīng)的也有三個(gè)階段
①在教學(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫(huà)直線的方向，如何定義這個(gè)角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫(huà)直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學(xué)生還會(huì)認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問(wèn)題，就要求教師幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數(shù)? 的形式，下同）中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)：
(1)? α變化→直線變化→? 中的 系數(shù) 變化??? （同時(shí)注意? 的變化）.
(2)?? 中的 系數(shù) 變化→直線變化→α變化??? （同時(shí)注意? 的變化）.
運(yùn)用上述正反兩種變化的動(dòng)態(tài)演示充分揭示直線方程中 系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系，這對(duì)幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的.
③在進(jìn)行過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式推導(dǎo)的教學(xué)中要注意與前后知識(shí)的聯(lián)系，課前要對(duì)平面向量，三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備.
④在直線方程的概念時(shí)要通過(guò)舉例清晰地指出兩個(gè)條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為將來(lái)曲線方程做好準(zhǔn)備.
（2）本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法，設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評(píng)價(jià)的教學(xué)模式.學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的討論、爭(zhēng)辯、交流、和評(píng)價(jià).傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項(xiàng)教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、評(píng)價(jià)中完成的.在此過(guò)程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展.教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)爭(zhēng)論，組織交流，參與評(píng)價(jià).
：
（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，
（2）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用語(yǔ)言表達(dá)能力，交流與評(píng)價(jià)能力.
（4）幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的精神.
、難點(diǎn)：直線斜率的概念和公式
教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)
教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法，討論法
：
（一）直線方程的概念
如圖1，對(duì)于一次函數(shù)? ，和它的圖像——直線 有下面關(guān)系：
（1）有序數(shù)對(duì)（0，1）滿足函數(shù)? ，則直線上就有一點(diǎn)a，它的坐標(biāo)是（0，1）.
（2）反過(guò)來(lái)，直線上點(diǎn)b（1，3），則有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，3）就滿足? .?
一般地，滿足函數(shù)式? 的每一對(duì) ， 的值，都是直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）；
反之，直線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（? ，? ）都滿足函數(shù)式? ，因此，一次函數(shù)? 的圖象是一條直線，它是以滿足? 的每一對(duì)x，y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.
從方程的角度看，函數(shù)? 也可以看作是二元一次方程? ，這樣滿足一次函數(shù)? 的每一對(duì) ， 的值“變成了”二元一次方程? 的解，使方程和直線建立了聯(lián)系.
定義：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，這條直線上的所有點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個(gè)方程的直線.
以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標(biāo)的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .
問(wèn)：你能用充要條件敘述嗎？
答：一條直線是一個(gè)方程的直線，或者說(shuō)這個(gè)方程是這條直線的方程的充要條件是…….
（二）直線的傾斜角
【問(wèn)題1】
請(qǐng)畫(huà)出以下三個(gè)方程所表示的直線，并觀察它們的異同.
過(guò)定點(diǎn)，方向不同.
如何確定一條直線？
兩點(diǎn)確定一條直線.
還有其他方法嗎？或者說(shuō)如果只給出一點(diǎn)，要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件？
學(xué)生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說(shuō)傾斜程度.
【導(dǎo)入??】
今天我們就共同來(lái)研究如何刻畫(huà)直線的方向.
【問(wèn)題2】
在坐標(biāo)系中的一條直線，我們用怎樣的角來(lái)刻畫(huà)直線的方向呢？討論之前我們可以設(shè)想這個(gè)角應(yīng)該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問(wèn)題，同時(shí)還應(yīng)該是簡(jiǎn)單的、自然的.
學(xué)生：展開(kāi)討論.
學(xué)生討論過(guò)程中會(huì)有錯(cuò)誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，教師注意引導(dǎo).
通過(guò)討論認(rèn)為：應(yīng)選擇α角來(lái)刻畫(huà)直線的方向.根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，表明一個(gè)方向可以有無(wú)窮多個(gè)角，這里只需一個(gè)角即可（開(kāi)始時(shí)可能有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角），當(dāng)然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.
【板書(shū)】
定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.
（教師強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）
特別地，當(dāng) 與 軸平行或重合時(shí)，規(guī)定傾斜角為0°.
由此定義，角的范圍如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π?? 如圖3
至此問(wèn)題2已經(jīng)解決了，回顧一下是怎么解決的.
（三）直線的斜率
【問(wèn)題3】
下面我們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出過(guò)原點(diǎn)傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫(xiě)出它們的直線方程.然后觀察思考：
直線的傾斜角在直線方程中是如何體現(xiàn)的？
學(xué)生：在練習(xí)本上畫(huà)出直線，寫(xiě)出方程.
30° ?--à ＝?
45° ?--à? ＝
135°?--à ＝
（注：學(xué)生對(duì)于寫(xiě)出傾斜角是45°、135°的直線方程不會(huì)困難，但對(duì)于傾斜角是30°可能有困難，此時(shí)可啟發(fā)學(xué)生借用三角函數(shù)中的30°角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)解決.）
【演示動(dòng)畫(huà)】
觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數(shù)變化的關(guān)系
(1)? 直線變化→α變化→? 中的 系數(shù) 變化??? （同時(shí)注意 α的變化）.
(2)? 中的x系數(shù)k變化→直線變化→α變化??? （同時(shí)注意 α的變化）.
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數(shù)的關(guān)系：傾斜角不同，方程中 的系數(shù)不同，而且這個(gè)系數(shù)正是傾斜角的正切！
【板書(shū)】
定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即? .
這樣我們定義了一個(gè)從“形”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現(xiàn)在我們又定義一個(gè)從“數(shù)”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.
指出下列直線的傾斜角和斜率：
(2) ＝ tg60°??? (3) ＝ tg(-30°)
學(xué)生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)
畫(huà)圖，指出傾斜角和斜率.
結(jié)合圖3（也可以演示動(dòng)畫(huà)），觀察傾斜角變化時(shí)，斜率的變化情況.
注意：當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在.
α＝0°????? ?--à??? ＝0
0°＜α＜90° ?--à??? ＞0
α＝90°???? ?--à?? 不存在
90°＜α＜180°?--à? ＜0
（四）直線過(guò)兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)
【問(wèn)題4】
如果給定直線的傾斜角，我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義? ＝tgα求出直線的斜率；
如果給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？
即已知兩點(diǎn)p1(x1，y1)、p2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線p1p2的斜率.
思路分析：
首先由學(xué)生提出思路，教師啟發(fā)、引導(dǎo)：
運(yùn)用正切定義，解決問(wèn)題.
(1)正切函數(shù)定義是什么？（終邊上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo).）
(2)角α是“標(biāo)準(zhǔn)位置”嗎？（不是.）
(3)如何把角α放在“標(biāo)準(zhǔn)位置”？（平移向量? ，使p1與原點(diǎn)重合，得到新向量? .）
(4)p的坐標(biāo)是多少？（x2-x1，y2-y1）
(5)直線的斜率是多少？? ＝tgα=? （x1≠x2）
(6)如果p1 和p2的順序不同，結(jié)果還一樣嗎？（一樣）.
評(píng)價(jià)：注意公式中x1≠x2，即直線p1 p2不垂直x軸.因此當(dāng)直線p1p2不垂直x軸時(shí)，由已知直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.
【練習(xí)】
(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為? α？
(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？
(3)直線?? (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？
(4)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)? (0，0)、? (-1，? )直線的傾斜角和斜率.
(5)課本第37頁(yè)練習(xí)第2、4題.
教師巡視，觀察學(xué)生情況，個(gè)別輔導(dǎo)，訂正答案（答案略）.
【總結(jié)】
教師引導(dǎo)：首先回顧前邊提出的問(wèn)題是否都已解決.再看下邊的問(wèn)題：
(1)直線傾斜角的概念要注意什么？
(2)直線的傾斜角與斜率是一一對(duì)應(yīng)嗎？
(3)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標(biāo)1和2有順序嗎？
學(xué)生邊討論邊總結(jié)：
(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當(dāng)α=90°時(shí)， α不存在.
【作業(yè)?】
1.課本第37頁(yè)習(xí)題7.1第3、4、5題.
2.思考題
（1）方程? 是單位圓的方程嗎？
（2）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，傾斜角是45°的直線方程嗎？
（3）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
（4）你能說(shuō)出過(guò)（1，1）點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
7.1直線的傾斜角和斜率
一、直線方程
二、直線的傾斜角
三、直線的斜率
四、斜率公式
練習(xí)
小結(jié)
作業(yè)?
直線的傾斜角和斜率的關(guān)系 直線的傾斜角與斜率的概念篇七
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解直線方程的概念.
(2)正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的,但不是每條直線都存在斜率.
(3)理解公式的推導(dǎo)過(guò)程,把握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
(4)通過(guò)直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示,培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力,運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力,數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力.
(5)通過(guò)斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo),幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神.
教學(xué)建議
1.教材分析
(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念;其次為進(jìn)一步研究直線,建立了直線傾斜角的概念,進(jìn)而建立直線斜率的概念,從而實(shí)現(xiàn)了直線的方向或者說(shuō)直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變;最后推導(dǎo)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想方法.
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
①本節(jié)的重點(diǎn)是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開(kāi)的主線,無(wú)論是建立直線的方程,還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系,以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系,直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此,正確理解斜率概念,熟練把握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生對(duì)于用直線的傾斜角來(lái)刻畫(huà)直線的方向并不難接受,但是,為什么要定義直線的斜率,為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個(gè)問(wèn)題卻并不輕易接受.
2.教法建議
(1)本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項(xiàng):傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學(xué)生思維也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮:傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應(yīng)的教學(xué)過(guò)程也有三個(gè)階段
①在教學(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫(huà)直線的方向,如何定義這個(gè)角呢,學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫(huà)直線的方向,而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的,而斜率卻不這樣.學(xué)生還會(huì)認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎.再有,為什么要用傾斜角的正切定義斜率,而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問(wèn)題,就要求教師幫助學(xué)生熟悉到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的傾斜角,而是傾斜角的正切,即直線方程(一次函數(shù) 的形式,下同)中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念,可以借助幾何畫(huà)板設(shè)計(jì):
(1) α變化→直線變化→ 中的 系數(shù) 變化 (同時(shí)注重 的變化).
(2) 中的 系數(shù) 變化→直線變化→α變化 (同時(shí)注重 的變化).
運(yùn)用上述正反兩種變化的動(dòng)態(tài)演示充分揭示直線方程中 系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系,這對(duì)幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的.
③在進(jìn)行過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式推導(dǎo)的教學(xué)中要注重與前后知識(shí)的聯(lián)系,課前要對(duì)平面向量,三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的復(fù)習(xí)預(yù)備.
④在學(xué)習(xí)直線方程的概念時(shí)要通過(guò)舉例清楚地指出兩個(gè)條件,最好能用充要條件敘述直線方程的概念,強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為將來(lái)學(xué)習(xí)曲線方程做好預(yù)備.
(2)本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法,設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評(píng)價(jià)的教學(xué)模式.學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上,進(jìn)行充分的討論、爭(zhēng)辯、交流、和評(píng)價(jià).傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立,這三項(xiàng)教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、評(píng)價(jià)中完成的.在此過(guò)程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展.教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引發(fā)爭(zhēng)論,組織交流,參與評(píng)價(jià).
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
直線的傾斜角和斜率
教學(xué)目標(biāo):
(1)了解直線方程的概念,正確理解直線傾斜角和斜率概念,
(2)理解公式的推導(dǎo)過(guò)程,把握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
(3)培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力,運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力,數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力.
(4)幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):直線斜率的概念和公式
教學(xué)用具:計(jì)算機(jī)
教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)法,討論法
教學(xué)過(guò)程:
(一)直線方程的概念
如圖1,對(duì)于一次函數(shù) ,和它的圖像——直線 有下面關(guān)系:
(1)有序數(shù)對(duì)(0,1)滿足函數(shù) ,則直線上就有一點(diǎn)a,它的坐標(biāo)是(0,1).
(2)反過(guò)來(lái),直線上點(diǎn)b(1,3),則有序?qū)崝?shù)對(duì)(1,3)就滿足 .
一般地,滿足函數(shù)式 的每一對(duì) , 的值,都是直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)( , );
反之,直線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)( , )都滿足函數(shù)式 ,因此,一次函數(shù) 的圖象是一條直線,它是以滿足 的每一對(duì)x,y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.
從方程的角度看,函數(shù) 也可以看作是二元一次方程 ,這樣滿足一次函數(shù) 的每一對(duì) , 的值“變成了”二元一次方程 的解,使方程和直線建立了聯(lián)系.
定義:以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn),反過(guò)來(lái),這條直線上的所有點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解,這時(shí),這個(gè)方程就叫做這條直線的方程,這條直線就叫做這個(gè)方程的直線.
以上定義改用集合表述: , 的二元一次方程的解為坐標(biāo)的集合,記作 .若(1) (2) ,則 .
問(wèn):你能用充要條件敘述嗎?
答:一條直線是一個(gè)方程的直線,或者說(shuō)這個(gè)方程是這條直線的方程的充要條件是…….
(二)直線的傾斜角
問(wèn)題1
請(qǐng)畫(huà)出以下三個(gè)方程所表示的直線,并觀察它們的異同.
; ;
過(guò)定點(diǎn),方向不同.
如何確定一條直線?
兩點(diǎn)確定一條直線.
還有其他方法嗎?或者說(shuō)假如只給出一點(diǎn),要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件?
學(xué)生:思考、回憶、回答:這條直線的方向,或者說(shuō)傾斜程度.
導(dǎo)入
今天我們就共同來(lái)研究如何刻畫(huà)直線的方向.
問(wèn)題2
在坐標(biāo)系中的一條直線,我們用怎樣的角來(lái)刻畫(huà)直線的方向呢?討論之前我們可以設(shè)想這個(gè)角應(yīng)該是怎樣的呢?它不僅能解決我們的問(wèn)題,同時(shí)還應(yīng)該是簡(jiǎn)單的、自然的.
學(xué)生:展開(kāi)討論.
學(xué)生討論過(guò)程中會(huì)有錯(cuò)誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處,教師注重引導(dǎo).
通過(guò)討論認(rèn)為:應(yīng)選擇α角來(lái)刻畫(huà)直線的方向.根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí),表明一個(gè)方向可以有無(wú)窮多個(gè)角,這里只需一個(gè)角即可(開(kāi)始時(shí)可能有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角),當(dāng)然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.
板書(shū)
定義:一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.
(教師強(qiáng)調(diào)三點(diǎn):(1)直線向上的方向,(2) 軸的正方向,(3)最小正角.)
非凡地,當(dāng) 與 軸平行或重合時(shí),規(guī)定傾斜角為0°.
由此定義,角的范圍如何?
0°≤α<180°或0≤α<π 如圖3
至此問(wèn)題2已經(jīng)解決了,回顧一下是怎么解決的.
(三)直線的斜率
問(wèn)題3
下面我們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出過(guò)原點(diǎn)傾斜角分別是30°、45°、135°的直線,并試著寫(xiě)出它們的直線方程.然后觀察思考:
直線的傾斜角在直線方程中是如何體現(xiàn)的?
學(xué)生:在練習(xí)本上畫(huà)出直線,寫(xiě)出方程.
30° ?à =
45° ?à =
135°?à =
(注:學(xué)生對(duì)于寫(xiě)出傾斜角是45°、135°的直線方程不會(huì)困難,但對(duì)于傾斜角是30°可能有困難,此時(shí)可啟發(fā)學(xué)生借用三角函數(shù)中的30°角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)解決.)
演示動(dòng)畫(huà)
觀察直線變化,傾斜角變化,直線方程中 系數(shù)變化的關(guān)系
(1) 直線變化→α變化→ 中的 系數(shù) 變化 (同時(shí)注重 α的變化).
(2) 中的x系數(shù)k變化→直線變化→α變化 (同時(shí)注重 α的變化).
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察,歸納,猜想出傾斜角與 的系數(shù)的關(guān)系:傾斜角不同,方程中 的系數(shù)不同,而且這個(gè)系數(shù)正是傾斜角的正切!
板書(shū)
定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ,即 .
這樣我們定義了一個(gè)從“形”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸(正方向)傾斜程度的量——傾斜角,現(xiàn)在我們又定義一個(gè)從“數(shù)”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸(正方向)傾斜程度的量——斜率.
指出下列直線的傾斜角和斜率:
(1) = (2) = tg60° (3) = tg(30°)
學(xué)生思考后回答,師生一起訂正:(1)120°; (2)60°;(3)150°(為什么不是30°呢?)
畫(huà)圖,指出傾斜角和斜率.
結(jié)合圖3(也可以演示動(dòng)畫(huà)),觀察傾斜角變化時(shí),斜率的變化情況.
注重:當(dāng)傾斜角為90°時(shí),斜率不存在.
α=0° ?à =0
0°<α<90° ?à >0
α=90° ?à 不存在
90°<α<180°?à <0
(四)直線過(guò)兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)
問(wèn)題4
假如給定直線的傾斜角,我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義 =tgα求出直線的斜率;
假如給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo),直線是確定的,傾斜角也是確定的,斜率就是確定的,那么又怎么求出直線的斜率呢?
即已知兩點(diǎn)p1(x1,y1)、p2(x2,y2)(其中x1≠x2),求直線p1p2的斜率.
思路分析:
首先由學(xué)生提出思路,教師啟發(fā)、引導(dǎo):
運(yùn)用正切定義,解決問(wèn)題.
(1)正切函數(shù)定義是什么?(終邊上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo).)
(2)角α是“標(biāo)準(zhǔn)位置”嗎?(不是.)
(3)如何把角α放在“標(biāo)準(zhǔn)位置”?(平移向量 ,使p1與原點(diǎn)重合,得到新向量 .)
(4)p的坐標(biāo)是多少?(x2x1,y2y1)
(5)直線的斜率是多少? =tgα= (x1≠x2)
(6)假如p1 和p2的順序不同,結(jié)果還一樣嗎?(一樣).
評(píng)價(jià):注重公式中x1≠x2,即直線p1 p2不垂直x軸.因此當(dāng)直線p1p2不垂直x軸時(shí),由已知直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得斜率,而不需要求出傾斜角.
練習(xí)
(1)直線的傾斜角為α,則直線的斜率為 α?
(2)任意直線有傾斜角,則任意直線都有斜率?
(3)直線 (330°)的傾斜角和斜率分別是多少?
(4)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) (0,0)、 (1, )直線的傾斜角和斜率.
(5)課本第37頁(yè)練習(xí)第2、4題.
教師巡視,觀察學(xué)生情況,個(gè)別輔導(dǎo),訂正答案(答案略).
總結(jié)
教師引導(dǎo):首先回顧前邊提出的問(wèn)題是否都已解決.再看下邊的問(wèn)題:
(1)直線傾斜角的概念要注重什么?
(2)直線的傾斜角與斜率是一一對(duì)應(yīng)嗎?
(3)已知兩點(diǎn)坐標(biāo),如何求直線的斜率?斜率公式中腳標(biāo)1和2有順序嗎?
學(xué)生邊討論邊總結(jié):
(1)向上的方向,正方向,最小,正角.(2)不是,當(dāng)α=90°時(shí), α不存在.
(3) = ( ),沒(méi)有.
作業(yè)
1.課本第37頁(yè)習(xí)題7.1第3、4、5題.
2.思考題
(1)方程 是單位圓的方程嗎?
(2)你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn),傾斜角是45°的直線方程嗎?
(3)你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn),斜率是2的直線方程嗎?
(4)你能說(shuō)出過(guò)(1,1)點(diǎn),斜率是2的直線方程嗎?
板書(shū)設(shè)計(jì)
7.1直線的傾斜角和斜率
一、直線方程
二、直線的傾斜角
三、直線的斜率
四、斜率公式
練習(xí)
小結(jié)
作業(yè)
直線的傾斜角和斜率的關(guān)系 直線的傾斜角與斜率的概念篇八
（1）了解直線方程的概念.
（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.
（3）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（4）通過(guò)直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用語(yǔ)言表達(dá)能力，交流與評(píng)價(jià)能力.
（5）通過(guò)斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的精神.
教學(xué)建議
1.教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念；其次為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而實(shí)現(xiàn)了直線的方向或者說(shuō)直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變；最后推導(dǎo)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想方法.
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
①本節(jié)的重點(diǎn)是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開(kāi)的主線，無(wú)論是建立直線的方程，還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生對(duì)于用直線的傾斜角來(lái)刻畫(huà)直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個(gè)問(wèn)題卻并不容易接受.
2.教法建議
（1）本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項(xiàng)：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學(xué)生思維也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應(yīng)的也有三個(gè)階段
①在教學(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫(huà)直線的方向，如何定義這個(gè)角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫(huà)直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學(xué)生還會(huì)認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問(wèn)題，就要求教師幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數(shù) 的形式，下同）中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)：
(1)? α變化→直線變化→ 中的 系數(shù) 變化??? （同時(shí)注意 的變化）.
(2)? 中的 系數(shù) 變化→直線變化→α變化??? （同時(shí)注意 的變化）.
運(yùn)用上述正反兩種變化的動(dòng)態(tài)演示充分揭示直線方程中 系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系，這對(duì)幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的.
③在進(jìn)行過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式推導(dǎo)的教學(xué)中要注意與前后知識(shí)的聯(lián)系，課前要對(duì)平面向量，三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備.
④在直線方程的概念時(shí)要通過(guò)舉例清晰地指出兩個(gè)條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為將來(lái)曲線方程做好準(zhǔn)備.
（2）本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法，設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評(píng)價(jià)的教學(xué)模式.學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的討論、爭(zhēng)辯、交流、和評(píng)價(jià).傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項(xiàng)教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、評(píng)價(jià)中完成的.在此過(guò)程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展.教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)爭(zhēng)論，組織交流，參與評(píng)價(jià).
：
（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，
（2）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用語(yǔ)言表達(dá)能力，交流與評(píng)價(jià)能力.
（4）幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的精神.
、難點(diǎn)：直線斜率的概念和公式
教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)
教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法，討論法
：
（一）直線方程的概念
如圖1，對(duì)于一次函數(shù) ，和它的圖像——直線 有下面關(guān)系：
（1）有序數(shù)對(duì)（0，1）滿足函數(shù) ，則直線上就有一點(diǎn)a，它的坐標(biāo)是（0，1）.
（2）反過(guò)來(lái)，直線上點(diǎn)b（1，3），則有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，3）就滿足 .?
一般地，滿足函數(shù)式 的每一對(duì) ， 的值，都是直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）；
反之，直線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）都滿足函數(shù)式 ，因此，一次函數(shù) 的圖象是一條直線，它是以滿足 的每一對(duì)x，y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.
從方程的角度看，函數(shù) 也可以看作是二元一次方程 ，這樣滿足一次函數(shù) 的每一對(duì) ， 的值“變成了”二元一次方程 的解，使方程和直線建立了聯(lián)系.
定義：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，這條直線上的所有點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個(gè)方程的直線.
以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標(biāo)的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .
問(wèn)：你能用充要條件敘述嗎？
答：一條直線是一個(gè)方程的直線，或者說(shuō)這個(gè)方程是這條直線的方程的充要條件是…….
（二）直線的傾斜角
【問(wèn)題1】
請(qǐng)畫(huà)出以下三個(gè)方程所表示的直線，并觀察它們的異同.
； ；
過(guò)定點(diǎn)，方向不同.
如何確定一條直線？
兩點(diǎn)確定一條直線.
還有其他方法嗎？或者說(shuō)如果只給出一點(diǎn)，要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件？
學(xué)生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說(shuō)傾斜程度.
【導(dǎo)入??】
今天我們就共同來(lái)研究如何刻畫(huà)直線的方向.
【問(wèn)題2】
在坐標(biāo)系中的一條直線，我們用怎樣的角來(lái)刻畫(huà)直線的方向呢？討論之前我們可以設(shè)想這個(gè)角應(yīng)該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問(wèn)題，同時(shí)還應(yīng)該是簡(jiǎn)單的、自然的.
學(xué)生：展開(kāi)討論.
學(xué)生討論過(guò)程中會(huì)有錯(cuò)誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，教師注意引導(dǎo).
通過(guò)討論認(rèn)為：應(yīng)選擇α角來(lái)刻畫(huà)直線的方向.根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，表明一個(gè)方向可以有無(wú)窮多個(gè)角，這里只需一個(gè)角即可（開(kāi)始時(shí)可能有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角），當(dāng)然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.
【板書(shū)】
定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.
（教師強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）
特別地，當(dāng) 與 軸平行或重合時(shí)，規(guī)定傾斜角為0°.
由此定義，角的范圍如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π?? 如圖3
至此問(wèn)題2已經(jīng)解決了，回顧一下是怎么解決的.
（三）直線的斜率
【問(wèn)題3】
下面我們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出過(guò)原點(diǎn)傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫(xiě)出它們的直線方程.然后觀察思考：
直線的傾斜角在直線方程中是如何體現(xiàn)的？
學(xué)生：在練習(xí)本上畫(huà)出直線，寫(xiě)出方程.
30° ?--à ＝
45° ?--à? ＝
135°?--à ＝
（注：學(xué)生對(duì)于寫(xiě)出傾斜角是45°、135°的直線方程不會(huì)困難，但對(duì)于傾斜角是30°可能有困難，此時(shí)可啟發(fā)學(xué)生借用三角函數(shù)中的30°角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)解決.）
【演示動(dòng)畫(huà)】
觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數(shù)變化的關(guān)系
(1)? 直線變化→α變化→ 中的 系數(shù) 變化??? （同時(shí)注意 α的變化）.
(2) 中的x系數(shù)k變化→直線變化→α變化??? （同時(shí)注意 α的變化）.
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數(shù)的關(guān)系：傾斜角不同，方程中 的系數(shù)不同，而且這個(gè)系數(shù)正是傾斜角的正切！
【板書(shū)】
定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即 .
這樣我們定義了一個(gè)從“形”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現(xiàn)在我們又定義一個(gè)從“數(shù)”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.
指出下列：
(1) ＝- ??? (2) ＝ tg60°??? (3) ＝ tg(-30°)
學(xué)生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)
畫(huà)圖，指出傾斜角和斜率.
結(jié)合圖3（也可以演示動(dòng)畫(huà)），觀察傾斜角變化時(shí)，斜率的變化情況.
注意：當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在.
α＝0°????? ?--à??? ＝0
0°＜α＜90° ?--à??? ＞0
α＝90°???? ?--à?? 不存在
90°＜α＜180°?--à? ＜0
（四）直線過(guò)兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)
【問(wèn)題4】
如果給定直線的傾斜角，我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義 ＝tgα求出直線的斜率；
如果給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？
即已知兩點(diǎn)p1(x1，y1)、p2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線p1p2的斜率.
思路分析：
首先由學(xué)生提出思路，教師啟發(fā)、引導(dǎo)：
運(yùn)用正切定義，解決問(wèn)題.
(1)正切函數(shù)定義是什么？（終邊上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo).）
(2)角α是“標(biāo)準(zhǔn)位置”嗎？（不是.）
(3)如何把角α放在“標(biāo)準(zhǔn)位置”？（平移向量 ，使p1與原點(diǎn)重合，得到新向量 .）
(4)p的坐標(biāo)是多少？（x2-x1，y2-y1）
(5)直線的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2）
(6)如果p1 和p2的順序不同，結(jié)果還一樣嗎？（一樣）.
評(píng)價(jià)：注意公式中x1≠x2，即直線p1 p2不垂直x軸.因此當(dāng)直線p1p2不垂直x軸時(shí)，由已知直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.
【練習(xí)】
(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為 α？
(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？
(3)直線 (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？
(4)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) (0，0)、 (-1， ).
(5)課本第37頁(yè)練習(xí)第2、4題.
教師巡視，觀察學(xué)生情況，個(gè)別輔導(dǎo)，訂正答案（答案略）.
【總結(jié)】
教師引導(dǎo)：首先回顧前邊提出的問(wèn)題是否都已解決.再看下邊的問(wèn)題：
(1)直線傾斜角的概念要注意什么？
(2)直線的傾斜角與斜率是一一對(duì)應(yīng)嗎？
(3)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標(biāo)1和2有順序嗎？
學(xué)生邊討論邊總結(jié)：
(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當(dāng)α=90°時(shí)， α不存在.
(3) ＝ （ ），沒(méi)有.
【作業(yè)?】
1.課本第37頁(yè)習(xí)題7.1第3、4、5題.
2.思考題
（1）方程 是單位圓的方程嗎？
（2）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，傾斜角是45°的直線方程嗎？
（3）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
（4）你能說(shuō)出過(guò)（1，1）點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
7.1
一、直線方程
二、直線的傾斜角
三、直線的斜率
四、斜率公式
練習(xí)
小結(jié)
作業(yè)?
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