高一數(shù)學(xué)冪函數(shù)筆記(3篇)

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高一數(shù)學(xué)冪函數(shù)筆記篇1

教學(xué)目標

1、使學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念，并能判斷一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。

2、通過函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、認識問題的能力。通過例題培養(yǎng)學(xué)生利用定義進行推理的邏輯思維能力。

3、通過本節(jié)課的教學(xué)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生進行辯證唯物主義的教育。

教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：函數(shù)單調(diào)性的概念。

教學(xué)難點：函數(shù)單調(diào)性的判定。

教學(xué)過程設(shè)計

一、引入新課

師：請同學(xué)們觀察下面兩組在相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)，然后指出這兩組函數(shù)之間在性質(zhì)上的主要區(qū)別是什么？

（用投影幻燈給出兩組函數(shù)的圖象。）

第一組：

第二組：

生：第一組函數(shù)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；第二組函數(shù)，函數(shù)值y隨x的增大而減小。

師：（手執(zhí)投影棒使之沿曲線移動）對。他（她）答得很好，這正是兩組函數(shù)的主要區(qū)別。當x變大時，第一組函數(shù)的函數(shù)值都變大，而第二組函數(shù)的函數(shù)值都變小。雖然在每一組函數(shù)中，函數(shù)值變大或變小的方式并不相同，但每一組函數(shù)卻具有一種共同的性質(zhì)。我們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及冪函數(shù)時，就曾經(jīng)根據(jù)函數(shù)的圖象研究過函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變大而變大或變小的性質(zhì)。而這些研究結(jié)論是直觀地由圖象得到的。在函數(shù)的集合中，有很多函數(shù)具有這種性質(zhì)，因此我們有必要對函數(shù)這種性質(zhì)作更進一步的一般性的討論和研究，這就是我們今天這一節(jié)課的內(nèi)容。

（點明本節(jié)課的內(nèi)容，既是曾經(jīng)有所認識的，又是新的知識，引起學(xué)生的注意。）

二、對概念的分析

（板書課題：）

師：請同學(xué)們打開課本第51頁，請××同學(xué)把增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的定義朗讀一遍。

（學(xué)生朗讀。）

師：好，請坐。通過剛才閱讀增函數(shù)和減函數(shù)的定義，請同學(xué)們思考一個問題：這種定義方法和我們剛才所討論的函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致？如果一致，定義中是怎樣描述的？

生：我認為是一致的。定義中的“當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y隨x的增大而減少。

師：說得非常正確。定義中用了兩個簡單的不等關(guān)系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻劃了函數(shù)的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì)。這就是數(shù)學(xué)的魅力！

（通過教師的情緒感染學(xué)生，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。）

師：現(xiàn)在請同學(xué)們和我一起來看剛才的兩組圖中的第一個函數(shù)y=f1（x）和y=f2（x）的圖象，體會這種魅力。

（指圖說明。）

師：圖中y=f1（x）對于區(qū)間[a，b]上的任意x1，x2，當x1＜x2時，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞增的，區(qū)間[a，b]是函數(shù)y=f1（x）的單調(diào)增區(qū)間；而圖中y=f2（x）對于區(qū)間[a，b]上的任意x1，x2，當x1＜x2時，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞減的，區(qū)間[a，b]是函數(shù)y=f2（x）的單調(diào)減區(qū)間。

（教師指圖說明分析定義，使學(xué)生把函數(shù)單調(diào)性的定義與直觀圖象結(jié)合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解。滲透數(shù)形結(jié)合分析問題的數(shù)學(xué)思想方法。）

師：因此我們可以說，增函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應(yīng)區(qū)間上較大的自變量對應(yīng)……

（不把話說完，指一名學(xué)生接著說完，讓學(xué)生的思維始終跟著老師。）

生：較大的函數(shù)值的函數(shù)。

師：那么減函數(shù)呢？

生：減函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應(yīng)區(qū)間上較大的自變量對應(yīng)較小的函數(shù)值的函數(shù)。

（學(xué)生可能回答得不完整，教師應(yīng)指導(dǎo)他說完整。）

師：好。我們剛剛以增函數(shù)和減函數(shù)的定義作了初步的分析，通過閱讀和分析你認為在定義中我們應(yīng)該抓住哪些關(guān)鍵詞語，才能更透徹地認識定義？

（學(xué)生思索。）

學(xué)生在高中階段以至在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會遇到一些概念（或定義），能否抓住定義中的關(guān)鍵詞語，是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件，更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他各學(xué)科的重要一環(huán)。因此教師應(yīng)該教會學(xué)生如何深入理解一個概念，以培養(yǎng)學(xué)生分析問題，認識問題的能力。

（教師在學(xué)生思索過程中，再一次有感情地朗讀定義，并注意在關(guān)鍵詞語處適當加重語氣。在學(xué)生感到無從下手時，給以適當?shù)奶崾?。?/p>

生：我認為在定義中，有一個詞“給定區(qū)間”是定義中的關(guān)鍵詞語。

師：很好，我們在學(xué)習(xí)任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關(guān)鍵詞語，在學(xué)習(xí)幾個相近的概念時還要注意區(qū)別它們之間的不同。增函數(shù)和減函數(shù)都是對相應(yīng)的區(qū)間而言的，離開了相應(yīng)的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性。請大家思考一個問題，我們能否說一個函數(shù)在x=5時是遞增或遞減的？為什么？

生：不能。因為此時函數(shù)值是一個數(shù)。

師：對。函數(shù)在某一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)（注意這四個字“唯一確定”），因而沒有增減的變化。那么，我們能不能脫離區(qū)間泛泛談?wù)撃骋粋€函數(shù)是增函數(shù)或是減函數(shù)呢？你能否舉一個我們學(xué)過的例子？

生：不能。比如二次函數(shù)y=x2，在y軸左側(cè)它是減函數(shù)，在y軸右側(cè)它是增函數(shù)。因而我們不能說y=x2是增函數(shù)或是減函數(shù)。

（在學(xué)生回答問題時，教師板演函數(shù)y=x2的圖像，從“形”上感知。）

師：好。他（她）舉了一個例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區(qū)間”。這說明是函數(shù)在某一個區(qū)間上的性質(zhì)，但這不排斥有些函數(shù)在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)或減函數(shù)。因此，今后我們在談?wù)摵瘮?shù)的增減性時必須指明相應(yīng)的區(qū)間。

師：還有沒有其他的關(guān)鍵詞語？

生：還有定義中的“屬于這個區(qū)間的任意兩個”和“都有”也是關(guān)鍵詞語。

師：你答的很對。能解釋一下為什么嗎？

（學(xué)生不一定能答全，教師應(yīng)給予必要的提示。）

師：“屬于”是什么意思？

生：就是說兩個自變量x1，x2必須取自給定的區(qū)間，不能從其他區(qū)間上取。

師：如果是閉區(qū)間的話，能否取自區(qū)間端點？

生：可以。

師：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的增減性，而“都有”則是說只要x1＜x2，f（x1）就必須都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）。

師：能不能構(gòu)造一個反例來說明“任意”呢？

（讓學(xué)生思考片刻。）

生：可以構(gòu)造一個反例?？疾旌瘮?shù)y=x2，在區(qū)間[-2，2]上，如果取兩個特定的值x1=-2，x2=1，顯然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的減函數(shù)，那就錯了。

師：那么如何來說明“都有”呢？

生：y=x2在[-2，2]上，當x1=-2，x2=-1時，有f（x1）＞f（x2）；當x1=1，x2=2時，有f（x1）＜f（x2），這時就不能說y=x2，在[-2，2]上是增函數(shù)或減函數(shù)。

師：好極了！通過分析定義和舉反例，我們知道要判斷函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù)，不能由特定的兩個點的情況來判斷，而必須嚴格依照定義在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個自變量x1，x2，根據(jù)它們的函數(shù)值f（x1）和f（x2）的大小來判定函數(shù)的增減性。

（教師通過一系列的設(shè)問，使學(xué)生處于積極的思維狀態(tài)，從抽象到具體，并通過反例的反襯，使學(xué)生加深對定義的理解。在概念教學(xué)中，反例常常幫助學(xué)生更深刻地理解概念，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力。）

師：反過來，如果我們已知f（x）在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么，我們就可以通過自變量的大小去判定函數(shù)值的大小，也可以由函數(shù)值的大小去判定自變量的大小。即一般成立則特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立。這恰是辯證法中一般和特殊的關(guān)系。

（用辯證法的原理來解釋數(shù)學(xué)知識，同時用數(shù)學(xué)知識去理解辯證法的原理，這樣的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的內(nèi)涵和外延，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力。）

三、概念的應(yīng)用

證明函數(shù)f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函數(shù)。

師：從函數(shù)圖象上觀察固然形象，但在理論上不夠嚴格，尤其是有些函數(shù)不易畫出圖象，因此必須學(xué)會根據(jù)解析式和定義從數(shù)量上分析辨認，這才是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑。

（指出用定義證明的必要性。）

師：怎樣用定義證明呢？請同學(xué)們思考后在筆記本上寫出證明過程。

（教師巡視，并指定一名中等水平的學(xué)生在黑板上板演。學(xué)生可能會對如何比較f（x1）和f（x2）的大小關(guān)系感到無從入手，教師應(yīng)給以啟發(fā)。）

師：對于f（x1）和f（x2）我們?nèi)绾伪容^它們的大小呢？我們知道對兩個實數(shù)a，b，如果a＞b，那么它們的差a-b就大于零；如果a=b，那么它們的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它們的差a-b就小于零，反之也成立。因此我們可由差的符號來決定兩個數(shù)的大小關(guān)系。

生：（板演）設(shè)x1，x2是（-∞，+∞）上任意兩個自變量，當x1＜x2時，

f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，

所以f（x）是增函數(shù)。

師：他的證明思路是清楚的。一開始設(shè)x1，x2是（-∞，+∞）內(nèi)任意兩個自變量，并設(shè)x1＜x2（邊說邊用彩色粉筆在相應(yīng)的語句下劃線，并標注“①→設(shè)”），然后看f（x1）-f（x2），這一步是證明的關(guān)鍵，再對式子進行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可概括為“作差，變形”（同上，劃線并標注”②→作差，變形”）。但美中不足的是他沒能說明為什么f（x1）-f（x2）＜0，沒有用到開始的假設(shè)“x1＜x2”，不要以為其顯而易見，在這里一定要對變形后的式子說明其符號。應(yīng)寫明“因為x1＜x2，所以x1-x2＜0，從而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）。”這一步可概括為“定符號”（在黑板上板演，并注明“③→定符號”）。最后，作為證明題一定要有結(jié)論，我們把它稱之為第四步“下結(jié)論”（在相應(yīng)位置標注“④→下結(jié)論”）。

這就是我們用定義證明函數(shù)增減性的四個步驟，請同學(xué)們記住。需要指出的是第二步，如果函數(shù)y=f（x）在給定區(qū)間上恒大于零，也可以小。

（對學(xué)生的做法進行分析，把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢。在學(xué)生剛剛接觸一個新的知識時，思維定勢對理解知識本身是有益的，同時對學(xué)生養(yǎng)成一定的思維習(xí)慣，形成一定的解題思路也是有幫助的。）

調(diào)函數(shù)嗎？并用定義證明你的結(jié)論。

師：你的結(jié)論是什么呢？

上都是減函數(shù)，因此我覺得它在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數(shù)。

生乙：我有不同的意見，我認為這個函數(shù)不是整個定義域內(nèi)的減函數(shù)，因為它不符合減函數(shù)的定義。比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2顯然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，顯然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定義域內(nèi)的減函數(shù)。

生：也不能這樣認為，因為由圖象可知，它分別在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)。

域內(nèi)的增函數(shù)，也不是定義域內(nèi)的減函數(shù)，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是減函數(shù)。因此在函數(shù)的幾個單調(diào)增（減）區(qū)間之間不要用符號“∪”連接。另外，x=0不是定義域中的元素，此時不要寫成閉區(qū)間。

上是減函數(shù)。

（教師巡視。對學(xué)生證明中出現(xiàn)的問題給予點拔。可依據(jù)學(xué)生的問題，給出下面的提示：

（1）分式問題化簡方法一般是通分。

（2）要說明三個代數(shù)式的符號：k，x1·x2，x2-x1。

要注意在不等式兩邊同乘以一個負數(shù)的時候，不等號方向要改變。

對學(xué)生的解答進行簡單的分析小結(jié)，點出學(xué)生在證明過程中所出現(xiàn)的問題，引起全體學(xué)生的重視。）

四、課堂小結(jié)

師：請同學(xué)小結(jié)一下這節(jié)課的主要內(nèi)容，有哪些是應(yīng)該特別注意的？

（請一個思路清晰，善于表達的學(xué)生口述，教師可從中給予提示。）

生：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的定義，要特別注意定義中“給定區(qū)間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個關(guān)鍵詞語；在寫單調(diào)區(qū)間時不要輕易用并集的符號連接；最后在用定義證明時，應(yīng)該注意證明的四個步驟。

課堂教學(xué)設(shè)計說明

是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是研究函數(shù)時經(jīng)常要注意的一個性質(zhì)。并且在比較幾個數(shù)的大小、對函數(shù)作定性分析、以及與其他知識的綜合應(yīng)用上都有廣泛的應(yīng)用。對學(xué)生來說，早已有所知，然而沒有給出過定義，只是從直觀上接觸過這一性質(zhì)。學(xué)生對此有一定的感性認識，對概念的理解有一定好處，但另一方面學(xué)生也會覺得是已經(jīng)學(xué)過的知識，感覺乏味。因此，在設(shè)計教案時，加強了對概念的分析，希望能夠使學(xué)生認識到看似簡單的定義中有不少值得去推敲、去琢磨的東西，其中甚至包含著辯證法的原理。

另外，對概念的分析是在引進一個新概念時必須要做的，對概念的深入的正確的理解往往是學(xué)生認知過程中的難點。因此在本教案的設(shè)計過程中突出對概念的分析不僅僅是為了分析函數(shù)單調(diào)性的定義，而且想讓學(xué)生對如何學(xué)會、弄懂一個概念有初步的認識，并且在以后的學(xué)習(xí)中學(xué)有所用。

還有，使用函數(shù)單調(diào)性定義證明是一個難點，學(xué)生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學(xué)生理解概念，也可以對學(xué)生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助。另外，這也是以后要學(xué)習(xí)的不等式證明方法中的比較化的基本思路，現(xiàn)在提出要求，對今后的教學(xué)作一定的鋪墊。

高一數(shù)學(xué)冪函數(shù)筆記篇2

一、教學(xué)內(nèi)容分析

教材地位：冪函數(shù)是中學(xué)教材中的一個基本內(nèi)容，即是對正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的系統(tǒng)總結(jié)，也是對這些函數(shù)的概況和一般化、

教學(xué)重點：冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)、

教學(xué)難點：以冪函數(shù)為背景的圖像變換、

二、教學(xué)目標設(shè)計

能描繪常見冪函數(shù)的圖像，掌握冪函數(shù)的基本性質(zhì)；理解冪函數(shù)圖像的演進及單調(diào)性質(zhì)；理解冪函數(shù)圖形特征與代數(shù)特征的對稱聯(lián)系，在函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用中體會它的價值。能以冪函數(shù)為背景進行基本的函數(shù)圖像的平移和對稱變換、

三、教學(xué)流程設(shè)計

設(shè)置情境→探索研究→總結(jié)提煉→嘗試應(yīng)用→練習(xí)回饋→設(shè)置評價

五、教學(xué)過程設(shè)計

1、情境設(shè)置

指導(dǎo)學(xué)生描畫一些典型的冪函數(shù)的圖像，回憶并歸納冪函數(shù)的性質(zhì)、

2、探索研究

問題：如圖所示的分別是冪函數(shù)①，②，③，④，⑤，⑥，⑦在坐標系中第一象限內(nèi)的圖像，請盡可能精確地將指數(shù)的范圍分別確定出來

3、總結(jié)提煉

揭示冪函數(shù)圖像特征與底數(shù)的依賴關(guān)系、師生共同整理出規(guī)律性結(jié)論、

4、嘗試應(yīng)用

①（1）研究函數(shù)的圖像之間的關(guān)系；

（2）在同一坐標中作上述函數(shù)的圖像；

（3）由所作函數(shù)的圖像判斷最后一個函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、

②已知函數(shù)

（1）試求該函數(shù)的零點，并作出圖像；

（2）是否存在自然數(shù)，使=1000，若存在，求出；若不存在，請說明理由、

③作函數(shù)的大致圖像、

5、練習(xí)回饋

課本第83頁練習(xí)4、1（2）

六、教學(xué)評價設(shè)計

習(xí)題4、1——

B組（根據(jù)學(xué)生具體情況選用）

高一數(shù)學(xué)冪函數(shù)筆記篇3

1、教學(xué)目標

知識目標：

（1）掌握冪函數(shù)的形式特征，掌握具體冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

（2）能應(yīng)用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)簡單問題。

能力目標

情感目標：

（1）加深學(xué)生對研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法和流程的經(jīng)驗。

（2）滲透辨證唯物主義觀點和方法論，培養(yǎng)學(xué)生運用具體問題具體分析的方法分析問題、解決問題的能力。

2、教學(xué)重點

教學(xué)難點：引導(dǎo)學(xué)生概括出冪函數(shù)的性質(zhì)。

3、教學(xué)方法和教學(xué)手段

4、教學(xué)過程：

問題情境

問題1寫出下列y關(guān)于x的函數(shù)解析式：

①正方形邊長x、面積y

②正方體棱長x、體積y

③正方形面積x、邊長y

④某人騎車x秒內(nèi)勻速前進了1m，騎車速度為y

⑤一物體位移y與位移時間x，速度1m/s

問題2是否為指數(shù)函數(shù)？上述函數(shù)解析式有什么共同特征？（教師將解析式寫成指數(shù)冪形式，以啟發(fā)學(xué)生歸納，）板書課題并歸納冪函數(shù)的定義。

（二）新課講解

冪函數(shù)的定義：一般地，我們把形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)（powerfunction），其中是自變量，是常數(shù)。

為了加深對定義的理解，請同學(xué)們判別下列函數(shù)中有幾個冪函數(shù)？

①y=②y=2x2

我們了解了冪函數(shù)的概念以后我們一起來研究冪函數(shù)的性質(zhì)。

問題3冪函數(shù)具有哪些性質(zhì)？用什么方法研究這些性質(zhì)的呢？我們請同學(xué)們回憶一下在前面學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)我們一起研究了哪些性質(zhì)呢？（學(xué)生討論，教師引導(dǎo)）

（引發(fā)學(xué)生作圖研究函數(shù)性質(zhì)的興趣。函數(shù)單調(diào)性的判斷，既可以使用定義，也可以通過圖象解決，直觀，易理解。）

在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，請同學(xué)們在同一坐標系中畫出它們的圖象。

根據(jù)你的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，你能在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象嗎？

（學(xué)生作圖，教師巡視。將學(xué)生作圖用實物投影儀演示，指出優(yōu)點和錯誤之處。教師利用幾何畫板演示，通過超級鏈接幾何畫板演示。）

問題4我們看到，這些函數(shù)在第一象限都有圖象，所以我們就先來研究冪函數(shù)在上的性質(zhì)。請同學(xué)們考慮一下有哪些共性呢？（學(xué)生回答）

歸納總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)：冪函數(shù)圖象的基本特征是，當是，圖象過點，且在第一象限隨的增大而上升，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)。

下面我們一起來嘗試冪函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用

鞏固練習(xí)：例1寫出下列函數(shù)的定義域，并指出它們的奇偶性和單調(diào)性：①y=x②y=x③y=x。（板書一題，其他學(xué)生回答并小結(jié)）

感受理解例2：比較下列各組中兩個值的大小，并說明理由：

①0.75，0.76；

②（—0.95），（—0.96）；

③0.31，0.31

分析：利用考察其相對應(yīng)的冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性來比較大小

鞏固提高例3、冪函數(shù)y=（m—3m—3）x在區(qū)間上是減函數(shù)，求m的值。

（三）小結(jié)：今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容和方法有哪些？你有哪些收獲和經(jīng)驗？冪函數(shù)的圖象和形狀就可能發(fā)生很大的變化。我們今天主要研究了冪函數(shù)在第一象限的性質(zhì)。

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