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標數(shù)法的題篇一
我們先看一個例子，如下圖所示，小明要從a地到b地，為了避免繞路，規(guī)定小明只能向上或者向右走，問從a地走到b地共有多少種走法?
很容易我們就能得到有兩種走法，先向上再向右，或者先向右再向上。
如果圖形變得復(fù)雜(如下圖)，我們會發(fā)現(xiàn)再去把每條路線都羅列出來就變得麻煩了，而且容易數(shù)錯。
此時就需要用到標數(shù)法了。所謂標數(shù)法就是將到達每個點的走法數(shù)標注在點的旁邊以方便統(tǒng)計總走法數(shù)的一種解題方法。
因為只能向上或向右走，故上圖中四個圓點從a點出發(fā)走到的方法數(shù)都只有1種，我們在這些點的旁邊標上1。
上圖的圓點能由左側(cè)的點和下方的點走到，那么這個圓點旁邊的數(shù)字就是左側(cè)的點和下方的點旁邊的數(shù)字之和，1+1=2，我們標上2。這一步是標數(shù)法的核心步驟，我們觀察一個點能從哪些點走過來，就把這些點的數(shù)加起來作為該點的方法數(shù)。重復(fù)這一步驟我們能標出圖中其他的點，如下圖所示。
我們得到小明沿著圖示的道路不繞路從a地走到b地共有6種不同的走法。
總結(jié)上述例題我們發(fā)現(xiàn)，標數(shù)法基本解題步驟主要分為三步。
第一步，確定題型。如果一道題要求的是從某點到某點的最短走法共有多少種，且給出了路線圖，那么我們基本上可以肯定這樣的題目可以使用標數(shù)法求解。
第二步，先標注出只有0或1種走法的點。需注意的是，如果一個點我們無法走到，那么我們把它標注為0。
第三步，觀察一個點能從哪些點走過來，就把這些點的數(shù)加起來作為該點的方法數(shù)。重復(fù)這一步驟直到標注到我們要到達的終點。終點邊的數(shù)即為所求。
下面我們學(xué)習(xí)兩種標數(shù)法的基本變形。
第一種是不經(jīng)過某點。
例1.如下圖所示，小明要從a地前往b地，c點處正在修路無法通行，為了避免繞路，規(guī)定小明只能向上或者向右走，問從a地走到b地共有多少種走法?
題目中規(guī)定只能向上或者向右走，這樣走就不會有繞路，走的就是最短路線，而且給出了路線圖，那么此題可以使用標數(shù)法。此題有一個特殊的地方，c點處正在修路無法通過，即無法到到c點，我們先把c點標注為0，如下圖虛線框中所示，然后我們繼續(xù)按照標數(shù)法基本解題步驟標出其他點的數(shù)即可，標數(shù)結(jié)果如下。
故c點無法通行時，小明從a地到b地共有11種走法。
第二種是必須經(jīng)過某點。
例2.如下圖所示，小明要從a地前往b地，并且要在c點的文具店購買文具，為了避免繞路，規(guī)定小明只能向上或者向右走，問從a地走到b地且在c點購買文具的走法共有多少種?
根據(jù)題意，必須經(jīng)過c點再走到b點。如果經(jīng)過某點就無法走到c點，那么就不該經(jīng)過這個點，就該給這個點標為0。下圖虛線框中的即為這些需要標0的點，標0后，我們按照標數(shù)法基本解題步驟標出其他點的數(shù)即可，標數(shù)結(jié)果如下。
標數(shù)法的題篇二
通過標數(shù)法基礎(chǔ)篇的學(xué)習(xí)相信大家已經(jīng)基本掌握了標數(shù)法這一解題方法，并在涉及到最短路線的方法數(shù)這類題型中運用自如。隨著行測考試的日漸成熟，數(shù)學(xué)運算中的各種方法或多或少有一些延伸或變形，標數(shù)法也是如此，本文主要講解標數(shù)法的進階題型。
首先，回顧一道標準的標數(shù)法題目。
例1.小張從華興園到軟件公司上班要經(jīng)過多條街道(軟件公司在華興園的東北方)。假如他只能向東或者向北行走，則他上班不同走法共有：
a.12種 b.15種 c.20種 d.10種
通過標數(shù)法基礎(chǔ)篇的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)了解了標數(shù)法是指將到達每個點的方法數(shù)標注在點的旁邊的一種解題方法，通常運用在求最短路線方法數(shù)的題目中。標數(shù)法的核心步驟是觀察一個點能從哪些點走過來就把這些點的數(shù)加起來作為該點的方法數(shù)。這道例題中規(guī)定了只能向東或者向北走，按照要求走就不會存在繞路的情況，那么這樣從華興園到軟件公司的走法就是最短路線。
我們可以利用標數(shù)法的核心對原圖進行標數(shù)：
在路線方向和路線經(jīng)過的點明確的情況下，我們能夠利用標數(shù)法很快得出結(jié)果，上述例題從華興園到到軟件公司的方法數(shù)為10種，故答案為d。
其次，我們來學(xué)習(xí)標數(shù)法延伸后的第一類題目。此類題目中不直接給出路線方向或路線經(jīng)過的點，需要考生自行理解轉(zhuǎn)化為標數(shù)模型求解。
例2.如圖所示，有兩排蜂房，一只蜜蜂從左下角的1號蜂房開始去8號蜂房，假設(shè)只朝右上或右下逐個爬行。則不同的走法有：
a.16種 b.18種 c.21種 d.24種
例題二中并沒有給出明確的路線方向也沒有路線中經(jīng)過的點，需要我們根據(jù)題目的表述進行理解。我們可以把每一個蜂房理解為路線中經(jīng)過的點，路線方向是左下角的蜂房可以朝右側(cè)相鄰的兩個蜂房移動(注意“只朝右上或右下逐個爬行”中的右上或右下應(yīng)理解為整體觀察的情況，即只向右側(cè)的蜂房爬行)。然后我們再采取標數(shù)法進行解題，如下圖所示。
故從1號蜂房到8號蜂房共有21種方法，此題選c。
再次，我們來學(xué)習(xí)標數(shù)法延伸后的第二類題目。此類題目不再是對數(shù)量進行加和，而是選擇一個點從其他點過來的最短長度，將長度標注在點的一旁。
例3.下圖為某市一段地下水管道的分布圖，箭線表示管道中水的流向，數(shù)值表示箭線的長度(單位：千米)。水從s點流到t點最短的距離是：
a.20千米 b.22千米 c.23千米 d.24千米
這類題目并不是求最短路線的方法數(shù)，而是給出了每一段線段的長度，求解最短距離。那么這種題目我們就可以轉(zhuǎn)變下標數(shù)法的思路，在每一個路線上可能經(jīng)過的點邊上標注出到達這個點的最短距離。此題從s到t，按照圖中所給的箭頭方向，可知從左向右進行點的標注會比較合適。具體標注如下圖所示。
標注時需注意應(yīng)標注到達每個點的最短距離，而不是加和。例如虛線框出的點可以由前面分表標注5、3、6的點到達，我們需比較到達的距離哪個最短并標注上最短距離即可。從標5的點過來，距離為5+1=6，從標3的點過來距離為3+5=8，從標6的點過來距離為6+2=8，故最短距離為6，標注上6即可。以此類推可以標注出其他點旁的數(shù)字。最終得到到t點的最短距離為22千米，故此題答案為b。
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