最新圓柱表面積 圓柱的表面積教案(大全9篇)

格式:DOC 上傳日期:2023-10-10 02:00:03
最新圓柱表面積 圓柱的表面積教案(大全9篇)
時間:2023-10-10 02:00:03     小編:字海

在日常學習、工作或生活中,大家總少不了接觸作文或者范文吧,通過文章可以把我們那些零零散散的思想,聚集在一塊。寫范文的時候需要注意什么呢?有哪些格式需要注意呢?以下是我為大家搜集的優(yōu)質(zhì)范文,僅供參考,一起來看看吧

圓柱表面積篇一

1、復習圓柱體的特征

師:圓柱是由平面和曲面圍成的立體圖形。圓柱上下兩個圓形的平面叫圓柱的什么?它們的關系怎樣?兩底面之間的距離叫什么?這個曲面叫什么?(學生回答后課件動畫閃爍各部分名稱)

引入:今天這節(jié)課,我們就一起來學習圓柱的表面積。

(一)教學圓柱表面積的意義。

設疑:長方體6個面的總面積,叫做它的表面積。什么是圓柱體的表面積呢?(學生回答,教師板書:側(cè)面積+底面積×2=表面積)

要求圓柱的表面積,首先應該計算出它的底面積和側(cè)面積。

(二)測量直徑,計算圓柱的底面積。

圓柱的底面是圓形,怎樣計算它的面積嗎?(s=3.14r2)需要知道什么條件?現(xiàn)場測量茶葉桶的底面直徑。(注意方法指導:量出底面最長的線段即直徑的長度。課件動畫展示測量方法)

學生口答算式和結果

(三)教學圓柱體側(cè)面積的計算

1、引導探究圓柱體側(cè)面積的計算方法。

(1)設疑:圓柱的側(cè)面是個曲面,怎樣計算它的面積呢?

(2)學生動手操作。(剪圓柱形紙筒)

(3)匯報交流研究結果。(隨著學生回答課件展示)

百度圖片:

小結:同學們會動腦,會思考,巧妙地運用了把曲面轉(zhuǎn)化為平面的方法,探討發(fā)現(xiàn)了圓柱體側(cè)面積正好等于它的底面周長與高的乘積。

2、計算圓柱體茶葉罐的側(cè)面包裝紙的面積

師:(課件呈現(xiàn)圓柱茶葉罐側(cè)面包裝圖片)

求圓柱體茶葉罐的側(cè)面包裝紙的面積實際是求圓柱的什么?(側(cè)面積)再次測量茶葉桶的高,并把結果記錄下來,獨立計算。

(四)教學求圓柱的表面積。

1、設疑:學會了計算圓柱的底面積和側(cè)面積,怎樣計算它的表面積?

2、學生根據(jù)數(shù)據(jù)進行計算。

3、匯報計算方法及結果,強調(diào)單位的使用

小結:求茶葉桶的表面積是為工人師傅下材料提供了基本數(shù)據(jù),但是在準備材料時往往會比計算結果多一些,因為在具體操作時,尤其是在剪圓的時候會產(chǎn)生浪費現(xiàn)象,這是不可避免的。

(一)(多媒體出示圓柱形的油漆桶,無蓋水桶、煙筒實物圖)引導學生觀察思考:計算制作這些物體所用的鐵皮的面積,各是求哪些面的總面積?通過回答讓學生感知圓柱表面積在實際生活中應用的意義。

(二)根據(jù)要求練習。

1、一個圓柱形油桶,底面直徑是8分米,高是12分米,它的占地面積有多大?(只列式不計算)

2、一臺壓路機的滾筒寬1.2米,直徑為8分米。如果它滾動1周,壓路的面積是多少平方米?(只列式不計算)(課件呈現(xiàn)壓路機壓路情景)

3、做一個無蓋的圓柱形鐵皮水桶,高是5分米。底面直徑4分米,至少需要多大面積的鐵皮?(結果保留整數(shù))

根據(jù)學生的計算結果,教學用“進一法”取近似值。

小結:計算圓柱的表面積要具體情況具體分析。要學會運用所學的知識合理靈活地解決生活中的實際問題。

(三)操作練習。

測量:借助工具測量出需要的數(shù)據(jù)(取整厘米數(shù)),并做好記錄。

計算:根據(jù)量得的數(shù)據(jù),列出相應的算式并算出結果。

1、本節(jié)課你有何收獲?

2、教師小結:在解答實際問題前一定要先進行分析,看它們求的是哪部分面積,再選擇解答的方法。求用料多少,一般采用進一法取近似值,以保證原材料夠用。

圓柱表面積篇二

教學過程:

一、檢查復習,引入新課

(復習圓柱體的特征)

師:上節(jié)課,我們認識了一個新的幾何形體——圓柱。知道它是由平面和曲面圍成的立體圖形。

引入:兩個底面和側(cè)面合在一起就是圓柱的表面。這節(jié)課,我們就一起來學習圓柱的表面積。

二、引導探究,學習新知

(一)教學圓柱表面積的意義。

板書:底面積×2+側(cè)面積=表面積

要求圓柱的表面積,首先應該計算它的底面積和側(cè)面積。

(二)根據(jù)條件,計算圓柱的底面積。

圓柱的底面是圓形,同學們會求它的面積嗎?

(多媒體逐一出示圓柱及條件,求它的底面積,并記錄結果。)

(三)教學圓柱體側(cè)面積的計算

1、引導探究圓柱體側(cè)面積的計算方法。

(1)設疑:圓柱的側(cè)面是個曲面,怎樣計算它的面積呢?

(2)小組合作探究。(剪圓柱形紙筒)

(3)匯報交流研究結果,多媒體課件展示。

(4)小結:同學們會動腦,會思考,巧妙地運用了把曲面轉(zhuǎn)化為平面的方法,探討發(fā)現(xiàn)了圓柱體側(cè)面積正好等于它的底面周長與高的乘積。

2、計算圓柱體的側(cè)面積。

多媒體回到前面三個圓柱,逐一給出三個圓柱的高,求它的側(cè)面積。并把結果記錄下來。

(四)教學求圓柱的表面積。

1、設疑:學會了計算圓柱的底面積和側(cè)面積,怎樣計算它的表面積?

2、學生根據(jù)數(shù)據(jù)進行計算?

3、匯報計算方法及結果,媒體出示結果進行驗證。

表面積(平方厘米) 150.72?? 125.6?? 69.08

(五)小結:圓柱表面積的意義及計算方法。

三、練習鞏固,靈活運用

教學要求:

1、使學生理解和掌握圓柱體側(cè)面積和表面積的計算方法,能正確運用公式計算圓柱的側(cè)面積和表面積。

2、培養(yǎng)學生觀察、操作、概括的能力和利用所學知識合理靈活地分析、解決實際問題的能力。

3、培養(yǎng)學生的合作意識和主動探求知識的學習品質(zhì)和實踐能力。

教學重點:圓柱表面積的計算。

教學難點:圓柱體側(cè)面積計算方法的推導。

教法運用:本節(jié)課采用操作和演示、講練相結合的教學方法。通過直觀演示和實際操作,引導學生觀察、思考和探求圓柱側(cè)面積的計算方法;同時通過多媒體的輔助教學,使新授與練習有機地融為一體,做到講練結合,較好地突出教學重點、突破教學難點。

學法指導:采取引導??? 放手?? 引導的方法,鼓勵學生積極、主動地探求新知,運用化曲為平的方法推理發(fā)現(xiàn)側(cè)面積的計算方法。

教具:圓柱體教具、多媒體課件。

學具:圓柱形紙筒、茶葉桶。

圓柱表面積篇三

圓柱的側(cè)面積=底面周長×高=圓周率×直徑×高=圓周率×半徑×高×2

圓柱的底面積(圓)=圓周率×半徑×半徑

2、填空:

(1)圓柱的(??????? )面積加上(????? )的面積,就是圓柱的表面積。

(2)把一個底面積是15.7平方厘米的圓柱,切成兩個同樣大小的圓柱,表面積增加了(??????? )平方厘米。

(3)計算做一個圓柱形的茶葉筒要用多少鐵皮,要計算圓柱的(???????? )。

(4)計算做一個圓柱形的煙囪要用多少鐵皮,要計算圓柱的(??????? )。

(5)計算做一個沒有蓋的圓柱形水桶要用多少鐵皮,要計算圓柱的(????? )。

(6)一個圓柱,它的高是8厘米,側(cè)面積是200.96平方厘米,它的底面積是(?????????? )。

(7)把一個圓柱體的側(cè)面展開,得到一個長31.4厘米,寬10厘米的長方形,這個圓柱體的側(cè)面積是平方厘米,表面積是( )平方厘米。

(10) 做一個圓柱體, 側(cè)面積是9.42平方厘米, 高是3厘米, 它的底面半徑是( )厘米,表面積是平方厘米。

(11)把一根直徑是20厘米,長是2米的圓柱形木材鋸成同樣的3段,表面積增加了(?? )立方厘米。

3、求下面各圓柱的表面積。

4、選擇正確答案的序號填在括號里。

(1)圓柱的側(cè)面積等于(?????? )乘以高。

a、底面積??????????? b、底面周長???? c、底面半徑

(2)把一個直徑為4厘米,高為5厘米的圓柱,沿底面直徑切割成兩個半圓柱,表面積增加了多少平方厘米?算式是(?? )

a、3.14×4×5×2???? b、4×5??????? c、4×5×2

5、一個圓柱形無蓋的水桶,底面的直徑是0.6米,高是40厘米,做這樣一個水桶,需要多少平方米的鐵皮?(得數(shù)保留整數(shù))

圓柱表面積篇四

圓柱的表面積教學,重點在于通過圓柱的側(cè)面展開圖推導出圓柱的側(cè)面積計算公式,難點是靈活運用側(cè)面積、表面積的有關知識解決實際問題。在本節(jié)課的教學中,我從始至終貫穿著“以學生為主體,教師為主導,訓練思維為主線”,首先我給學生一張長方形美術紙,用這張紙做成一個圓柱體,讓學生以小組為單位做出它的底面,看誰的最好,學生的思維很好,給出了多種想法。

方法一:用一張紙蓋住圓柱,沿著邊緣剪(不會很圓)。

方法二:把圓柱立起來用筆描繪出來地面再剪(不好描,自然不會很圓)。

方法三:用尺子量出直徑,算出半徑,用圓規(guī)畫出圓再剪(有點接近了,但是直徑不會很精確)。

方法四:把圓柱壓扁,量出直徑,接著同上做法(誤解,這里的直徑其實是半個圓的周長)。

方法五:量出美術紙的長,就是底面的周長,由此求出半徑,再畫圓貼上(很好,能理解側(cè)面積求解的難點)通過這些活動后,再讓學生自學表面積的公式,自然水到渠成了。課堂交給學生,會有你意想不到的事情。

圓柱表面積篇五

教學目標:

1、使學生理解圓柱表面積的含義,掌握表面積的計算方法。

2、根據(jù)圓柱表面積和側(cè)面積的關系,使學生學會運用所學的知識解決簡單的實際問題。

教學媒體:

圓柱形物體、學具、多媒體課件

教學重點:

圓柱側(cè)面積的計算方法推導。

教學過程:

一、猜測面積大小,激發(fā)情趣導入

1、用你們手上的a4紙做一個盡量大的圓柱?(出現(xiàn)兩種情況:一種是以長方形的長為底面周長的圓柱,另一種以長方形的寬為底面周長的圓柱。)

2、這兩個圓柱誰的側(cè)面積誰大?為什么?

3、復習:圓柱的側(cè)面積=底面周長×高

剛才的環(huán)節(jié)中,用現(xiàn)成的練習紙,以動手操作的形式做一個圓柱體,充分調(diào)動了學生的學習興趣;在“做、比、評”中喚起對圓柱側(cè)面積知識的回憶。

二、組織動手實踐,探究圓柱表面積

1、我們把做好的圓柱加上兩個底面后,這時候圓柱的表面積由哪些部分組成呢?(側(cè)面積和兩個底面面積)

2、你們覺得這兩個圓柱誰的表面積大?為什么?

生:因為兩個圓柱的側(cè)面積一樣大,只要看他們的底面積誰大那么這個圓柱的表面積就大。

3、剛才我們是從直觀的比較知道了誰的表面積大,如果要知道大多少,那怎么辦呢?

生:計算的方法

師:怎么計算圓柱的表面積呢?

圓柱的表面積=側(cè)面積+兩個底面的面積(板書)

4、那現(xiàn)在你們就算算這兩個圓柱的表面積是多少?

生:(不知所措)沒有數(shù)字怎么算啊?

師:哦!那你們想知道哪些數(shù)字呢?知道了這些數(shù)字后你打算怎么計算?

生1:我想知道圓柱體的底面半徑和高。

生2:我想知道圓柱體的底面直徑和高。

生3:我想知道圓柱體的底面周長和高。

………

師:老師現(xiàn)在告訴你的數(shù)字是這張紙的長是31.4厘米。寬是18.84厘米。那你們會算嗎?怎樣算,如果獨立思考有困難的話可以小組討論來共同完成。

5、匯報展示:

情況一:半徑:31.4÷3.14÷2=5(cm)

底面積:3.14×5×5=78.5(平方厘米)

側(cè)面積:31.4×18.84=591.576(平方厘米)

表面積:591.576+78.5×2=748.576(平方厘米)

情況二:半徑:18.84÷3.14÷2=3(cm)

底面積:3.14×3×3=28.26(平方厘米)

側(cè)面積:31.4×18.84=591.576(平方厘米)

表面積:591.576+28.26×2=648.096(平方厘米)

師:通過我們計算驗證了我們剛才的判斷是正確的。

接下來我們打開書翻到33頁自學例2,從這個例題中你學到什么?

生:分三步來算,先算側(cè)面積再算底面積然后把側(cè)面積和兩個底面積加起來。

生2:這樣做挺麻煩的有沒有更簡單一點的方法呢?

6、好!我們一起來找一找有沒有更簡單的方法。(補充第二種方法)

教具的演示:把圓柱體的側(cè)面展開得到一個長方形,然后把圓柱體的兩個底面通過剪拼成一個近似的長方形。

問:這個近似的長方形的長和寬分別是圓柱體的哪一部分?(底面周長,也就是圓柱體的側(cè)面展開得到的長方形的長。寬是圓柱體底面半徑)

所以圓柱體表面積=長方形面積=底面周長×(高+半徑)

用字母表示:s=c×(h+r)

我們用這個方法來驗證一下我們的例2看是不是比原來簡單?

匯報:大部分學生都認為比原來的方法簡單。(說一說認為簡單的原因)

圓柱表面積篇六

2、填空:

(1)圓柱的(??????? )面積加上(????? )的面積,就是圓柱的表面積。

(2)把一個底面積是15.7平方厘米的圓柱,切成兩個同樣大小的圓柱,表面積增加了(??????? )平方厘米。

(3)計算做一個圓柱形的茶葉筒要用多少鐵皮,要計算圓柱的(??

)。

(4)計算做一個圓柱形的煙囪要用多少鐵皮,要計算圓柱的(??

)。

(5)計算做一個沒有蓋的圓柱形水桶要用多少鐵皮,要計算圓柱的(????????????????????????????? )。

(6)一個圓柱,它的高是8厘米,側(cè)面積是200.96平方厘米,它的底面積是(????????????? )。

3、求下面各圓柱的表面積。

(1)底面半徑是2分米,高是7.3分米。

(2)底面周長是18.84米,高是5米。

4、選擇正確答案的序號填在括號里。

(1)圓柱的側(cè)面積等于(?????? )乘以高。

a、底面積??????????? b、底面周長???? c、底面半徑

(2)把一個直徑為4厘米,高為5厘米的圓柱,沿底面直徑切割成兩個半圓柱,表面積增加了多少平方厘米?算式是(?? )

a、3.14×4×5×2???? b、4×5??????? c、4×5×2

5、一個圓柱形無蓋的水桶,底面的直徑是0.6米,高是40厘米,做這樣一個水桶,需要多少平方米的鐵皮?(得數(shù)保留整數(shù))

圓柱的表面積練習題??? 層次2

班別:??????? 姓名:???????? 學號:?????

1、一個圓柱高9分米,側(cè)面積226.08平方分米,它的底面積是多少平方分米?

6、一個沒有蓋的圓柱形鐵皮水桶,高是24厘米,底面直徑是20厘米,做這個水桶至少要用鐵皮多少平方厘米?(接口處不計,得數(shù)保留整百平方厘米)

8、一個盛奶粉的圓柱形鐵罐,底面周長是31.4厘米,高是1.3分米,做一個這樣的鐵罐至少需用鐵皮多少平方厘米?(接口處不計,得數(shù)保留整十平方厘米)

9、一個圓柱的側(cè)面積是12.56平方米,底面半徑是4分米,它的高是多少分米?

10、一個無蓋的圓柱形鐵皮水桶,底面直徑是0.4米,高是0.8米,要在水桶里、外兩面都漆防銹漆,油漆的面積大約是多少平方米?(得數(shù)保留一位小數(shù))

圓柱表面積篇七

(一)教材分析

《圓柱體的表面積》是九年義務教育六年制小學數(shù)學第十二冊第二單元的學習內(nèi)容,它是在學生掌握長方形以及圓的面積計算的基礎上進行教學的,為今后進一步學習立體幾何知識及培養(yǎng)學生的空間觀念打下基礎。是一節(jié)數(shù)學探討課,與生活密切聯(lián)系。

(二)教學目標知識目標:通過多種形式的感知,認識圓柱體,理解圓柱體的表面積概念,初步形成空間觀念。

能力目標:培養(yǎng)學生觀察、想象、分析的能力,掌握圓柱體的表面積計算。

情感目標:通過探究合作學習,激發(fā)學生學習熱情以及培養(yǎng)學生的合作探究意識,滲透數(shù)學來源于生活。

(三)重點、難點重點:圓柱體表面積的概念。難點:圓柱體表面積的計算。

(四)教學具準備: 圓柱體實物

《新課標》指出:數(shù)學教學應聯(lián)系現(xiàn)實生活,使學生從中獲得學習數(shù)學的情感體驗,感受數(shù)學的力量。同時,通過教學實踐,使學生學會自主學習和小組合作,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和小組合作精神。因此,在本節(jié)課中,我認為運用活動教學形式,采取“引導-合作-自主探究”的教學方法,使每個學生都能參與到學習中,感受學習的樂趣。

現(xiàn)代教育心理學認為:小學生思維的發(fā)展是從具體形象思維向抽象思維過渡的。因此,按小學認知規(guī)律從“具體感知-形成表象-進行抽象”的過程,讓學生通過自己摸一摸、剪一剪、拼一拼等系列活動認識形式,采用小組合作,自主探究的學習。

(一)開門見山,由面到體

1、新課導入:同學們,請大家回憶一下以前學過的平面圖形;你還記得怎么樣計算它們的面積嗎?(出示長方形、正方形、平行四邊形和圓)2、實物出示茶葉筒、易拉罐等立體圖形,從而得出立體圖形概念。3、板書揭題:圓柱體的表面積,從研究平面圖形到立體圖形,是學生空間形成發(fā)展中的一次飛躍。因此,在引入前,首先讓學生對以前平面圖形知識進行系統(tǒng)性回顧。然后,再出示立體圖形實物,在學生頭腦上建立立體圖形表象,并得出立體圖形概念,從而點明本節(jié)課學習內(nèi)容和目標,激發(fā)學生的強烈的求知欲和學習興趣。

(二)教師引導、自主探究

1、引導學生認識圓柱體各個“面”的形狀和面積計算。(小組合作完成)

(1)摸一摸,數(shù)一數(shù);圓柱體它有幾個面?(引導學生按順序觀察,可按方位給每個面標上名稱。如:上面、下面和側(cè)面。)

(2)看一看,議一議;圓柱體每個面是什么形狀?

(4)指一指,說一說;從不同位置展開圓柱體的側(cè)面,不斷變換,引導學生認識。

圓柱表面積篇八

2、填空:

3、求下面各圓柱的表面積。

(1)底面半徑是2分米,高是7.3分米。

(2)底面周長是 18.84米 ,高是 5米 。

4、選擇正確答案的序號填在括號里。

(1)圓柱的側(cè)面積等于(?????? )乘以高。

a、底面積??????????? b、底面周長???? c、底面半徑

16、一個無蓋的圓柱形鐵皮水桶,底面直徑是 0.4米 ,高是 0.8米 ,要在水桶里、外兩面都漆防銹漆,油漆的面積大約是多少平方米?(得數(shù)保留一位小數(shù))

圓柱表面積篇九

(一)教學內(nèi)容

《圓柱的表面積》是九年義務教育小學數(shù)學六年級下冊(人教版)第21~22頁例3例4,第22頁“練一練”,練習六第1~3題的教學內(nèi)容。

(二)教材分析

這部分內(nèi)容是在學生已經(jīng)探索并掌握圓柱的基本特征的基礎上教學的。同時,此前對圓面積公式的探索以及對長方體特征和表面積計算方法的探索也為了學習本課內(nèi)容奠定了知識的基礎。通過本節(jié)課的學習,有利于學生進一步完善關于幾何形體的知識結構,豐富學生“空間與圖形”的學習經(jīng)驗,形成初步的空間觀念,為今后進一步學習形體知識打下基礎。

教材設置了兩個例題。例3主要引導學生通過動手操作探索圓柱側(cè)面積的計算方法。然后,通過相應的“練一練”對圓柱側(cè)面積的計算方法進行鞏固。例4是引導學生在例3的基礎上探索圓柱表面積的計算方法。

教材這樣安排,意在讓學生經(jīng)歷圓柱側(cè)面積、表面積計算方法的推導過程,理解這些方法的來源,便于學生在理解的基礎上記憶,并從中學到一些數(shù)學方法。

(三)教學重、難點本節(jié)課的教學重點是掌握圓柱的側(cè)面積、表面積的計算方法,難點是理解圓柱側(cè)面積的含義。

(四)教學目標根據(jù)本節(jié)課教學內(nèi)容以及學生的特點,我制定了本課節(jié)的教學目標如下:

1、知識目標:理解圓柱的側(cè)面積和表面積的含義,掌握圓柱側(cè)面積、表面積的計算方法,能利用所學知識解決相關的一些簡單實際問題。

2、能力目標:初步學會運用“觀察、比較、分析、抽象、判斷、概括、推理”等方法獲得知識的能力。

3、情感目標:讓學生通過自己的操作,觀察、比較、推理、歸納等經(jīng)歷知識形成的過程,從而獲得成功的喜悅,增強學生的學習興趣和自信心。

小學生知識的形成總是經(jīng)歷由感性認識到理情認識的過程,因此教師在教學新知識時,應盡量為學生提供充足的、較為完整的感性材料,通過讓學生操作、觀察、演算等途徑,調(diào)動眼、口、手、腦、耳等多種感官參與知識活動?;谶@樣的認識,這節(jié)課我采用演示法、操作實驗法、引導發(fā)現(xiàn)法、練習法等教學方法,讓學生通過操作、觀察、概括、歸納、演算、交流等多種方法進行學習,掌握求圓柱表面積的計算方法及應用計算方法解決實際問題。

(一)操作導入,建立新舊知識聯(lián)系點。

學生以前學的面都是“平面”,而圓柱的側(cè)面是“曲面”,是本課教學難點,為了突破這個難點,這個環(huán)節(jié)我分3步進行教學。

1、卷一卷,感知“由直變曲”。

首先,我讓學生拿出事先準備好的長方形紙片,引導他們卷成盡可能粗的圓柱紙簡。

其次,提問:原來長方形紙片是一個平面;現(xiàn)在卷成圓柱紙簡后,它還是平面嗎?讓學生感知“由直變曲”。

然后,我根據(jù)學生回答談話:在一定的條件下平面是可以“由直變曲”的。

2、展一展,感知“由曲變直”。

首先,我讓學生展開卷好的圓柱簡。

其次,提問:這個盡可能粗的圓柱紙簡展開后是什么形狀?讓學生感知“由曲變直”。

然后,談話:同樣,在一定條件下曲面也可以“由曲變直”變?yōu)槠矫妗?/p>

3、談話引入:今天我們將運用這個知識來計算圓柱的側(cè)面積與表面積。(板書課題:圓柱的表面積)

通過這個環(huán)節(jié)的卷、展操作,讓學生感知圓柱的側(cè)面“由曲變直”的過程,使得“圓柱側(cè)面積”的新知識與“求長方形面積”的舊知識聯(lián)系起,突破了教學的難點。

(二)觀察對比,推導圓柱側(cè)面積計算公式。

這個環(huán)節(jié),我將分兩步進行教學

1、觀察對比,理解圓柱側(cè)面積含義

首先,我讓學生再次卷出盡可能粗的圓柱紙簡。

其次,提問引導學生觀察對比。

并且根據(jù)學生回答板書。

長方形長寬

圓柱側(cè)面表面周長高

(2)誰能指出這個圓柱簡的兩個表面?(現(xiàn)在是空的)

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