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高二數(shù)學(xué)二面角篇一
本節(jié)是高二數(shù)學(xué)下冊第九章《直線、平面、簡單幾何體》中相關(guān)§96二面角的求解問題。是在立體幾何知識學(xué)習(xí)完畢，學(xué)生已具有了一定的空間想象能力，掌握了一定的立體幾何的研究方法的基礎(chǔ)之上，對二面角求解方法進行的一個補充。二面角的求解是立體幾何部分的一個重點也是一個難點，本節(jié)內(nèi)容為學(xué)生提供一個新的`視角。
將異面直線兩點間距離公式變形應(yīng)用于求二面角，變形所得公式就是本節(jié)所學(xué)主要內(nèi)容，暫且稱這個公式為二面角余弦公式。
異面直線兩點間距離公式在求二面角中的應(yīng)用；
（1）.推廣引申不但能加深對原題的理解，而且對于擴大解題效果，提高解題能力，培養(yǎng)發(fā)散思維，激發(fā)創(chuàng)新意識，都有不可忽視的積極作用。
（2）.通過轉(zhuǎn)化問題探究公式條件的過程，培養(yǎng)學(xué)生探索問題的精神，提高學(xué)生化歸的意識和轉(zhuǎn)化的能力。
情感目標(biāo)：通過問題的轉(zhuǎn)化過程，讓學(xué)生認識萬物都處于聯(lián)系之中，我們要用聯(lián)系的觀點看待問題。
重點：二面角余弦公式條件的發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的確定；
難點：二面角余弦公式條件的發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的確定；
立體幾何知識學(xué)習(xí)完畢，學(xué)生已具有了一定的空間想象能力，掌握了一定的立體幾何的研究方法，并成為本節(jié)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。
高二學(xué)生觀察力已具有一定的目的性、精細性、持久性，有意識記占主導(dǎo)地位、意義識記以占重要地位，同時概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和運用邏輯法則的能力，但由于認知水平的不同，學(xué)生掌握和運用邏輯法則的能力存在不平衡性。
本節(jié)采用啟導(dǎo)法，以質(zhì)疑啟發(fā)、直觀啟發(fā)為主，通過一系列帶有啟發(fā)性、思考性的問題，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生思考，教師適時演示，利用多媒體的直觀性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，化靜為動，使學(xué)生始終處于主動探索問題的積極狀態(tài)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
根據(jù)學(xué)法指導(dǎo)自主性和差異性原則，讓學(xué)生在“觀察——發(fā)現(xiàn)——推理——應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過程中，自主參與知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，使學(xué)生掌握知識，發(fā)展思維能力。
設(shè)疑導(dǎo)入→構(gòu)建條件→形成公式→公式應(yīng)用→教學(xué)反思。
（一）情境設(shè)置
習(xí)題1：教科書80頁題10
設(shè)計意圖：由此題與學(xué)生共同回顧二面角的定義及其求解方法，并且根據(jù)題設(shè)條件，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)該二面角的求解由異面直線ac、db的位置關(guān)系來確定，提出為什么異面直線可以確定二面角，異面直線怎樣確定二面角呢？引出問題二，從而進入第二環(huán)節(jié)——探索研究。
（二）探索研究
問題二：
問1：什么是異面直線的公垂線？兩異面直線有多少條公垂線？
問2：設(shè)異面直線a、b公垂線為l，則a、b、l三條直線可以確定多少個平面？
問3：這兩相交平面可以構(gòu)成兩對二面角，這兩對二面角大小有什么關(guān)系？（設(shè)計意圖：到此完成由異面直線構(gòu)造二面角）
問4：從四個二面角任選一個二面角，該二面角的大小與異面直線位置有什么關(guān)系？
通過問題的層層深入，讓學(xué)生自己觀察、思考得出異面直線的位置可以確定二面角的大小的結(jié)論。再通過教具的演示讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)線段am、bn、ab、mn任意一個的改變都會影響異面直線的位置，說明這四條線段可以共同確定二面角，從而發(fā)現(xiàn)公式的結(jié)構(gòu)，突破難點；
問5：令a∩l＝a，b∩l＝b，m∈a，n∈b且ma＝m，nb＝n，ab＝d，mn＝l，求二面角α―l―β。
通過問題5將異面直線的位置量化，由學(xué)生自己推導(dǎo)，得出二面角的余弦公式
設(shè)計意圖：通過問題5設(shè)出四條線段的長，求二面角的大小，從做輔助線、確定二面角平面角，到在三角形中計算求值，最后整理解題過程，由學(xué)生自主解決，教師適時引導(dǎo)，多問學(xué)生為什么，糾正學(xué)生語言表達上的錯誤，提示解題不符邏輯關(guān)系的地方，讓學(xué)生在相互補充，相互找不足的這一自我評價、自我調(diào)整過程中，完善推理過程，得出二面角的余弦公式。通過這一數(shù)學(xué)交流活動，暴露學(xué)生的思維過程，提高學(xué)生語言表達能力，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力，注重學(xué)生作為個體發(fā)展能力的同時，也注重培養(yǎng)學(xué)生協(xié)同合作共同探索、的精神。并且讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅重在學(xué)習(xí)一個結(jié)論，而是注重學(xué)習(xí)的過程，讓學(xué)生在自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論、自己推得公式中體驗成功。
問題三：用問題二的方法求解習(xí)題一
設(shè)計意圖：鞏固公式的應(yīng)用，明確如何應(yīng)用公式；通過對比公式與習(xí)題一的條件，讓學(xué)生認識到本節(jié)所學(xué)求二面角的方法是對教科書習(xí)題一般化所得的結(jié)論，體會數(shù)學(xué)從“特殊”到“一般”，再從“一般”到“特殊”的研究過程。
問題四：將公式條件中二面角兩半平面的線段放到了以棱上線段為公共邊的三角形中，作為了兩三角形的高。
設(shè)計意圖：通過這一過程，進一步深化所推公式中量的理解，其作用是半平面用三角形表示，更有利于在柱體或錐體中解決二面角的求解問題；
（三）鞏固訓(xùn)練
習(xí)題2
1．（改編自教科書80頁題11）把長、寬分別為4、3的長方形abcd沿對角線ac折疊，使bd長為7/5，求二面角b―ac―d。
2．（教科書80頁題11）把長、寬分別為4、3的長方形abcd沿對角線ac折疊成直二面角，求頂點b與d之間的距離。
設(shè)計意圖：
題1是對問題四結(jié)論的簡單應(yīng)用。此題題設(shè)是將平面圖形折成立體圖形，求形成的二面角的大小，鞏固平面圖形折疊過程中量的變化情況。
題2讓學(xué)生認識：二面角余弦公式建立了四個線段、一個角五個量間的關(guān)系，知道其中任意四個，都可以求第五個量，加深對公式的認識，熟悉公式的變形應(yīng)用。
習(xí)題3：（選自2005年湖南高考題）已知四邊形abcd是上、下底邊分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸oo′折成直二面角，求二面角o―ac―o′的大小。
設(shè)計意圖：讓學(xué)生創(chuàng)設(shè)公式應(yīng)用條件，自主解決問題，同時再次鞏固立體空間中量的求解用平面解決的思想方法。
（四）總結(jié)提煉
1．說明本節(jié)所學(xué)求二面角方法的可行性；
2．說明本節(jié)所學(xué)求二面角方法的合理性；
3．本節(jié)所學(xué)求二面角的方法不是教科書中的定理、公式，因此不能作為已知結(jié)論在解答題中應(yīng)用。但學(xué)習(xí)重視結(jié)果，更注重學(xué)習(xí)的過程，這節(jié)課學(xué)習(xí)的意義，不是公式本身，而是用已知的知識探究出新的解決問題的方法的過程。
（五）作業(yè)
習(xí)題4、為必做題，習(xí)題5為選做題
設(shè)計意圖：布置作業(yè)有彈性，避免一刀切，將上述思維發(fā)散的過程延伸到課后，使學(xué)生活躍的思維得以發(fā)展，進而形成思維習(xí)慣。
總之，在整個課堂教學(xué)中，努力挖掘蘊含于知識生成過程中的數(shù)學(xué)思想方法，有機結(jié)合，有意滲透，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
高二數(shù)學(xué)二面角篇二
二面角的概念是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)人教a版數(shù)學(xué)必修2第2章第3節(jié)兩個平面垂直的判定中的內(nèi)容。它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了異面直線所稱的角、直線與平面所成的角之后，有一個要學(xué)習(xí)的空間角，而二面角的本質(zhì)特征時候從度量的角度，通過二面角的平面角揭示了平面與平面的位置關(guān)系(垂直關(guān)系是其中的一種特殊關(guān)系)，它是為以后從度量角研究面與面的非垂直關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，因此二面角的內(nèi)容在教材中起到了一個承上啟下的作用，同時，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力進一步得到提升。
高一學(xué)生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，針對學(xué)生主觀能動性強，思維活躍的特點，我在授課中主要以問題為紐帶引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題—類比聯(lián)想—解決問題。
(一)知識與技能
能正確概述“二面角”、“二面角的平面角”的概念，會做二面角的平面角。
(二)過程與方法
利用類比的方法推理二面角的有關(guān)概念，提升知識遷移的能力。
(三)情感態(tài)度與價值觀
營造和諧、輕松的學(xué)習(xí)氛圍，通過學(xué)生之間，師生之間的交流、合作和評價達成共識、共享、共進，實現(xiàn)教學(xué)相長和共同發(fā)展。
(一)重點
“二面角”和“二面角的平面角”的概念。
(二)難點
“二面角的平面角”概念的形成過程。
數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)人思維，發(fā)展人思維的重要學(xué)科。因此，在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”而且要使學(xué)生“知其所以然”。所以在學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的原則下，要充分揭示獲取知識和方法的思維過程。因此本節(jié)課我以建構(gòu)主義的“創(chuàng)設(shè)問題情境—提出數(shù)學(xué)問題—嘗試解決問題—驗證解決方法”為主，主要采用觀察、啟發(fā)、類比、引導(dǎo)、探索相結(jié)合的教學(xué)方法。在教學(xué)手段上，則采用多媒體與模型相結(jié)合，將抽象問題形象化，使教學(xué)目標(biāo)體現(xiàn)的更加完美。
(一)新課導(dǎo)入
首先我會用多媒體課件展示生活中的一些模型，請學(xué)生觀察：
1.打開書本的過程;
2.發(fā)射人造地球衛(wèi)星，要根據(jù)需要使衛(wèi)星的軌道平面與地球的赤道平面成一定的角度;
3.修筑水壩時，為了使水壩堅固耐久，須使水壩坡面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?
引導(dǎo)學(xué)生說出書本的兩個面、水壩面與底面，衛(wèi)星軌道面與地球赤道面均是呈一定的角度關(guān)系。
【設(shè)計意圖】通過一系列的模型與動畫展示，從生活中提取模型，讓學(xué)生由感性認識出發(fā)，從多種模型中抽象出二面角的概念，這符合認知的一般規(guī)律。同時，也讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活，也服務(wù)于生活，增加學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的興趣
(二)新課探究
1.二面角的概念
利用多媒體展示初中所學(xué)的平面角的形成過程，并向?qū)W生提問，可否根據(jù)平面內(nèi)角的定義給上述的這些圖形下一個定義。
在提問過程中注意引導(dǎo)學(xué)生進行類比，大膽概括。同時，對學(xué)生的表現(xiàn)加以肯定，注意規(guī)范學(xué)生的語言。最后引出二面角的概念。在此要注意講解半平面的概念，即平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面。并根據(jù)具體模型講解二面角的棱，面等相關(guān)概念。
(1)對比平面角得出二面角的概念
(2)二面角的表示
接下來注意講解二面角表示法：α-a-β或α-ab-β.在此要注意分析講解三個量的含義。
二面角的畫法
然后是師生同步，練習(xí)畫二面角。著重練習(xí)直立式和平臥式，可請學(xué)生同桌之間互相點評，強調(diào)平行關(guān)系。
2.二面角的平面角
一般地說，量角器只能測量“平面角”讓學(xué)生大膽猜想如何去測量二面角的大小。學(xué)生類比平面角，會想到將空間角化為平面角.
(1)二面角的平面角的定義
教師給出二面角的平面交的定義：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.
教師進一步對定義進行深化，請學(xué)生找出“二面角的平面角”的定義三個主要特征，即點在棱上、線在面內(nèi)、與棱垂直
并通過實物展示讓學(xué)生認識直二面角。
(2)二面角的平面角的作法
接下來，師生同步，共同作出某一二面角的平面角，注意點p的三種情況：
①點p在棱上—定義法
②點p在一個半平面上—三垂線定理法
③點p在二面角內(nèi)—垂面法
【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)身邊很多的圖形都和教師展示的模型一樣。同時，這樣的教學(xué)也符合認識事物的一般規(guī)律：由感性認識到理性認識，再到感性認識，再到理性認識。
(三)深化新知
提問二面角的取值范圍，強調(diào)一般規(guī)定為[0,π]。重點要讓學(xué)生理解0和的區(qū)別。
(四)鞏固提高
為了讓學(xué)生切實掌握二面角的概念及其求法，設(shè)計兩個環(huán)節(jié)：通過例題講解讓學(xué)生學(xué)會運用。通過課堂作業(yè)，讓學(xué)生鞏固新知。
首先是基礎(chǔ)題，利用概念判斷命題的真假，如：
(1)兩個相交平面組成的圖形叫做二面角。
(2)角的兩邊分別在二面角的兩個面內(nèi)，則這個角是二面角的平面角。
(3)二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱。
【設(shè)計意圖】通過這幾道判斷題，鞏固學(xué)生對二面角概念的理解。
此外我會在添加兩道以正方體為模型，求解兩個平面的二面角的題目，抽取兩位同學(xué)在黑板上扮演，我將會在巡視過程中對部分學(xué)生加以指導(dǎo)。最后對黑板上的兩名學(xué)生的解題過程加以分析完善，規(guī)范的書寫格式。
(五)小結(jié)作業(yè)
教師口頭提問：
(1)這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么?
(2)在數(shù)學(xué)問題的解決過程中運用了哪些數(shù)學(xué)思想?
設(shè)計意圖：啟發(fā)式的課堂小結(jié)方式能讓學(xué)生主動回顧本節(jié)課所學(xué)的知識點。也促使學(xué)生對知識網(wǎng)絡(luò)進行主動建構(gòu)。
作業(yè)：以正方體為模型請找出一個所成角度為四十五度的二面角，并證明。
設(shè)計意圖：利用正方體模型，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，體現(xiàn)分層教學(xué)的思想，才能達到因材施教的目的。
高二數(shù)學(xué)二面角篇三
1、教材地位和作用
二面角及其平面角的概念是立體幾何最重要的概念之一。二面角的概念發(fā)展、完善了空間角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了兩相交平面的相對位置，同時它也是空間中線線、線面、面面垂直關(guān)系的一個匯集點。搞好本節(jié)課的學(xué)習(xí)，對學(xué)生系統(tǒng)地掌握直線和平面的知識乃至于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)都具有十分重要的意義。教學(xué)大綱明確要求要讓學(xué)生掌握二面角及其平面角的概念和運用。
2、教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)上面對教材的分析，并結(jié)合學(xué)生的認知水平和思維特點，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：
認知目標(biāo)：
（1）使學(xué)生正確理解二面角及其平面角的概念，并能初步運用它們解決實際問題。
（2）進一步培養(yǎng)學(xué)生把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的化歸思想。
能力目標(biāo)：以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和動手能力為重點。
（1）突出對類比、直覺、發(fā)散等探索性思維的培養(yǎng)，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。
（2）通過對圖形的觀察、分析、比較和操作來強化學(xué)生的動手操作能力。
教育目標(biāo)：
(1)使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)知識來自實踐，并服務(wù)于實踐，從而增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。
(2)通過揭示線線、線面、面面之間的內(nèi)在聯(lián)系，進一步培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系的辯證唯物主義觀點。
3、本節(jié)課教學(xué)的重、難點是兩個過程的教學(xué)：
（1）二面角的平面角概念的形成過程。
（2）尋找二面角的平面角的方法的發(fā)現(xiàn)過程。
其理由如下：
（1）現(xiàn)行教材省略了概念的形成過程和方法的發(fā)現(xiàn)過程，沒有反映出科學(xué)認識產(chǎn)生的辯證過程，與學(xué)生的認知規(guī)律相悖，給學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了很大的困難，非常不利于學(xué)生創(chuàng)新能力、獨立思考能力以及動手能力的培養(yǎng)。
（2）現(xiàn)代認知學(xué)認為，揭示知識的形成過程，對學(xué)生學(xué)習(xí)新知識是十分必要的。同時通過展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，給學(xué)生思考、探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新提供了最大的空間，可以使學(xué)生在整個教學(xué)過程中始終處于積極的思維狀態(tài)，進而培養(yǎng)他們獨立思考和大膽求索的精神，這樣才能全面落實本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。
在設(shè)計本教學(xué)時，主要貫徹了以下兩個思想：
1、樹立以學(xué)生發(fā)展為本的思想。通過構(gòu)建以學(xué)習(xí)者為中心、有利于學(xué)生主體精神、創(chuàng)新能力健康發(fā)展的寬松的教學(xué)環(huán)境，提供學(xué)生自主探索和動手操作的機會，鼓勵他們創(chuàng)新思考，親身參與概念和方法的形成過程。
2、堅持協(xié)同創(chuàng)新原則。把教材創(chuàng)新、教法創(chuàng)新以及學(xué)法創(chuàng)新有機地統(tǒng)一起來，因為只有教師創(chuàng)新地教，學(xué)生創(chuàng)新地學(xué)，才能營建一個有利于創(chuàng)新能力培養(yǎng)的良好環(huán)境。
首先是教材創(chuàng)新。
（1）在二面角的平面角概念引入上，我變課本上的“直接給出定義”為“類比——猜想——操作——定義”，也就是變封閉的、邏輯演繹體系為開放的、探索性的發(fā)現(xiàn)過程。
（2）在引入定義之后，例題講解之前，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)尋找二面角的平面角的方法，為例題做好鋪墊。
（3）重新編排例題。
其次是教法創(chuàng)新。采用多種創(chuàng)新的教學(xué)方法，包括問題解決法、類比發(fā)現(xiàn)法、研究發(fā)現(xiàn)法等教學(xué)方法。
這組教學(xué)方法的特點是教師通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)知識的形成過程，使教學(xué)活動真正建立在學(xué)生自主活動和探索的基礎(chǔ)上，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。
這組教學(xué)方法使得學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，不僅強調(diào)動腦思考，而且強調(diào)動手操作，親身體驗，注重多感官參與、多種心理能力的投入，通過學(xué)生全面、多樣的主體實踐活動，促進他們獨立思考能力、動手能力等多方面素質(zhì)的整體發(fā)展。
教學(xué)手段的現(xiàn)代化有利于提高課堂效益，有利于創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)需要，確定利用《幾何畫板》制作課件來輔助教學(xué)；此外，為加強直觀教學(xué)，教師可預(yù)先做好一些模型。
最后是學(xué)法創(chuàng)新。意在指導(dǎo)學(xué)生會創(chuàng)新地學(xué)。
1、樂學(xué)：在整個學(xué)習(xí)過程中學(xué)生要保持強烈的好奇心和求知欲，不斷強化自己的創(chuàng)新意識，全身心地投入到學(xué)習(xí)中去，成為學(xué)習(xí)的主人。
2、學(xué)會：在掌握基礎(chǔ)知識的同時，學(xué)生要注意領(lǐng)會化歸、類比聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法的運用，學(xué)會建立完善的認知結(jié)構(gòu)。
3、會學(xué)：通過自已親身參與，學(xué)生要領(lǐng)會復(fù)習(xí)類比和深入研究這兩種知識創(chuàng)新的方法，從而既學(xué)到知識，又學(xué)會創(chuàng)新。
（一）、二面角
1、揭示概念產(chǎn)生背景。
心理學(xué)研究表明，當(dāng)學(xué)生明確數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)目的和意義時，就會對概念的學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣。創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新意識，營造了創(chuàng)新思維的氛圍。
問題情境1、我們是如何定量研究兩平行平面的相對位置的？
問題情境2、立幾中常用距離和角來定量描述兩個元素之間的相對位置，為什么不引入兩平行平面所成的角？
問題情境3、我們應(yīng)如何定量研究兩個相交平面之間的相對位置呢？
通過這三個問題，打開了學(xué)生的原有認知結(jié)構(gòu)，為知識的創(chuàng)新做好了準(zhǔn)備；同時也讓學(xué)生領(lǐng)會到，二面角這一概念的產(chǎn)生是因為研究兩相交平面的相對位置的需要，從而明確新課題研究的必要性，觸發(fā)學(xué)生積極思維活動的展開。
2、展現(xiàn)概念形成過程。
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