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雙曲線教學設計理念篇一
（一）知識教學點
使學生理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標準方程出發(fā)，推導出這些性質(zhì)，并能具體估計雙曲線的形狀特征。
（二）能力訓練點
在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學生分析、歸納、推理等能力。
（三）學科滲透點
使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題。
1、重點：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運用。
（解決辦法：引導學生類比橢圓的幾何性質(zhì)得出，至于漸近線引導學生證明。）
2、難點：雙曲線的漸近線方程的導出和論證。
（解決辦法：先引導學生觀察以原點為中心，2a、2b長為鄰邊的.矩形的兩條對角線，再論證這兩條對角線即為雙曲線的漸近線。）
3、疑點：雙曲線的漸近線的證明。
（解決辦法：通過詳細講解。）
提問、類比、重點講解、演板、講解并歸納、小結(jié)。
（一）復習提問引入新課
1、橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？
請一同學回答。應為：范圍、對稱性、頂點、離心率，是從標準方程探討的。
2、雙曲線的兩種標準方程是什么？
再請一同學回答。應為：中心在原點、焦點在x軸上的雙曲線的標
下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì)。
（二）類比聯(lián)想得出性質(zhì)（性質(zhì)1～3）
引導學生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格（讓學生回答，教師引導、啟發(fā)、訂正并板書）。
（三）問題之中導出漸近線（性質(zhì)4）
在學習橢圓時，以原點為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對于估計仍以原點為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形（板書圖形），那么雙曲線和這個矩形有什么關(guān)系？這個矩形對于估計和畫出雙曲線簡圖（圖2—26）有什么指導意義？這些問題不要求學生回答，只引起學生類比聯(lián)想。
接著再提出問題：當a、b為已知時，這個矩形的兩條對角線的方程是什么？
下面，我們來證明它：
雙曲線在第一象限的部分可寫成：
當x逐漸增大時，|mn|逐漸減小，x無限增大，|mn|接近于零，|mq|也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線on的下方逐漸接近于射線on。
在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況。
現(xiàn)在來看看實軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點在y軸上的雙曲線方程是由焦點在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字。
這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向問題，從而可比較精，再描幾個點，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線。
（四）順其自然介紹離心率（性質(zhì)5）
由于正確認識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響：
變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊。
這時，教師指出：焦點在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標系的選擇無關(guān)，即不隨坐標系的改變而改變。
（五）練習與例題
1、求雙曲線9y2—16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。
請一學生演板，其他同學練習，教師巡視，練習畢予以訂正。
由此可知，實半軸長a=4，虛半軸長b=3。
焦點坐標是（0，—5），（0，5）。
本題實質(zhì)上是雙曲線的第二定義，要重點講解并加以歸納小結(jié)。
解：設d是點m到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合：
化簡得：（c2—a2）x2—a2y2=a2（c2—a2）。
這就是雙曲線的標準方程。
由此例不難歸納出雙曲線的第二定義。
（六）雙曲線的第二定義
1、定義（由學生歸納給出）
平面內(nèi)點m與一定點的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e=叫做雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。
2、說明
（七）小結(jié)（由學生課后完成）
將雙曲線的幾何性質(zhì)按兩種標準方程形式列表小結(jié)。
1、已知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點、離心率e和漸近線方程。
（1）16x2—9y2=144；
（2）16x2—9y2=—144。
2、求雙曲線的標準方程：
（1）實軸的長是10，虛軸長是8，焦點在x軸上；
（2）焦距是10，虛軸長是8，焦點在y軸上；
曲線的方程。
點到兩準線及右焦點的距離。
作業(yè)答案：
距離為7
雙曲線教學設計理念篇二
《雙曲線及其標準方程》是全日制普通高級中學教科書（人教a版）選修2-1第二章第三節(jié)內(nèi)容，雙曲線是平面解析幾何的又一重要曲線，本節(jié)課既是對解析幾何學習方法的鞏固，又是對運動，變化和對立統(tǒng)一的進一步認識，從整體上進一步認識解析幾何，建立解析幾何的數(shù)學思想。雙曲線是三種圓錐曲線中最復雜的一種，傳統(tǒng)的處理方法是先學習橢圓，再學習雙曲線，通過對比橢圓知識來學習，降低難度，便于學生學習掌握。教材為《雙曲線及其標準方程》安排兩課時內(nèi)容，本文是第一課時，本課的主要內(nèi)容是：（1）探求軌跡（雙曲線）；（2）學習雙曲線定義；（3）推導雙曲線標準方程；
1、認知目標：掌握雙曲線的定義、標準方程，了解雙曲線及相關(guān)概念；
2、能力目標：通過學生的操作和協(xié)作探討，培養(yǎng)學生的實踐能力和分析問題、解決問題的能力，通過知識的再現(xiàn)培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識。
3、情感目標：讓學生體會知識產(chǎn)生的全過程，體會解析法的思想。通過畫雙曲線的幾何圖形讓學生感知幾何圖形曲線美、簡潔美、對稱美，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣．
重點：雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系。
難點：雙曲線的標準方程，雙曲線及其標準方程的探求；領悟解析法思想．
多媒體演示，小組討論。
多媒體課件，
1通過師生的相互“協(xié)作”，以提問的形式完成本堂課
環(huán)節(jié)內(nèi)容教學雙邊活動設計意圖復習問題
問題1：橢圓的定義是什么？（哪幾個關(guān)鍵點）問題2：橢圓的標準方程是怎樣的？問題3：如何作橢圓？
問題4：性質(zhì)：學生回顧，教師補充糾正回顧橢圓學習過程，本身具有復習提高價值．此處側(cè)重于類比研究橢圓的思想和方法，期望在雙曲線學習中有一種方法引領。
引入新課:到兩個定點的距離差為定值的動點軌跡？過渡
探求軌跡問題：我們用什么方法來探求（畫出）軌跡圖形？用幾何畫板演示拉鏈的軌跡：同樣的，也有設問：①定點與動點不在同一平面內(nèi)，能否得到雙曲線？請學生回答：不能．指出必須“在平面內(nèi)”．②動點m到定點a與b兩點的距離的差有什么關(guān)系？請學生回答，m到a與b的距離的差的絕對值相等，否則只表示雙曲線的一支，即是一個常數(shù)．③這個常是否會大于或者等｜ab｜？請學生回答，應小于｜ab｜且大于零．當常數(shù)2a=｜ab｜時，軌跡是以a、b為端點的兩條射線；當常數(shù)2a>｜ab｜時，無軌跡．小組討論實驗演示提問通過提出問題，讓學生討論問題，并嘗試解決問題。讓學生了解雙曲線的前提條件，并培養(yǎng)學生的全面思考的能力。
感受曲線，解讀定義:
演示得到的圖形是雙曲線（一部分）；歸納雙曲線的定義：平面內(nèi)，到兩個定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于兩定點距離）的點的軌跡叫做雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。數(shù)學簡記：學生讀課本并分析其中的關(guān)鍵點通過閱讀和關(guān)鍵點分析，讓學生學會讀書，學會分析書，從而理解書。
推導方程，認識特性:
2（1）建系以兩定點所在直線為x軸，其中點為原點，建立直角坐標系xoy設為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為，則設點m與a、b的距離的差的絕對值等于常數(shù)。
（2）點的集合由定義可知，雙曲線上點的集合滿足｜｜ma｜-｜mb｜｜=2a（3）利用坐標關(guān)系化代數(shù)方程
（4）化簡方程
（5）雙曲線的標準方程：方程形式：焦點在x軸上：焦點在y軸上：焦點的中點在原點（中心在原點）
（6）數(shù)量特征：（2a）——（實軸長）,(2c) ——（焦距）指出:a,b,c的含義.注:（1）雙曲線方程中，a不一定大于b；
（2）如果x的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上，如果y的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上，有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點的位置.（3）雙曲線標準方程中a,b,c的關(guān)系不同于橢圓方程．
交流：建系的任意性與合理性由一位學生上黑板演示，教師巡視，通過對雙曲線方程的化簡，提高學生的演算能力?？勺⒁獯蟛糠謱W生寫得是否正確。類比橢圓，認識共同點，辨別不同。
應用方程，體驗思想 :
例1：說明：橢圓與雙曲線的焦點相同．
例2：求到兩定點a、b的距離的差的絕對值為6的點的軌跡方程？如果把上面的6改為10，其他條件不變，會出現(xiàn)什么情況？如果改為12呢？教師分析，由學生分析，教師板書及補充?？梢赃M一步鞏固理解雙曲線的定義。
回顧過程，歸納小結(jié)雙曲線定義的要點，標準方程的形式
課后練習書本習題
在教學過程中注重知識，能力的融合，努力挖掘內(nèi)容的本質(zhì)和聯(lián)系，以學生3為主體，沿著學生的思維方向一步步引入新知識，順利完成知識的吸納，利用多媒體演示過程，能給學生一種形象上的吸收，寓思想于教學中。
在整個教學中，利用類比橢圓方程定義的形成過程自然進入雙曲線定義的教學狀態(tài)中，并采取多提問的形式，讓每個學生思考問題，回答問題，給他們思考的空間，培養(yǎng)他們思索的習慣，讓學生與老師互動，交流探討學習過程中的問題，可以充分提高學生的學習主動性與他們的自信心，在今后的教學中，我要更多的讓學生來演示，充分發(fā)揮學生的主體作用,讓學生真正體會知識的形成過程。
雙曲線教學設計理念篇三
雙曲線及其標準方程
【知識與技能】:
1、通過教學,使學生熟記雙曲線的定義及其標準方程,并理解這一定義及其標準方程的探索推導過程.
2、理解并熟記雙曲線的焦點位置與兩類標準方程之間的對應關(guān)系.
【過程與方法】:
通過“實驗觀察”、“思考探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學活動,培養(yǎng)學生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力,使學生學會數(shù)學思考與推理,學會反思與感悟,形成良好的數(shù)學觀.【情感、態(tài)度與價值觀】:通過實例的引入和剖析,讓學生再一次感受到數(shù)學來源于實踐又反作用于實踐;生活中處處有數(shù)學.
1、在學生已學習橢圓的定義及其標準方程和掌握“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念之后,學習雙曲線定義及其標準方程,符合學生的認知規(guī)律,學生有能力學好本節(jié)內(nèi)容;
2、由于學生數(shù)學運算能力不強,分析問題、解決問題的能力,邏輯推理能力,思維能力都比較弱,所以在設計的時候往往要多作鋪墊,掃清他們學習上的障礙,保護他們學習的積極性,增強學習的主動性.
教學重點:雙曲線的定義、標準方程
教學難點:雙曲線定義中關(guān)于絕對值,2a
【導入】
1、以平面截圓錐為模型，讓學生認識雙曲線，認識圓錐曲線；
2、觀察生活中的雙曲線；
【設計意圖:讓學生對圓錐曲線整體有所把握,體會數(shù)學來源于生活.】探究一
活動1：類比橢圓的學習，思考：
研究雙曲線，應該研究什么？怎么研究？
從而掌握本節(jié)課的主線：實驗、雙曲線的定義、建系、求雙曲線的標準方程；活動二：數(shù)學實驗：
(1)取一條拉鏈，拉開它的一部分，
(2)在拉鏈拉開的兩邊上各取一點，分別固定在點f1，f2上，
(3)把筆尖放在拉頭點m處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經(jīng)過的點就畫出一條曲線。
(4)若拉鏈上被固定的兩點互換，則出現(xiàn)什么情況？
學生活動:六人一組，進行實驗，展示實驗成果：
【設計意圖:學生親手操作，加深對雙曲線的了解，培養(yǎng)小組合作精神.】
學生實驗可能出現(xiàn)的情況:畫出雙曲線的居多，但還是有畫出中垂線，或者兩條射線的可能，學生展示，小組同學解釋，為什么會出現(xiàn)這種情況？
【設計意圖:讓學生在“實驗”、“思考”等活動中,自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題】活動三：幾何畫板演示，得到雙曲線的定義：老師演示，學生思考：
引導學生結(jié)合實驗分析，得出雙曲線上的點滿足的條件，給出雙曲線的定義
雙曲線：
平面內(nèi)到兩定點的距離的距離的差的絕對值等于定長2a（小于兩定點f1f2的距離）的點的軌跡叫做雙曲線。
兩定點f1f2叫做雙曲線的焦點
兩點間f1f2的距離叫做焦距
在雙曲線定義中,請同學們思考下面問題: 1:聯(lián)想到橢圓的定義,你是否感到雙曲線中的常數(shù)2a也需要某種限制?為什么? 2:若2a=2c,則m點的軌跡又會是什么呢?又2a>2c呢?強調(diào)：2a大于|f1f2｜時軌跡不存在2a等于|f1f2｜時，時兩條射線。
所以,軌跡為雙曲線,必需限制2a
活動四：探究雙曲線標準方程：
1、類比:類比橢圓標準方程的建立過程(用屏幕顯示圖形),讓學生認真捉摸坐標系的位置特點(力求使其方程形式最簡單).
2、合作:師生合作共同推導雙曲線的標準方程.(學生推導,然后教師歸納)按下列四步驟進行:建系、設點、列式、化簡從而得出了雙曲線的標準方程.雙曲線標準方程:焦點在x軸上(a>0,b>0)
3、探究:在建立橢圓的標準方程時,選取不同的坐標系我們得到了不同形式的標準方程.那么雙曲線的標準方程還有哪些形式?
222在y軸上(a>0,b>0)其中:c=a+b活動五：歸納、總結(jié)
活動六：典例分析
例1：已知雙曲線的兩個焦點分別為f1(-5,0),f2(5,0),雙曲線上的點p到f1、f2距離差的絕對值等于6,求雙曲線標準方程.變式(1):已知雙曲線的兩個焦點分別為f1(-5,0),f2(5,0),雙曲線上的點p到f1、f2距離差等于6,求雙曲線標準方程.變式(2) :若兩定點為|f1f2|=10則軌跡方程如何?感悟: ①求給定雙曲線的標準方程的基本方法是:待定系數(shù)法.(若焦點不定,則要注意分類討論的思想.)
【設計意圖:教學過程是師生互相交流、共同參與的過程.數(shù)學通過交流,才能得以深入發(fā)展,數(shù)學思想才能變得更加清晰】
活動七：小結(jié)
1.本節(jié)課學習的主要知識是什么? 2.本節(jié)課涉及到了哪些數(shù)學思想方法?課后作業(yè)：
必做題:課本55頁練習2,3
選做題：課本61頁習題a組2
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