在日常學習、工作或生活中，大家總少不了接觸作文或者范文吧，通過文章可以把我們那些零零散散的思想，聚集在一塊。那么我們該如何寫一篇較為完美的范文呢？下面是小編幫大家整理的優(yōu)質范文，僅供參考，大家一起來看看吧。
北師大版九年級中考數學基礎題 北師大版九年級數學題庫篇一
1.把下列命題改寫成“如果??”“那么??”的形式，指出它的題設和結論,并寫出他們的逆命題.（1）同位角相等，兩直線平行；
解：如果_______________________，那么_____________________;
題設為:________________________,結論為:________________________;
逆命題為:____________________________________________
（2）兩直線平行，同旁內角互補；（3）對頂角相等；(4）全等三角形的對應邊相等；（5）平行四邊形對應角相等；
2.三角形全等的判定方法有:_________,___________,_____________,___________,________;
3.全等三角形用符號______來表示;其對應邊_______對應角_________;
4.如圖,在△abc中,ab?ac,ad平分?bac,求證:
b
d
△abd?△abd
(第4題圖)(第5題圖)(第6題圖)
5.如圖,已知?abc??d,?acb??cbd,判斷圖中的兩個三角形是否全等,并說明理由;
6.如圖, △abc是等腰三角形,ad,be分別是?bac, △abd和△bae全等嗎?請說明你的理由.7.如圖 在?abcd中，求證?abd??cdb
b
b
(第7題圖)(第8題圖)
8.如圖,de?ab,df?ac,ae?af,你能找到一對全等的三角形嗎?并證明你的結論.9.已知ab與cd相交于o，?a??d,co?bo。求證：ao?do
10.如圖,在?abc中,bd?cd,be?ab,df?ac,e,f為垂足,de?df,求證:be?cf
11.如圖,在直線l上找出一個點p,使得點p到?aob的兩邊
b
第12題圖)(第13題圖)
12.如圖,已知ae?ce,bd?ac,求證:ab?cd?ad?bc
13.如圖, 在△abc中,?abc,?acb的平分線交于d,ef經過d,且ef∥bc,求證:ef?be?cf
14.如圖,e是?aob平分線上一點,ec?ao,ed?bo,垂足分別為c,d,求證:?edc??ecd
abd
e
(第14題圖)(第15題圖)
15.如圖,ab∥de,ac∥df,bc∥ef。求證:?abc??def
16.如圖,ae?db,bc?ef,bc∥ef。求證:?abc??def
17．?df,ac?de,be?cf,求證18.如圖,ac?bd,bc?ad。求證:?abc?a
第19題圖)
19.如圖?1??2,?b??d。求證:?abc??adc
20.如圖?a??b,ce ∥da,ce交ab于e。求證:c
d
(第20題圖)(第21題圖)
21.如圖,在△abc中,ab?ac,d是bc的中點,de?ab,df?ac,e,f是垂足,求證:de?df
22.如圖,?bda??cea,ae?ad。求證:ab?ac
b
(第23題圖)(第24題圖)23.如圖,?c??d,ce?de。求證:?bad??abc
北師大版九年級中考數學基礎題 北師大版九年級數學題庫篇二
幾何證明題（1）
1.如圖，ad∥bc，∠b=∠d，求證：ab∥cd。
a
d
c
2.如圖cd⊥ab，ef⊥ab，∠1=∠2，求證：∠agd=∠acb。
a
d
/
f
2bg be
3.已知∠1=∠2，∠1=∠3，求證：cd∥ob。
a
pc 3d /2 bo
4.如圖，已知∠1=∠2，∠c=∠cdo，求證：cd∥op。
d p
/2
cbo
3c
5.已知∠1=∠2，∠2=∠3，求證：cd∥eb。
c3d / boe6.如圖∠1=∠2，求證：∠3=∠4。
/3ba
dc42
7.已知∠a=∠e，fg∥de，求證：∠cfg=∠b。
ab
cg f ed
8.已知，如圖，∠1=∠2，∠2+∠3=1800，求證：a∥b，c∥d。
cd a
b32
9.如圖，ac∥de，dc∥ef，cd平分∠bca，求證：ef平分∠bed。
a
d
f
ebc
10、已知，如圖，∠1=450，∠2=1450，∠3=450，∠4=1350，求證：l1∥l2，l3∥l5，l3l2∥l4。
l11
l22
344 l5
11、如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，∠e=900，求證：ab∥cd。
ba 12
e cd
12、如圖，∠a=2∠b，∠d=2∠c，求證：ab∥cd。
cd
o
ab
13、如圖，ef∥gh，ab、ad、cb、cd是∠eac、∠fac、∠gca、∠hca的平分線，求證：∠bad=∠b=∠c=∠d。
a
fe
bd
ghc
14、已知，如圖，b、e、c在同一直線上，∠a=∠dec，∠d=∠bea，∠a+∠d=900，求證：ae⊥de，ab∥cd。
a
d
ceb
15、如圖，已知，be平分∠abc，∠cbf=∠cfb=650，∠edf=500，求證：bc∥ae。
e
cd
ba
16、已知，∠d=900，∠1=∠2，ef⊥cd，求證：∠3=∠b。
ad1
e3f
bc17、如圖，ab∥cd，∠1=∠2，∠b=∠3，ac∥de，求證：ad∥bc。
da 312
bce
北師大版九年級中考數學基礎題 北師大版九年級數學題庫篇三
九年級數學證明(二)單元測試
（時間：120分鐘滿分：100分）
一．選擇題。(2分*16=32分)
1.已知等腰三角形的兩邊長分別為6cm,3cm，則該等腰三角的周長是（d）
a.9cmb.12cmc.12cm或15cmd 15cm
2.如圖所示，∠aop =∠bop=15o，pc//oa, pd⊥oa,若pc=4，則pd等于（）
a.4b.3c.2d.13.如果直角三角形的三條邊長為2，4，a，那么a的取值可以有（）
a.0個b.1個c.2個d.3個
4.在rt△abc中，已知∠c = 90o，∠a =30o，bd是∠b的平分線，ac＝18，則bd的值為（）
a.4.9b.9c.12d.1
55.一個三角形三邊的長分別為15、20和25，那么它的最大邊上的高是（）
a.12.5b.12c.15∕2*√2d.9
6.下列各組數分別為三角形的三邊長：①2，3，4；②5，12，13；，2；④m2-n2，m2+n2，2 mn.其中是直角三角形的有（）
a.①②b.③④c.①③d.②④
7．如圖所示，等腰三角形abc中，bc是底，bd ⊥ ac于d，則∠dbc等于（）
a.1/2*∠a，b.1/2*∠bc.1/2*(90o一∠b)d.以上結果都不對
8.已知△abc中．∠b＝∠c＝2∠a，那么△abc是（）
a.頂角為銳角的等腰三角形b.等腰直角三角形
c.頂角為鈍角的等腰三角形d.以上答案都不對
9.如圖所示，在△abc中，∠acb = 90o，cd是ab邊上的高線，圖中與∠a互余的角有（）
a.0個b.1個c.2個d.3個
10.已知δabc中．ab = ac．∠a=50o，p為δabc內一點，且∠pbc=∠pca，那么∠bpc等于（），a.100ob.115oc.130od.65o
11.若△abc的邊bc的垂直平分線經過頂點a，與bc相交于點d,且ab＝2ad，則△abc中必有一個內角的度數為（）
a.45ob.60oc.90od.120o
12.如圖所示，在△abc中，ab＝ac，ad是△abc的角平分線，de⊥ab，df⊥ac，垂足分別為e, f.則下列四個結論：
①ad上任意一點到點c，b的距離相等；、②ad上任意一點到邊ab ．ac的距離相等：
③ bd＝cd ．ad⊥bc：④∠bde＝∠cdf.其中，正確的個數為（）
a.1個b.2個c.3個d.4個
13.逆命題“兩直線平行，同旁內角互補”的原命題是（）
a.兩直線平行，同位角相等b.兩直線平行，內錯角相等
c.同旁內角互補，兩直線平行d.同位角相等，兩直線平行
14.若一個三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，則這個三角形是（）
a.銳角三角形b.鈍角三角形c.直角三角形d.任意三角形
15.如圖，△abc中，ab=ac，∠bac=120o，ad⊥bc于d，de⊥ab于e，若ab=20cm，則de的長為（）
a.10cmb.5cmc.10d.516.2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標取材于我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那么?a?b?的值為（）．
2（a）13（b）19（c）25（d）169
第15題圖
二、填空題(3分*8=24分)
1.如圖所示，正六邊形defghi的頂點都在邊長為6cm的正三角形abc的邊上，則這個正六邊形的邊長是_________cm.2.如果等腰三角形的一個底角是80o，那么頂角是__________度．
3.三角形的三個角的度數之比為1:2:3，最小邊長是5cm，則最長邊長為___________．
4.在方格紙上有一個δabc，它的頂點位置如圖所示，則這個三角形是__________三角形．
5.如圖所示，已知∠abd＝∠c=90o，ad=12，ac=bc，∠dab = 30o，則bc＝___________.6.δabc中，∠c=90o，∠b=15o，ab的中垂線交bc于d，若bd=4cm，則ac=___________.7.若等邊三角形的高為2cm，則其邊長為_________.8.如圖：已知ad=db=bc，∠c=250，則∠ade=＿＿＿＿＿度.三、作圖題(5分+4分=9分)
1.已知：線段m和∠α如圖所示．求作：等腰△abc，使∠bac＝∠α，高線ad＝m。
第16題圖
2.如圖，求作一點p使pc=pd，并且使點p到∠aob的兩邊的距離相等.四、解答題
1.如圖，d是△abc中∠abc和∠acb的平分線交點，過d作與bc平行的直線，分別交ab、ac于e、f，求證：eb＋fc＝ef.（5分）
a
e d c
2.如圖，已知ad為δabc的高，e為ac上一點，be交ad于f，且有bf=ac，fd=cd，求證：be⊥ac．（6分）
3.如圖，在三角形abc中，ab=ac=9cm，∠bac=120o，ad是δabc的中線，ae是∠bad的平分線，df∥ab，交ae的延長線于f，求df的長。（6分）
4．如圖，△def中，de=df，過ef上一點a作直線分別與de、df的延長線交于點b, c,且be=cf，求證：
ab＝ac．（8分）
證明：過b作bg∥cd交ef于g．
∴∠egb=∠efd
∵de＝df
∴_______________
∴_______________
∴be=bg
∵be=cf
∴bg=cf
∵bg∥cd
∴∠gba=∠acf
∠agb=∠afc
∴△agb≌△
afc
∴ab=ac
閱讀后回答問題
(1)試在上述過程的橫線上填寫恰當的步驟．
(2)上述證明過程還有別的輔助線作法嗎？若有，試說出一種__________________________________
(3)如圖,若de＝df，ab=ac，則be、cf之間有何關系？___________________________________
(4)如圖,若ab＝ac，be＝cf，df=8cm，則de的長為________________．
附加題（10分）（注：
1、2班學生必做）
5.如圖(1)所示，bd, ce分別是△abc的外角平分線，過點a作af⊥bd, ag⊥ce,垂足分別為；f，g，連結fg，延長af, ag，與直線bc相交，易證fg＝1/2（ab＋bc+ac）
若（1）bd，ce分別是△abc的內角平分線（如圖（2））；（2）bd為△abc的內角平分線，ce為△abc的外角平分線（如圖(3)），則在圖（2）、圖(3)兩種情況下，線段fg與δabc三邊又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明．
北師大版九年級中考數學基礎題 北師大版九年級數學題庫篇四
全等三角形——基礎證明
1.把下列命題改寫成“如果??”“那么??”的形式，指出它的題設和結論,并寫出他們的逆命題.（1）同位角相等，兩直線平行；
解：如果_______________________，那么_____________________;
題設為:________________________,結論為:________________________;
逆命題為:____________________________________________
（2）兩直線平行，同旁內角互補；（3）對頂角相等；(4）全等三角形的對應邊相等；（5）平行四邊形對應角相等；
2.三角形全等的判定方法有:_________,___________,_____________,___________,________;
3.全等三角形用符號______來表示;其對應邊_______對應角_________;
4.如圖,在△
b
abc中,ab?ac,ad平分?bac,求證: △abd?△abd
(第4題圖)(第5題圖)(第6題圖)
5.如圖,已知?abc??d,?acb??cbd,判斷圖中的兩個三角形是否全等,并說明理由;
6.如圖, △abc是等腰三角形,△
ad,be分別是?bac,abd和△bae全等嗎?請說明你的理由.7.如圖 在?abcd中，求證?abd??cdb
b
b
(第7題圖)(第8題圖)
8.如圖,de?ab,df?ac,ae?af,你能找到一對全等的三角形嗎?并證明你的結論.(第9題圖)(第10題圖)
9.已知
ab與cd相交于o，?a??d,co?bo。求證：ao?do
10.如圖,在?abc中,bd證:be
?cd,be?ab,df?ac,e,f為垂足,de?df,求
?cf
11.如圖,在直線l上找出一個點p,使得點p到?aob的兩邊
b
第12題圖)(第13題圖)
12.如圖,已知ae
?ce,bd?ac,求證:ab?cd?ad?bc
13.如圖, 在△abc中,?abc,?acb的平分線交于d,ef經過d,且ef∥bc,求證:ef
?be?cf
14.如圖,e是?aob平分線上一點,ec證:?edc?ao,ed?bo,垂足分別為c,d,求
??ecd
abd(第14題圖)(第15題圖)
15.如圖,ab∥de,ac∥df,bc∥ef。求證:?abc??def
(第16題圖)(第17題圖)16.如圖,ae?db,bc?ef,bc∥ef。求證:?abc??def ab?df,ac?de,be?cf,求證 17．已知.18.如圖,ac?bd,bc?ad。求證:?abc?a
第19題圖)
19.如圖?1??2,?b??d。求證:?abc20.如圖?a??b,ce ∥da,ce交??adc
ab于e。求證:d
e
(第20題圖)(第21題圖)
21.如圖,在△abc中,ab求證:de
?ac,d是bc的中點,de?ab,df?ac,e,f是垂足,?df
22.如圖,?bda??cea,ae?ad。求證:ab?ac
b
(第23題圖)(第24題圖)23.如圖,?c
??d,ce?de。求證:?bad??abc
全等三角形證明題
1、如圖1：ab=bc，ad=dc。求證：∠a=∠c。
2、如圖2：已知ad=bc，ac=bd。求證：∠a=∠b。
b
a
d
c
ab
圖
1a
b
dc
圖
2圖
3c
d
e3、如圖3：d是ce的中點，ac=bd，ad=be。求證：△acd≌△bde。
4、如圖4：d是bc的中點，ab=ac。求證：∠bad=∠cad。
e
a
c
a
b
d
bdc
圖
45、如圖5：ae=df，ec=fb，ab=cd。求證：△aec≌△dfb。
6、如圖6：ad垂直平分bc。求證：ab=ac。
7、如圖7：ad=cb，∠1=∠2。求證：△adc≌△cba。
a
圖
5a
d
b
d
c
圖6
e
f
bc
圖7
a
bcd
圖88、如圖8：a、b、c、d在一條直線上，ae∥bf且ae=bf，ab=cd。求證：△aec≌△bfd。
9、如圖9：a、b、c、d在一條直線上，ab=cd，de∥af且de=af。求證：be=cf。
10、如圖10：a、b、c、d在一條直線上，af∥ce且af=ce，ac=bd。求證：bf=de。
a
b
c
d
f
e
a
b
圖10
cd
圖1111、如圖11：∠acd=∠bdc，ac=bd。求證：∠a=∠b。
12、如圖12：ab與cd交與點o，ad∥bc且ad=bc。求證：oa=ob，oc=od。
f
a
o
c
bd
e
a
bcd
圖1
3圖1413、如圖13：a、b、c、d在一條直線上，af∥be，cf∥de，ab=cd。求證：af=be。
14、如圖14：∠1=∠2，∠a=∠b，ae=be。求證：ce=de。
15、如圖15：c、d、e、f在一條直線上，ac⊥cf，be⊥cf，ad∥bf且ad=bf。求證：ac=be。
ab
a
b
e
cd
cdef
f
圖1616、如圖16：a、b、c、d在一條直線上，fb⊥ad，ec⊥ad，af∥de且af=de。求證：ab=cd。
17、如圖17：ac與de交與點b，b是de的中點，ae⊥ac，dc⊥ac。求證：b也是ac的中點。
18、如圖18：a、b、c、d在一條直線上，ea⊥ad，fd⊥ad，be=cf，ac=bd。求證△abe≌△dcf。
ec
a
bf
d
ba
圖19
圖20
c
e
d19、如圖19：a、b、c、d在一條直線上，fb⊥ad，ec⊥ad，ae=df，ab=dc。求證：fb=ec。
20、如圖20：be⊥cd，be=de，bc=da。求證：ae=ce。
北師大版九年級中考數學基礎題 北師大版九年級數學題庫篇五
基礎證明題
1．如圖，點e，f在ab上，ad=bc，∠a=∠b，ae=bf．求證：△adf≌△bce．
2．如圖，ac=dc，bc=ec，∠acd=∠bce．求證：∠a=∠d．
3．如圖，點b、e、c、f在一條直線上，ab=df，ac=de，be=fc．（1）求證：△abc≌△dfe；
（2）連接af、bd，求證：四邊形abdf是平行四邊形．
4．如圖，已知在四邊形abcd中，點e在ad上，∠bce=∠acd=90°，∠bac=∠d，bc=ce．
（1）求證：ac=cd；（2）若ac=ae，求∠dec的度數．
5．已知△abc中，∠abc=∠acb，點d，e分別為邊ab、ac的中點，求證：be=cd．
6．如圖，∠a=∠b，ae=be，點d在ac邊上，∠1=∠2，ae和bd相交于點o．（1）求證：△aec≌△bed；（2）若∠1=42°，求∠bde的度數．
7．已知：如圖，在?abcd中，延長ab至點e，延長cd至點f，使得be=df．連接ef，與對角線ac交于點o．求證：oe=of．
8．如圖，四邊形abcd是平行四邊形，e，f是對角線bd上的兩點，且bf=ed，求證：ae∥cf．
9．如圖，分別以rt△abc的直角邊ac及斜邊ab向外作等邊△acd及等邊△abe，已知：∠bac=30°，ef⊥ab，垂足為f，連接df．
（1）試說明ac=ef；（2）求證：四邊形adfe是平行四邊形．
10．如圖，在正方形abcd中，e、f分別為邊ad和cd上的點，且ae=cf，連接af、ce交于點g．求證：ag=cg．
11．如圖，在矩形abcd，ad=ae，df⊥ae于點f．求證：ab=df．
12．如圖，點e，f分別在菱形abcd的邊dc，da上，且ce=af． 求證：∠abf=∠cbe．
13．如圖，在菱形abcd中，過點d作de⊥ab于點e，作df⊥bc于點f，連接ef． 求證：（1）△ade≌△cdf；（2）∠bef=∠bfe．
14．如圖，四邊形abcd是正方形，e、f分別是ab、ad上的一點，且bf⊥ce，垂足為g，求證：af=be．
15．如圖，四邊形abcd是正方形，點e，f分別在ad，dc上，且ae=df． 求證：be=af．
16．已知，如圖，正方形abcd中，e為bc邊上一點，f為ba延長線上一點，且ce=af．連接de、df．求證：de=df．
17．如圖，四邊形abcd是正方形，△ebc是等邊三角形．（1）求證：△abe≌△dce；（2）求∠aed的度數．
18．如圖，矩形abcd中，ac與bd交于點o，be⊥ac，cf⊥bd，垂足分別為e，f． 求證：be=cf．
19．如圖，在正方形abcd的外側，作等邊三角形ade，連接be，ce．（1）求證：be=ce．（2）求∠bec的度數．
20．如圖，四邊形abcd是正方形，點e是bc的中點，∠aef=90°，ef交正方形外角的平分線cf于f．求證：ae=ef．
21．如圖，ab是⊙o的直徑，c是⊙o上一點，d在ab的延長線上，且∠bcd=∠a．（1）求證：cd是⊙o的切線；
（2）若⊙o的半徑為3，cd=4，求bd的長．
22．如圖，ab是⊙o的直徑，∠acd=20°，求∠bad的度數．
23．如圖，在△abc中，ab=ac，以ab為直徑作⊙o交bc于點d，過點d作⊙o的切線de交ac于點e，交ab延長線于點f．
（1）求證：de⊥ac；（2）若ab=10，ae=8，求bf的長．
24．如圖，在rt△abc中，∠c=90°，以bc為直徑的⊙o交ab于點d，切線de交ac于點e．
（1）求證：∠a=∠ade；（2）若ad=16，de=10，求bc的長．
25．如圖，在△abc中，以bc為直徑的⊙o交ac于點e，過點e作⊙o的切線且ef⊥ab于點f，延長ef交cb的延長線于點g，（1）求證： ∠abg=2∠c．
（2）若sin∠egc=，⊙o的半徑是3，求af的長．
26．如圖，ab是⊙o的直徑，點c在ab的延長線上且直線ce是⊙o的切線，ae⊥cd，垂足為點e．
（1）求證：，ad平分∠cae
（2）若bc=3，cd=3，求弦ad的長．
27．如圖，rt△abc中，∠c=90°，bc=3，點o在ab上，ob=2，以ob為半徑的⊙o與ac相切于點d，交bc于點e，求弦be的長．
28．如圖，ab為⊙o的直徑，c為⊙o上一點，ad與過點c的切線互相垂直，垂足為點d，ad交⊙o于點e，連接ce，cb．（1）求證：ce=cb；（2）若ac=
229．如圖，ab是⊙o的直徑，cd與⊙o相切于點c，與ab的延長線交于d．（1）求證：△adc∽△cdb；
（2）若ac=2，ab=cd，求⊙o半徑．
30．如圖，ab與⊙o相切于點b，bc為⊙o的弦，oc⊥oa，oa與bc相交于點p．（1）求證：ap=ab；
（2）若ob=4，ab=3，求線段bp的長．，ce=，求ae的長．
31．如圖，已知ab是⊙o的直徑，點p為圓上一點，點c為ab延長線上一點，pa=pc，∠c=30°．
（1）求證：cp是⊙o的切線．
（2）若⊙o的直徑為8，求陰影部分的面積．
32．如圖，矩形abcd中，ab=4，ad=3，m是邊cd上一點，將△adm沿直線am對折，得到△anm．
（1）當an平分∠mab時，求dm的長；（2）連接bn，當dm=1時，求△abn的面積；（3）當射線bn交線段cd于點f時，求df的最大值．
33．如圖1，在正方形abcd中，p是對角線bd上的一點，點e在ad的延長線上，且pa=pe，pe交cd于f．
（1）證明：pc=pe；（2）求∠cpe的度數；
（3）如圖2，把正方形abcd改為菱形abcd，其他條件不變，當∠abc=120°時，連接ce，試探究線段ap與線段ce的數量關系，并說明理由．
2018年04月04日十二中數學2的初中數學組卷
參考答案與試題解析
一．解答題（共37小題）
1．如圖，點e，f在ab上，ad=bc，∠a=∠b，ae=bf．求證：△adf≌△bce．
【解答】解：∵ae=bf，∴ae+ef=bf+ef，∴af=be，在△adf與△bce中，∴△adf≌△bce（sas）
2．如圖，ac=dc，bc=ec，∠acd=∠bce．求證：∠a=∠d．
【解答】證明：∵∠acd=∠bce，∴∠acb=∠dce，在△abc和△dec中，∴△abc≌△dec（sas），∴∠a=∠d．，3．如圖，點b、e、c、f在一條直線上，ab=df，ac=de，be=fc．（1）求證：△abc≌△dfe；
（2）連接af、bd，求證：四邊形abdf是平行四邊形．
【解答】證明：（1）∵be=fc，∴bc=ef，在△abc和△dfe中，∴△abc≌△dfe（sss）；（2）解：如圖所示： 由（1）知△abc≌△dfe，∴∠abc=∠dfe，∴ab∥df，∵ab=df，∴四邊形abdf是平行四邊形．
4．如圖，已知在四邊形abcd中，點e在ad上，∠bce=∠acd=90°，∠bac=∠d，bc=ce．（1）求證：ac=cd；，（2）若ac=ae，求∠dec的度數．
【解答】解：∵∠bce=∠acd=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△abc和△dec中，∴△abc≌△dec（aas），∴ac=cd；
（2）∵∠acd=90°，ac=cd，∴∠2=∠d=45°，∵ae=ac，∴∠4=∠6=67.5°，∴∠dec=180°﹣∠6=112.5°．，5．已知△abc中，∠abc=∠acb，點d，e分別為邊ab、ac的中點，求證：be=cd．
【解答】證明：∵∠abc=∠acb，∴ab=ac，∵點d、e分別是ab、ac的中點． ∴ad=ae，在△abe與△acd中，∴△abe≌△acd，∴be=cd．
6．如圖，∠a=∠b，ae=be，點d在ac邊上，∠1=∠2，ae和bd相交于點o．（1）求證：△aec≌△bed；（2）若∠1=42°，求∠bde的度數．
【解答】解：（1）證明：∵ae和bd相交于點o，∴∠aod=∠boe． 在△aod和△boe中，∠a=∠b，∴∠beo=∠2．
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠beo，∴∠aec=∠bed． 在△aec和△bed中，∴△aec≌△bed（asa）．（2）∵△aec≌△bed，∴ec=ed，∠c=∠bde． 在△edc中，∵ec=ed，∠1=42°，∴∠c=∠edc=69°，∴∠bde=∠c=69°．
7．已知：如圖，在?abcd中，延長ab至點e，延長cd至點f，使得be=df．連接ef，與對角線ac交于點o． 求證：oe=of．
【解答】證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，∴ab∥cd，ab=cd，∵be=df，∴ab+be=cd+df，即ae=cf，∵ab∥cd，∴ae∥cf，∴∠e=∠f，∠oae=∠ocf，在△aoe和△cof中，∴△aoe≌△cof（asa），∴oe=of．
8．如圖，在?abcd中，be⊥ac，垂足e在ca的延長線上，df⊥ac，垂足f在ac的延長線上，求證：ae=cf．，【解答】證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，∴ab∥cd，ab=cd，∴∠bac=∠dca，∴180°﹣∠bac=180°﹣∠dca，∴∠eab=∠fcd，∵be⊥ac，df⊥ac，∴∠bea=∠dfc=90°，在△bea和△dfc中，∴△bea≌△dfc（aas），∴ae=cf．
9．如圖，四邊形abcd是平行四邊形，e，f是對角線bd上的兩點，且bf=ed，求證：ae∥cf．，【解答】證明：連接ac，交bd于點o，如圖所示： ∵四邊形abcd是平行四邊形，∴oa=oc，ob=od，∵bf=ed，∴oe=of，∵oa=oc，∴四邊形aecf是平行四邊形，∴ae∥cf．
10．如圖，分別以rt△abc的直角邊ac及斜邊ab向外作等邊△acd及等邊△abe，已知：∠bac=30°，ef⊥ab，垂足為f，連接df．（1）試說明ac=ef；
（2）求證：四邊形adfe是平行四邊形．
【解答】證明：（1）∵rt△abc中，∠bac=30°，∴ab=2bc，又∵△abe是等邊三角形，ef⊥ab，∴ab=2af ∴af=bc，在rt△afe和rt△bca中，∴rt△afe≌rt△bca（hl），∴ac=ef；
（2）∵△acd是等邊三角形，∴∠dac=60°，ac=ad，∴∠dab=∠dac+∠bac=90° 又∵ef⊥ab，∴ef∥ad，∵ac=ef，ac=ad，∴ef=ad，∴四邊形adfe是平行四邊形．
11．如圖，在正方形abcd中，e、f分別為邊ad和cd上的點，且ae=cf，連接af、ce交于點g．求證：ag=cg．
【解答】證明：∵四邊形abcd是正方形，∴∠adf=cde=90°，ad=cd．
∵ae=cf，∴de=df，在△adf和△cde中∴△adf≌△cde（sas），∴∠daf=∠dce，在△age和△cgf中，∴△age≌△cgf（aas），∴ag=cg．
12．如圖，在矩形abcd，ad=ae，df⊥ae于點f．求證：ab=df．，【解答】證明：∵四邊形abcd是矩形，∴ad∥bc，∠b=90°，∴∠aeb=∠dae，∵df⊥ae，∴∠afd=∠b=90°，在△abe和△dfa中 ∵
∴△abe≌△dfa，∴ab=df．
13．如圖，點e，f分別在菱形abcd的邊dc，da上，且ce=af． 求證：∠abf=∠cbe．
【解答】證明：∵四邊形abcd是菱形，∴ab=bc，∠a=∠c，∵在△abf和△cbe中，∴△abf≌△cbe（sas），∴∠abf=∠cbe．
14．如圖，在菱形abcd中，過點d作de⊥ab于點e，作df⊥bc于點f，連接ef． 求證：（1）△ade≌△cdf；（2）∠bef=∠bfe．，【解答】證明：（1）∵四邊形abcd是菱形，∴ad=cd，∠a=∠c，∵de⊥ba，df⊥cb，∴∠aed=∠cfd=90°，在△ade和△cdf，∵，∴△ade≌△cdf；
（2）∵四邊形abcd是菱形，∴ab=cb，∵△ade≌△cdf，∴ae=cf，∴be=bf，∴∠bef=∠bfe．
15．如圖，四邊形abcd是正方形，e、f分別是ab、ad上的一點，且bf⊥ce，垂足為g，求證：af=be．
【解答】證明：∵四邊形abcd是正方形，∴ab=bc，∠a=∠cbe=90°，∵bf⊥ce，∴∠bce+∠cbg=90°，∵∠abf+∠cbg=90°，∴∠bce=∠abf，在△bce和△abf中，∴△bce≌△abf（asa），∴be=af．
16．如圖，四邊形abcd是正方形，點e，f分別在ad，dc上，且ae=df． 求證：be=af．
【解答】證明：∵四邊形abcd是正方形，∴ab=da，∠bae=∠adf=90°，在△bae和△adf中，∴△bae≌△adf（sas），∴be=af．
17．如圖，四邊形abcd是正方形，△ebc是等邊三角形．（1）求證：△abe≌△dce；（2）求∠aed的度數．
【解答】（1）證明：∵四邊形abcd是正方形，△abc是等邊三角形，∴ba=bc=cd=be=ce，∠abc=∠bcd=90°，∠ebc=∠ecb=60°，∴∠abe=∠ecd=30°，在△abe和△dce中，∴△abe≌△dce（sas）．
（2）∵ba=be，∠abe=30°，∴∠bae=（180°﹣30°）=75°，∵∠bad=90°，∴∠ead=90°﹣75°=15°，同理可得∠ade=15°，∴∠aed=180°﹣15°﹣15°=150°．
18．如圖，四邊形abcd是正方形，點e是bc的中點，∠aef=90°，ef交正方形外角的平分線cf于f．求證：ae=ef．
【解答】證明：取ab的中點h，連接eh； ∵∠aef=90°，∴∠2+∠aeb=90°，∵四邊形abcd是正方形，∴∠1+∠aeb=90°，∴∠1=∠2，∵e是bc的中點，h是ab的中點，∴bh=be，ah=ce，∴∠bhe=45°，∵cf是∠dcg的角平分線，∴∠fcg=45°，∴∠ahe=∠ecf=135°，在△ahe和△ecf中，∴△ahe≌△ecf（asa），∴ae=ef．
19．已知，如圖，正方形abcd中，e為bc邊上一點，f為ba延長線上一點，且ce=af．連接de、df．求證：de=df．
【解答】證明：∵四邊形abcd是正方形，∴ad=cd，∠dab=∠c=90°，∴∠fad=180°﹣∠dab=90°． 在△dce和△daf中，∴△dce≌△daf（sas），∴de=df．
20．如圖，矩形abcd中，ac與bd交于點o，be⊥ac，cf⊥bd，垂足分別為e，f． 求證：be=cf．
【解答】證明：∵四邊形abcd為矩形，∴ac=bd，則bo=co． ∵be⊥ac于e，cf⊥bd于f，∴∠beo=∠cfo=90°． 又∵∠boe=∠cof，∴△boe≌△cof． ∴be=cf．
21．如圖，在正方形abcd的外側，作等邊三角形ade，連接be，ce．（1）求證：be=ce．（2）求∠bec的度數．
【解答】（1）證明：∵四邊形abcd為正方形
∴ab=ad=cd，∠bad=∠adc=90° ∵三角形ade為正三角形 ∴ae=ad=de，∠ead=∠eda=60° ∴∠bae=∠cde=150° 在△bae和△cde中∴△bae≌△cde ∴be=ce；
（2）∵ab=ad，ad=ae，∴ab=ae，∴∠abe=∠aeb，又∵∠bae=150°，∴∠abe=∠aeb=15°，同理：∠ced=15°
∴∠bec=60°﹣15°×2=30°．
22．如圖，ab是⊙o的直徑，c是⊙o上一點，d在ab的延長線上，且∠bcd=∠a．（1）求證：cd是⊙o的切線；
（2）若⊙o的半徑為3，cd=4，求bd的長．，【解答】（1）證明：如圖，連接oc． ∵ab是⊙o的直徑，c是⊙o上一點，∴∠acb=90°，即∠aco+∠ocb=90°． ∵oa=oc，∠bcd=∠a，∴∠aco=∠a=∠bcd，∴∠bcd+∠ocb=90°，即∠ocd=90°，∴cd是⊙o的切線．
（2）解：在rt△ocd中，∠ocd=90°，oc=3，cd=4，∴od==5，∴bd=od﹣ob=5﹣3=2．
23．如圖，ab是⊙o的直徑，∠acd=25°，求∠bad的度數．
【解答】解：∵ab為⊙o直徑 ∴∠adb=90°
∵相同的弧所對應的圓周角相等，且∠acd=25° ∴∠b=25°
∴∠bad=90°﹣∠b=65°．
24．如圖，在△abc中，ab=ac，以ab為直徑作⊙o交bc于點d，過點d作⊙o的切線de交ac于點e，交ab延長線于點f．（1）求證：de⊥ac；
（2）若ab=10，ae=8，求bf的長．
【解答】解：（1）連接od、ad，∵de切⊙o于點d，∴od⊥de，∵ab是直徑，∴∠adb=90°，∵ab=ac，∴d是bc的中點，又∵o是ab中點，∴od∥ac，∴de⊥ac；
（2）∵ab=10，∴ob=od=5，由（1）得od∥ac，∴△odf∽△aef，∴==，設bf=x，ae=8，∴=解得：x=經檢驗x=∴bf=
25．如圖，在△abc中，以bc為直徑的⊙o交ac于點e，過點e作ef⊥ab于點f，延長ef交cb的延長線于點g，且∠abg=2∠c．（1）求證：ef是⊙o的切線；
（2）若sin∠egc=，⊙o的半徑是3，求af的長． ．，是原分式方程的根，且符合題意，【解答】解：（1）如圖，連接eo，則oe=oc，∴∠eog=2∠c，∵∠abg=2∠c，∴∠eog=∠abg，∴ab∥eo，∵ef⊥ab，∴ef⊥oe，又∵oe是⊙o的半徑，∴ef是⊙o的切線；
（2）∵∠abg=2∠c，∠abg=∠c+∠a，∴∠a=∠c，∴ba=bc=6，在rt△oeg中，∵sin∠ego=∴og===5，∴bg=og﹣ob=2，在rt△fgb中，∵sin∠ego=∴bf=bgsin∠ego=2×=，則af=ab﹣bf=6﹣=
26．如圖，在rt△abc中，∠c=90°，以bc為直徑的⊙o交ab于點d，切線de交ac于點e．
（1）求證：∠a=∠ade；
（2）若ad=16，de=10，求bc的長． ．，【解答】（1）證明：連接od，∵de是切線，∴∠ode=90°，∴∠ade+∠bdo=90°，∵∠acb=90°，∴∠a+∠b=90°，∵od=ob，∴∠b=∠bdo，∴∠ade=∠a．
（2）連接cd． ∵∠ade=∠a，∴ae=de，∵bc是⊙o的直徑，∠acb=90°，∴ec是⊙o的切線，∴ed=ec，∴ae=ec，∵de=10，∴ac=2de=20，在rt△adc中，dc==12，設bd=x，在rt△bdc中，bc2=x2+122，在rt△abc中，bc2=（x+16）2﹣202，∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，∴bc==15．
27．如圖，ab是⊙o的直徑，點c在ab的延長線上，ad平分∠cae交⊙o于點d，且ae⊥cd，垂足為點e．
（1）求證：直線ce是⊙o的切線．（2）若bc=3，cd=3，求弦ad的長．
【解答】（1）證明：連接od，如圖，∵ad平分∠eac，∴∠1=∠3，∵oa=od，∴∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴od∥ae，∵ae⊥dc，∴od⊥ce，∴ce是⊙o的切線；
（2）連接bd． ∵∠cdo=∠adb=90°，∴∠2=∠cdb=∠1，∵∠c=∠c，∴△cdb∽△cad，∴==，∴cd2=cb?ca，∴（3）2=3ca，∴ca=6，∴ab=ca﹣bc=3，==，設bd=
k，ad=2k，在rt△adb中，2k2+4k2=9，∴k=∴ad=，．
28．如圖，已知ab是⊙o的直徑，cd與⊙o相切于c，be∥co．（1）求證：bc是∠abe的平分線；
（2）若dc=8，⊙o的半徑oa=6，求ce的長．
【解答】（1）證明：∵de是切線，∴oc⊥de，∵be∥co，∴∠ocb=∠cbe，∵oc=ob，∴∠ocb=∠obc，∴∠cbe=∠cbo，∴bc平分∠abe．
（2）在rt△cdo中，∵dc=8，oc=0a=6，∴od=∵oc∥be，∴∴==，=10，∴ec=4.8．
29．如圖，rt△abc中，∠c=90°，bc=3，點o在ab上，ob=2，以ob為半徑的⊙o與ac相切于點d，交bc于點e，求弦be的長．
【解答】解：連接od，作of⊥be于點f． ∴bf=be，∵ac是圓的切線，∴od⊥ac，∴∠odc=∠c=∠ofc=90°，∴四邊形odcf是矩形，∵od=ob=fc=2，bc=3，∴bf=bc﹣fc=bc﹣od=3﹣2=1，∴be=2bf=2．
30．如圖，已知：ab是⊙o的直徑，點c在⊙o上，cd是⊙o的切線，ad⊥cd于點d，e是ab延長線上一點，ce交⊙o于點f，連接oc、ac．（1）求證：ac平分∠dao．（2）若∠dao=105°，∠e=30° ①求∠oce的度數； ②若⊙o的半徑為2，求線段ef的長．
【解答】解：（1）∵cd是⊙o的切線，∴oc⊥cd，∵ad⊥cd，∴ad∥oc，∴∠dac=∠oca，∵oc=oa，∴∠oca=∠oac，∴∠oac=∠dac，∴ac平分∠dao；
（2）①∵ad∥oc，∴∠eoc=∠dao=105°，∵∠e=30°，∴∠oce=45°； ②作og⊥ce于點g，則cg=fg=og，∵oc=2，∠oce=45°，∴cg=og=2，∴fg=2，在rt△oge中，∠e=30°，∴ge=2∴
31．如圖，ab為⊙o的直徑，c為⊙o上一點，ad與過點c的切線互相垂直，垂足為點d，ad交⊙o于點e，連接ce，cb．（1）求證：ce=cb；（2）若ac=2，ce=，求ae的長．，．
【解答】（1）證明：連接oc，∵cd是⊙o的切線，∴oc⊥cd． ∵ad⊥cd，∴oc∥ad，∴∠1=∠3． 又oa=oc，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴ce=cb；
（2）解：∵ab是直徑，∴∠acb=90°，∵ac=2，cb=ce=，∴ab===5．
∵∠adc=∠acb=90°，∠1=∠2，∴△adc∽△acb，∴==，即==，∴ad=4，dc=2． 在直角△dce中，de=∴ae=ad﹣ed=4﹣1=3．
=1，32．如圖，ab是⊙o的直徑，cd與⊙o相切于點c，與ab的延長線交于d．（1）求證：△adc∽△cdb；
（2）若ac=2，ab=cd，求⊙o半徑．
【解答】（1）證明：如圖，連接co，∵cd與⊙o相切于點c，∴∠ocd=90°，∵ab是圓o的直徑，∴∠acb=90°，∴∠aco=∠bcd，∵∠aco=∠cad，∴∠cad=∠bcd，在△adc和△cdb中，∴△adc∽△cdb．
（2）解：設cd為x，則ab=x，oc=ob=x，∵∠ocd=90°，∴od===x，∴bd=od﹣ob=x﹣x=x，由（1）知，△adc∽△cdb，∴即=，解得cb=1，∴ab=∴⊙o半徑是
33．如圖，已知ab是⊙o的直徑，過o點作op⊥ab，交弦ac于點d，交⊙o于點e，且使∠pca=∠abc． =．，（1）求證：pc是⊙o的切線；（2）若∠p=60°，pc=2，求pe的長．
【解答】解：（1）連接oc，∵ab是⊙o的直徑，∴∠acb=90°，∴∠bco+∠aco=90°，∵oc=ob，∴∠b=∠bco，∵∠pca=∠abc，∴∠bco=∠acp，∴∠acp+∠oca=90°，∴∠ocp=90°，∴pc是⊙o的切線；
（2）∵∠p=60°，pc=2，∠pco=90°，∴oc=2，op=2pc=4，． ∴pe=op﹣oe=op﹣oc=4﹣2
34．如圖，ab與⊙o相切于點b，bc為⊙o的弦，oc⊥oa，oa與bc相交于點p．（1）求證：ap=ab；
（2）若ob=4，ab=3，求線段bp的長．
【解答】（1）證明：∵oc=ob，∴∠ocb=∠obc，∵ab是⊙o的切線，∴ob⊥ab，∴∠oba=90°，∴∠abp+∠obc=90°，∵oc⊥ao，∴∠aoc=90°，∴∠ocb+∠cpo=90°，∵∠apb=∠cpo，∴∠apb=∠abp，∴ap=ab．
（2）解：作oh⊥bc于h． 在rt△oab中，∵ob=4，ab=3，∴oa=∵ap=ab=3，∴po=2． =5，在rt△poc中，pc=∵?pc?oh=?oc?op，∴oh=∴ch=∵oh⊥bc，∴ch=bh，∴bc=2ch=∴pb=bc﹣pc=，﹣2===，=2，．
35．如圖，已知ab是⊙o的直徑，點p為圓上一點，點c為ab延長線上一點，pa=pc，∠c=30°．
（1）求證：cp是⊙o的切線．
（2）若⊙o的直徑為8，求陰影部分的面積．
【解答】（1）證明：連接op，如圖所示： ∵pa=pc，∠c=30°，∴∠a=∠c=30°，∴∠apc=120°，∵oa=op，∴∠opa=∠a=30°，∴∠opc=120°﹣30°=90°，即op⊥cp，∴cp是⊙o的切線．
（2）解：∵ab是⊙o的直徑，∴∠apb=90°，∴∠obp=90°﹣∠a=60°，∵op=ob=4，∴△obp是等邊三角形，∴∠poc=60°，∵op⊥cp，∴∠c=30°，∴oc=2op=2ob=8，∴pc===
4，﹣××4×4
=
﹣∴陰影部分的面積=扇形obp的面積﹣△obp的面積=4．
36．如圖，矩形abcd中，ab=4，ad=3，m是邊cd上一點，將△adm沿直線am對折，得到△anm．
（1）當an平分∠mab時，求dm的長；
（2）連接bn，當dm=1時，求△abn的面積；（3）當射線bn交線段cd于點f時，求df的最大值．
【解答】解：（1）由折疊性質得：△anm≌△adm，∴∠man=∠dam，∵an平分∠mab，∠man=∠nab，∴∠dam=∠man=∠nab，∵四邊形abcd是矩形，∴∠dab=90°，∴∠dam=30°，∴dm=ad?tan∠dam=3×tan30°=3×
=
；
（2）延長mn交ab延長線于點q，如圖1所示： ∵四邊形abcd是矩形，∴ab∥dc，∴∠dma=∠maq，由折疊性質得：△anm≌△adm，∴∠dma=∠amq，an=ad=3，mn=md=1，∴∠maq=∠amq，∴mq=aq，設nq=x，則aq=mq=1+x，∵∠anm=90°，∴∠anq=90°，在rt△anq中，由勾股定理得：aq2=an2+nq2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴nq=4，aq=5，∵ab=4，aq=5，∴s△nab=s△naq=×an?nq=××3×4=（3）過點a作ah⊥bf于點h，如圖2所示： ∵四邊形abcd是矩形，∴ab∥dc，∴∠hba=∠bfc，∵∠ahb=∠bcf=90°，∴△abh∽△bfc，∴=，；
∵ah≤an=3，ab=4，∴當點n、h重合（即ah=an）時，ah最大，bh最小，cf最小，df最大，此時點m、f重合，b、n、m三點共線，如圖3所示： 由折疊性質得：ad=ah，∵ad=bc，∴ah=bc，在△abh和△bfc中，∴△abh≌△bfc（aas），∴cf=bh，由勾股定理得：bh=∴cf=，． =
=，∴df的最大值=dc﹣cf=4﹣
37．如圖1，在正方形abcd中，p是對角線bd上的一點，點e在ad的延長線上，且pa=pe，pe交cd于f．（1）證明：pc=pe；（2）求∠cpe的度數；
（3）如圖2，把正方形abcd改為菱形abcd，其他條件不變，當∠abc=120°時，連接ce，試探究線段ap與線段ce的數量關系，并說明理由．
【解答】（1）證明：在正方形abcd中，ab=bc，∠abp=∠cbp=45°，在△abp和△cbp中，∴△abp≌△cbp（sas），∴pa=pc，∵pa=pe，∴pc=pe；
（2）由（1）知，△abp≌△cbp，∴∠bap=∠bcp，∴∠dap=∠dcp，∵pa=pe，∴∠dap=∠e，∴∠dcp=∠e，∵∠cfp=∠efd（對頂角相等），∴180°﹣∠pfc﹣∠pcf=180°﹣∠dfe﹣∠e，即∠cpf=∠edf=90°；
（3）在菱形abcd中，ab=bc，∠abp=∠cbp=60°，在△abp和△cbp中，∴△abp≌△cbp（sas），∴pa=pc，∠bap=∠bcp，∵pa=pe，∴pc=pe，∴∠dap=∠dcp，∵pa=pc，∴∠dap=∠aep，∴∠dcp=∠aep
∵∠cfp=∠efd（對頂角相等），∴180°﹣∠pfc﹣∠pcf=180°﹣∠dfe﹣∠aep，即∠cpf=∠edf=180°﹣∠adc=180°﹣120°=60°，∴△epc是等邊三角形，∴pc=ce，∴ap=ce．
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