最新勾股定理的證明論文600字 勾股定理的證明論文,一千字實用

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勾股定理的證明論文600字 勾股定理的證明論文,一千字篇一

勾股定理是數(shù)學(xué)史上的一顆明珠，有的大學(xué)的畢業(yè)論文就是

關(guān)于

關(guān)于勾股定理

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠,所以它充滿魅力,千百年來,人們對它的證明趨之若騖,其中有著名的數(shù)學(xué)家,也有業(yè)余數(shù)學(xué)

愛

在這數(shù)百種證明方法中,有的十分精彩,有的十分簡潔,有的因為證明者身份的特殊而非常著名.

在國外,尤其在西方,勾股定理通常被稱為畢達哥拉斯定理.這是由于,他們認為最早發(fā)現(xiàn)直角三角形具有“勾2+股2=弦2”這一性質(zhì)并且最先給出嚴格證明的是古希臘的數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯(pythagoras,約公元前580-公元前500).

實際上,在更早期的人類活動中,人們就已經(jīng)認識到這一定理的某些特例.除我國在公元前1000多年前發(fā)現(xiàn)勾股定理外,據(jù)說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來確定直角.但是,這一傳說引起過許多數(shù)學(xué)史家的懷疑.比如,美國的數(shù)學(xué)史家m·克萊因教授曾經(jīng)指出：“我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理.我們知道他們有拉繩人(測量員),但所傳他們在繩上打結(jié),把全長分成長度為3、4、5的三段,然后用來形成直角三角形之說,則從未在任何文件上得到證實.”不過,考古學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥版書,據(jù)專家們考證,其中一塊上面刻有如下問題：“一根長度為30個單位的棍子直立在墻上,當其上端滑下6個單位時,請問其下端離開墻角有多遠?”這是一個三邊為3:4:5三角形的特殊例子;專家們還發(fā)現(xiàn),在另一塊版板上面刻著一個奇特的數(shù)表,表中共刻有四列十五行數(shù)字,這是一個勾股數(shù)表：最右邊一列為從1到15的序號,而左邊三列則分別是股、勾、弦的數(shù)值,一共記載著15組勾股數(shù).這說明,勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫.

證明方法：

先拿四個一樣的直角三角形.拼入一個(a+b)的正方形中,中央米色正方形的面積：c2 .圖(1)再改變?nèi)切蔚奈恢镁蜁吹絻蓚€米色的正方形,面積是(a2 ,b2).圖(2)四個三角形面積不變,所以結(jié)論是：a2 + b2 = c2

勾股定理的歷史：

商高是公元前十一世紀的中國人.當時中國的朝代是西周,是奴隸社會時期.在中國古代大約是戰(zhàn)國時期

西漢的數(shù)學(xué)著作 《周髀 算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對話.商高說:"…故折矩,勾廣三,股修四

,經(jīng)隅五."商高那段話的意思就是說:當直角三角形的兩條直角邊分別為3(短邊)和4(長邊)時,徑

隅(就是弦)則為5.以后人們就簡單地把這個事實說成"勾三股四弦五".這就是著名的勾股定理.

關(guān)于勾股定理的發(fā)現(xiàn),《周髀算經(jīng)》上說:"故禹之所以治天下者,此數(shù)之所由生也.""此數(shù)"指的是"勾

三股四弦五",這句話的意思就是說:勾三股四弦五這種關(guān)系是在大禹治水時發(fā)現(xiàn)的.

趙爽：

?東漢末至三國時代吳國人

?為《周髀算經(jīng)》作注,并著有《勾股圓方圖說》.

趙爽的這個證明可謂別具匠心,極富創(chuàng)新意識.他用幾何圖形的截,割,拼,補來證明代數(shù)式之間的恒

等關(guān)系,既具嚴密性,又具直觀性,為中國古代以形證數(shù),形數(shù)統(tǒng)一,代數(shù)和幾何緊密結(jié)合,互不可分的

獨特風(fēng)格樹立了一個典范.以后的.數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且代有發(fā)展.例如稍后一點的劉徽在證明

勾股定理時也是用的以形證數(shù)的方法,只是具體圖形的分合移補略有不同而已.

中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明,在世界數(shù)學(xué)史上具有獨特的貢獻和地位.尤其是其中

體現(xiàn)出來的"形數(shù)統(tǒng)一"的思想方法,更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義.事實上,"形數(shù)統(tǒng)一"的思想方法正

是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個極其重要的條件.正如當代中國數(shù)學(xué)家吳文俊所說:"在中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中,數(shù)量關(guān)系

與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的.十七世紀笛卡兒解析幾何的發(fā)明,正是中國這種傳統(tǒng)思

想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù)."

中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭,記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話:

周公問:"我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通,我想請教一下:天沒有梯子可以上去,地也沒法用尺子去一段

一段丈量,那么

怎樣

商高回答說:"數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認識.其中有一條原理:當直角三角形'矩'

得到的一條直角邊'勾'等于3,另一條直角邊'股'等于4的時候,那么它的斜邊'弦'就必定是5.這 個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的.

勾股定理的證明：在這數(shù)百種證明方法中,有的十分精彩,有的十分簡潔,有的因為證明者身份的特殊而非常著名.

首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明,據(jù)說分別來源于中國和希臘.

1.中國方法：畫兩個邊長為(a+b)的正方形,如圖,其中a、b為直角邊,c為斜邊.這兩個正方形全等,故面積相等.

左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形,左右四個三角形面積之和必相等.從左右兩圖中都把四個三角形去掉,圖形剩下部分的面積必相等.左圖剩下兩個正方形,分別以a、b為邊.右圖剩下以c為邊的正方形.于是

a^2+b^2=c^2.

這就是我們幾何教科書中所介紹的方法.既直觀又簡單,任何人都看得懂.

2.希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫正方形,如圖.

容易看出,

△aba’ ≌△aa'c .

過c向a’’b’’引垂線,交ab于c’,交a’’b’’于c’’.

△aba’與正方形acda’同底等高,前者面積為后者面積的一半,△aa’’c與矩形aa’’c’’c’同底等高,前者的面積也是后者的一半.由△aba’≌△aa’’c,知正方形acda’的面積等于矩形aa’’c’’c’的面積.同理可得正方形bb’ec的面積等于矩形b’’bc’c’’的面積.

于是, s正方形aa’’b’’b=s正方形acda’+s正方形bb’ec,

即 a2+b2=c2.

至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半,則可用割補法得到(請讀者自己證明).這里只用到簡單的面積關(guān)系,不涉及三角形和矩形的面積公式.

這就是希臘古代數(shù)學(xué)家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法.

以上兩個證明方法之所以精彩,是它們所用到的定理少,都只用到面積的兩個基本觀念：

⑴ 全等形的面積相等;

⑵ 一個圖形分割成幾部分,各部分面積之和等于原圖形的面積.

這是完全可以接受的樸素觀念,任何人都能理解.

我國歷代數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的論證方法有多種,為勾股定理作的圖注也不少,其中較早的是趙爽(即趙君卿)在他附于《周髀算經(jīng)》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明.采用的是割補法：

如圖,將圖中的四個直角三角形涂上朱色,把中間小正方形涂上黃色,叫做中黃實,以弦為邊的正方形稱為弦實,然后經(jīng)過拼補搭配,“令出入相補,各從其類”,他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的.即“勾股各自乘,并之為弦實,開方除之,即弦也”.

趙爽對勾股定理的證明,顯示了我國數(shù)學(xué)家高超的證題思想,較為簡明、直觀.

西方也有很多學(xué)者研究了勾股定理,給出了很多證明方法,其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的.據(jù)說當他證明了勾股定理以后,欣喜若狂,殺牛百頭,以示慶賀.故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”.遺憾的是,畢達哥拉斯的證明方法早已失傳,我們無從知道他的證法.

下面介紹的是美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德對勾股定理的證明.

如圖,

s梯形abcd= (a+b)2

= (a2+2ab+b2), ①

又s梯形abcd=s△aed+s△ebc+s△ced

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2). ②

比較以上二式,便得

a2+b2=c2.

這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式,從而使證明相當簡潔.

1876年4月1日,伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證明.5年后,伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng).后來,人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明,就把這一證法稱為勾股定理的“總統(tǒng)”證法,這在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話.

在

學(xué)習(xí)

如圖,rt△abc中,∠acb=90°.作cd⊥bc,垂足為d.則

△bcd∽△bac,△cad∽△bac.

由△bcd∽△bac可得bc2=bd ? ba, ①

由△cad∽△bac可得ac2=ad ? ab. ②

我們發(fā)現(xiàn),把①、②兩式相加可得

bc2+ac2=ab(ad+bd),

而ad+bd=ab,

因此有 bc2+ac2=ab2,這就是

a2+b2=c2.

這也是一種證明勾股定理的方法,而且也很簡潔.它利用了相似三角形的知識.

在對勾股定理為數(shù)眾多的證明中,人們也會犯一些錯誤.如有人給出了如下證明勾股定理的方法：

設(shè)△abc中,∠c=90°,由余弦定理

c2=a2+b2-2abcosc,

因為∠c=90°,所以cosc=0.所以

a2+b2=c2.

這一證法,看來正確,而且簡單,實際上卻犯了循環(huán)證論的錯誤.原因是余弦定理的證明來自勾股定理.

人們對勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣.

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個直邊形,其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”.

從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓,則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”.

勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應(yīng)棱作相似多面體,則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個多面體表面積之和.

若以直角三角形的三邊為直徑分別作球,則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和.

最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長玫秸叫蜛bde是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2;中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為(b-a)2。于是便可得如下的式子：

4×(ab/2)+(b-a)2=c2

化簡后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=(a2+b2)(1/2)

稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數(shù)的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入)，結(jié)果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。

再給出兩種

1。做直角三角形的高，然后用相似三角形比例做出。

2。把直角三角形內(nèi)接于圓。然后擴張做出一矩形。最后用一下托勒密定理。

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