高等數(shù)學(xué)專升本 高等數(shù)學(xué)同濟第七版(5篇)

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高等數(shù)學(xué)專升本 高等數(shù)學(xué)同濟第七版篇一

一 多元函數(shù)的概念

不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實際問題中，許多量的變化，不只由一個因素決定，而是由多個因素決定。例如平行四邊行的面積a由它的相鄰兩邊的長x和寬y以及夾角?所確定,即a?xysin?;圓柱體體積v由底半徑r和高h所決定,即v??r2h。這些都是多元函數(shù)的例子。

一般地，有下面定義：

定義1: 設(shè)e是r2的一個子集，r是實數(shù)集，f是一個規(guī)律，如果對e中的每一點(x,y)，通過規(guī)律f，在r中有唯一的一個u與此對應(yīng)，則稱f是定義在e上的一個二元函數(shù)，它在點(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)，即u?f(x,y)。

有時，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)x?r?x?y222就是一個上半球面，球心在原點，半徑為r，此函數(shù)定義域為滿足關(guān)系式x2?y2?r2的x，y全體，即d?{(x,y)|x2?y2?r2}。又如，z?xy是馬鞍面。

二 多元函數(shù)的極限

定義2

設(shè)e是r2的一個開集，a是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?m??f(x,y)在點m0?x0,y0??e附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?r?m,m0???時，有f(m)?a??，就稱a是二元函數(shù)在m0點的極限。記為limf?mm?m0??a或f?m??a?m?m0?。

定義的等價敘述1 ：設(shè)e是r2的一個開集，a是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?m在點0???f(x,y)m0?2x,0y0??2e近有定義．如果???0附，???0，當(dāng)?x?x0???y?y0???時，有f(x,y)?a??，就稱a是二元函數(shù)在m0點的極

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限。記為limf?mm?m0??a或f?m??a?m?m0?。

定義的等價敘述2： 設(shè)e是r2的一個開集，a是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?m在點m0?x,0y0????f(x,y)附e近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?x?x0??,0?y?y0??且?x,y???x0,y0?時，有f(x,y)?a??，就稱a是二元函數(shù)在m0點的極限。記為limf?mm?m0??a或f?m??a?m?m0?。

注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果limf(m)?a，則當(dāng)m以任何點列及任何方式趨

m?m0于m0時，f(m)的極限是a；反之，m以任何方式及任何點列趨于m0時，f(m)的極限是a。但若m在某一點列或沿某一曲線?m0時，f(m)的極限為a，還不能肯定f(m)在m0的極限是a。所以說，這里的“”或“”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。

例1：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?xyx?yxyx?y22222，討論在點(0,0)的的二重極限。

例2：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?2，討論在點(0,0)的二重極限是否存在。

??0,例3：f(x,y)????1,x?y其它或y?0，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。

二元函數(shù)的極限較之一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。

例4：limx?yx?xy?ysinxyx22。

x??y??例5：① limx?0y?0

② lim(x?y)ln(x?y)③ lim(x?y)ex?0y?0x??y??2222222?(x?y)

例6：求f(x,y)?xy3223x?y在（０，０）點的極限，若用極坐標(biāo)替換則為limrr?0cos?sin?cos??sin?3322?0?

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（注意：cos3??sin3?在??7?4時為０，此時無界）。

xyx?y222例7：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?證明二元極限不存在的方法．，討論在點(0,0)的二重極限．

基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法，說明極限與輻角有關(guān)．

例8：f(x,y)?xyx?y22在(0,0)的二重極限不存在．

三

二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3

設(shè)f?m?在m0點有定義，如果limf(m)?f(m0)，則稱f?mm?m0?在m0點連續(xù)．

???0,???0,當(dāng)0

如果f在開集e內(nèi)每一點連續(xù)，則稱f在e內(nèi)連續(xù)，或稱f是e內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。

例9：求函數(shù)u?tan?x2?y2?的不連續(xù)點。

四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

有界性定理：

若f?x,y?再有界閉區(qū)域d上連續(xù)，則它在d上有界。一致連續(xù)性定理: 若f?x,y?再有界閉區(qū)域d上連續(xù)，則它在d上一致連續(xù)。最大值最小值定理: 若f?x,y?再有界閉區(qū)域d上連續(xù)，則它在d上必有最大值和最小值。

零點存在定理:

設(shè)d是rn中的一個區(qū)域，p0和p1是d內(nèi)任意兩點，f是d內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果f(p0)?0，f(p1)?0，則在d內(nèi)任何一條連結(jié)p0,p1的折線上，至少存在一點ps，使f(ps)?0。

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五

二重極限和二次極限

在極限limf(x,y)中，兩個自變量同時以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重x?x0y?y0極限（二重極限）．此外，我們還要討論當(dāng)x,y先后相繼地趨于x0與y0時f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：

若對任一固定的y，當(dāng)x?x0時，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)??(y),而?(y)x?x0在y?y0時的極限也存在并等于a，亦即lim?(y)?a，那么稱a為f(x,y)先對x，再

y?y0對y的二次極限，記為limlimf(x,y)?a．

y?y0x?x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．

x?x0y?y0上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。

注：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例10：（二重極限存在，但兩個二次極限不存在）．設(shè)

11?xsin?ysin?yxf(x,y)??

?0?x?0,y?0x?0ory?0

由f(x,y)?x?y 得limf(x,y)?0（兩邊夾）;由limsinx?0y?01y不存在知f(x,y)的累次

y?0極限不存在。

例11：（兩個二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)

f(x,y)?xyx?y22，(x,y)?(0,0)

由limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?0知兩個二次極限存在且相等。但由前面知x?0y?0y?0x?0limf(x,y)不存在。

x?0y?0例12：（兩個二次極限存在，但不相等）。設(shè)

f(x,y)?x?yx?y2222，(x,y)?(0,0)

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則 limlimf(x,y)?1，limlimf(x,y)??1;limlimf(x,y)?limlimf(x,y)（不x?0y?0y?0x?0x?0y?0y?0x?0可交換）

上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會有一些聯(lián)系。

定理1:設(shè)（1）二重極限limf(x,y)?a；（2）?y,y?y0，limf(x,y)??(y).則

x?x0y?y0x?x0y?y0lim?(y)?limlimf(x,y)?a。

y?y0x?x0（定理1說明：在重極限與一個累次極限都存在時，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。

推論1:

設(shè)（1）limf(x,y)?a；（2）（3）?y,y?y0，limf(x,y)存在；?x,x?x0，x?x0y?y0x?x0y?y0limf(x,y)存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0limf(x,y)。

推論2: 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限

x?x0y?y0y?y0x?x0x?x0y?y0limf(x,y)必不存在（可用于否定重極限的存在性）。

222例13：求函數(shù)f?x,y??xy22xy??x?y?在?0,0?的二次極限和二重極限。

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高等數(shù)學(xué)專升本 高等數(shù)學(xué)同濟第七版篇二

考研數(shù)學(xué)：在基礎(chǔ)上提高。

注重基礎(chǔ)，是成功的必要條件。注重基礎(chǔ)的考察是國家大型數(shù)學(xué)考試的特點，因此，在前期復(fù)習(xí)中，基礎(chǔ)就成了第一要務(wù)。在這個復(fù)習(xí)基礎(chǔ)的這個階段中，考生可以對照教材把知識點系統(tǒng)梳理，逐字逐句、逐章逐節(jié)對概念、原理、方法全面深入復(fù)習(xí)，同時，還應(yīng)注意基礎(chǔ)概念的背景和各個知識點的相互關(guān)系，一定要先把所有的公式，定理，定義記牢，然后再做一些基礎(chǔ)題進行鞏固。

無論是高數(shù)、線代還是概率，都要在此階段進行全面整理基本概念、定理、公式，初步總結(jié)復(fù)習(xí)重點，把握命題基本題型，為強化階段的復(fù)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)結(jié)合常規(guī)教材和前幾年的大綱，深刻理解吃透基本概念、基本方法和基本定理?？佳袛?shù)學(xué)是一門邏輯性極強的演繹科學(xué)，在對基本概念深入理解，對基本定理和公式牢牢記住后，才能找到解題的突破口和切入點。對近幾年數(shù)學(xué)的分析表明，考生失分的一個重要原因就是對基本概念、定理記不全、記不牢，理解不準(zhǔn)確，基本解題方法掌握不好。所以說，我們切不可在基礎(chǔ)上掉以輕心。

在掌握了相關(guān)概念和理論之后，首先應(yīng)該自己試著去解題，即使做不出來，對基本概念和理論的理解也會深入一步。因為數(shù)學(xué)畢竟是個理解加運用的科目，不練習(xí)就永遠無法熟練掌握。解不出來，再看書上的解題思路和指導(dǎo)，再思考，如果還是想不出來，最后再看書上的詳細解答?？匆坏李}怎么做出來不是最重要的東西，重要的是通過自己的理解，能夠在做題的過程中用到它。因此，在看完這本書上的那些精彩的例題之后，關(guān)鍵要注意在隨后的習(xí)題中選典型的來繼續(xù)鞏固。不過，要注意的是，基礎(chǔ)對第一輪復(fù)習(xí)的考生顯然是基礎(chǔ)要求。不要因急于做難題不會而貶低自己的自信心，堅信等若干月復(fù)習(xí)之后回頭看這些題就是小菜一碟。

數(shù)學(xué)成績是長期積累的結(jié)果，準(zhǔn)備時間一定要充分。要對各個知識點做深入細致的分析，注意抓考點和重點題型，在一些大的得分點上可以適當(dāng)?shù)夭扇☆}海戰(zhàn)術(shù)。數(shù)學(xué)考試會出現(xiàn)一些應(yīng)用到多個知識點的綜合性試題和應(yīng)用型試題。這類試題一般比較靈活，難度也要大一些。在數(shù)學(xué)首輪復(fù)習(xí)期間，可以不將它們作為強化重點，但也應(yīng)逐步進行一些訓(xùn)練，積累解題思路，同時這也有利于對所學(xué)知識的消化吸收，徹底弄清楚有關(guān)知識的縱向與橫向聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為自己真正掌握的東西。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)就要關(guān)注：教材、做題、獨立思考。這些都是缺一不可的。教材是獲得基本知識的必要前提，是基礎(chǔ)，懂了教材才有可能做對題目。做題是關(guān)鍵，是目的。只有會做題，做對題目，快速做題才能應(yīng)付考試，達到目的。思考是為了更有效的理解教材和做對題目。所以我們要向提高自己的做題能力，就千萬不能在基礎(chǔ)階段大意而導(dǎo)致之后進去的路上失去先機，這樣就會在后期多走彎路，切記!考研數(shù)學(xué)：進入備考狀態(tài)，培養(yǎng)綜合能力

要進行全面完整的復(fù)習(xí)，大多數(shù)考生現(xiàn)在已經(jīng)開始了考研的相關(guān)準(zhǔn)備并進入了考研狀態(tài)?，F(xiàn)在可以看做是考研的第一個階段：基礎(chǔ)階段。在這個階段，我們必須明確自己的目標(biāo)，并對自己的實力有個初步的判斷。在此基礎(chǔ)上，開展我們的初步復(fù)習(xí)。因為對自己的了解，才能作為我們復(fù)習(xí)時的參考，讓我們知道從哪些方面開始，哪些知識點要多下些功夫，而有些自己掌握較好的部分則可以少用點時間，從而對時間進行最有效率的分配，獲得最佳效果?，F(xiàn)在的階段是奠定良好基礎(chǔ)的關(guān)鍵部分。在這個階段，主要是讓自己慢慢融入考研這個大事中，培養(yǎng)自己的考研心態(tài)和狀態(tài)。

考生都很關(guān)心具體該如何開始復(fù)習(xí)，進行初級基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)。對考研最終的勝利至關(guān)重要。特別是公共課數(shù)學(xué)，相信考生也已經(jīng)意識到了這門學(xué)科的重要性和復(fù)習(xí)的難度。下面，跨考教育數(shù)學(xué)教研室牛秀艷老師就此為考生做一些復(fù)習(xí)指導(dǎo)建議。

首先，合理安排時間?；A(chǔ)階段的復(fù)習(xí)，因為要進行整體全面的學(xué)習(xí)，所有時間是較長的，考生要有一個詳細的安排和計劃。考生應(yīng)盡量保證在暑假前完成這一階段的復(fù)習(xí)?；A(chǔ)階段的復(fù)習(xí)主要依據(jù)考試大綱(現(xiàn)階段年新大綱發(fā)布前可先依據(jù)上一年考研數(shù)學(xué)大綱)，清楚哪些是重要的考點，哪些是不考的內(nèi)容，熟練掌握基本概念、定理、公式及常用結(jié)論等內(nèi)容，為后期的學(xué)習(xí)(強化和沖刺階段)打下牢固的基礎(chǔ)。

對于教材，也要給予足夠的重視。教材的作用，考生一定不能忽視。很多定理公理，都可以在書中多次翻看，達到真正理解的程度。一般來說，推薦同濟五版的高數(shù)、清華二版的線代、浙大三版的概率。這些都是非常好的“陪讀”教材，在考研復(fù)習(xí)中不可或缺。那么在理解了基礎(chǔ)理論的時候，我們做題就會更加得心應(yīng)手。這個階段，雖然做題不是重點，但要以做適當(dāng)數(shù)量的題目來輔助我們理解那些基礎(chǔ)知識點。“萬丈高樓平地起”，沒有好的地基就蓋不出高大壯觀的建筑。我們考研就是建設(shè)的過程，所以要從底層做起。不能忽視底層的建構(gòu)，而且基礎(chǔ)建設(shè)耗費時間雖長，但更能說明這個階段的重要性。有個這個階段良好的基礎(chǔ)，在一層一層蓋樓的過程中，才能真正感受到“磨刀不誤砍柴工”的作用。在后續(xù)各個階段的復(fù)習(xí)中，將會獲得更充足的動力。

做題時，如果遇到有些對概念、定理模糊不確定的時候，可以去看教材，用教材題目相結(jié)合的方法。光看教材也許容易看了后邊的忘了前邊所學(xué)的內(nèi)容，所以在做題中、在復(fù)習(xí)的時候要不斷的鞏固，加強對基礎(chǔ)知識點的理解。要做自己所選教材后邊的一些配套的基礎(chǔ)性的練習(xí)題，勤動手，同時對于一些自己不會做得題目，多思考，多問自己幾個為什么。有些具有一定難度的題目，可能需要參考標(biāo)準(zhǔn)答案，此時一定要認(rèn)真把思路做個復(fù)習(xí)概括。多總結(jié)，總結(jié)是任何時候都不過時的。多想想以后遇到類似的題目，自己應(yīng)該從哪些方面去思考，這樣慢慢積累，就會成為自己的知識，被自己所用。

對于知識點的復(fù)習(xí)，考生可以有重點的復(fù)習(xí)。為了更能把時間用在刀刃上，建議考生結(jié)合前幾年的大綱，找準(zhǔn)考點。從歷年的考研試卷分析，凡是大綱中提及的內(nèi)容，都是可能的考點，甚至自己認(rèn)為是一些不太重要的內(nèi)容，也完全有可能在考研試題中出現(xiàn)。所以，對于大綱中提到的考點，要做到重點、全面、有針對性的復(fù)習(xí)。不僅要在主要的內(nèi)容和方法上下功夫，更要注重尋找各個知識點之間的聯(lián)系。近年來，考研數(shù)學(xué)越來越注重綜合能力的考查，這也是以后命題的一個趨勢。而綜合能力的培養(yǎng)以及提高，源于自己平時的積累與練習(xí)。

考研高數(shù)：極限中的“極限”(一)

相信大家已經(jīng)把高數(shù)的復(fù)習(xí)已經(jīng)結(jié)束，開啟概率和線代的復(fù)習(xí)，不知道對自己高數(shù)的復(fù)習(xí)是否滿意，是否達到了我們的“三基本”呢?接下來，跨考教育數(shù)學(xué)教研室佟慶英就和大家梳理一下我們做過的極限。

說到極限應(yīng)該是我們?nèi)笥嬎阒械牡谝淮笥嬎悖磕昕佳姓骖}必出，無論是數(shù)一數(shù)二數(shù)三還是經(jīng)濟類數(shù)學(xué)，可以出選擇題也可以出填空題，更可以出解答題，題目類型不同，分值也不同，4分或者10分，極限的思想也就更是重要之重了，原因就是后來所有的概念都是以極限的形式給出的。下面，我們就看看極限在基礎(chǔ)階段到底應(yīng)該掌握到什么程度。

第一，極限的定義。理解數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義，最好記住其定義。

第二，極限的性質(zhì)。唯一性，有界性，保號性和保不等式性要理解，重點理解保號性和保不等式性，在考研真題里面經(jīng)常考查，而性質(zhì)的本身并不難理解，關(guān)鍵是在做題目的時候怎么能想到，所以同學(xué)們在做題目的時候可以看看什么情況下利用了極限的保號性，例如：題目中有一點的導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零，或者給定義數(shù)值，可以根據(jù)這個數(shù)值大于零或小于零，像這樣的情況，就可以寫出這一點的導(dǎo)數(shù)定義，利用極限的保號性，得出相應(yīng)的結(jié)論，切記要根據(jù)題目要求來判斷是否需要，但首先要有這樣的思路，希望同學(xué)們在做題時多去總結(jié)。

第三，極限的計算。這一部分是重中之重，這也是三大計算中的第一大計算，每年必考的題目，所以需要同學(xué)們能夠熟練地掌握并會計算不同類型的極限計算。首先要知道基本的極限的計算方法，比如：四則運算、等價無窮小替換、洛必達法則、重要極限、單側(cè)極限、夾逼定理、單調(diào)有界收斂定理，除此之外還要泰勒展開，利用定積分定義求極限。其次還要掌握每一種極限計算的注意事項及拓展，比如：四則運算中掌握“抓大頭”思想(兩個多項式商的極限，是無窮比無窮形式的，分別抓分子和分母的最高次計算結(jié)果即可)，等價無窮小替換中要掌握等價無窮小替換只能在乘除法中直接應(yīng)用，加減法中不能直接應(yīng)用，如需應(yīng)用必須加附加條件，計算中要掌握基本的等價無窮小替換公式和其推廣及湊形式，進一步說就是第一要熟練掌握基本公式，第二要知道怎么推廣，也就是將等價無窮小替換公式中的x用f(x)來替換，并且要驗證在x趨于某一變化過程中f(x)會否趨近于零，滿足則可以利用推廣后的等價無窮替換公式，否則不能。

下面給出推廣后公式：f(x)→0,f(x)～sinf(x)～arcsinf(x)～tanf(x)～arctanf(x)～expf(x)-1～ln(f(x)+1),1-cosf(x)～0.5(f(x))2,(1+f(x))a～af(x)。

第三要能將變形的無窮小替換公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，比如：公式中固定出現(xiàn)的“1”和f(x)為無窮小量。希望同學(xué)們在做題目的時候多加注意，熟能生巧。

考研高數(shù)：極限中的“極限”(二)

前面我們已經(jīng)介紹了等價無窮小替換公式的應(yīng)用及注意事項，接下來，跨考教育數(shù)學(xué)教研室佟老師為大家繼續(xù)說說極限的計算方法。

極限的第三種方法就是洛必達法則。首先，要想在極限中使用洛必達法則就必須要滿足洛必達法則，說到這里有很多同學(xué)會打個問號，什么法則，不就是上下同時求導(dǎo)?其實不盡然。

洛必達有兩種，無窮比無窮，零比零，分趨近一點和趨近于無窮兩種情況，以趨近于一點來說明法則條件，條件一：零比零或者無窮比無窮(0/0，∞/∞);條件二：趨近于這一點的去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且分母導(dǎo)數(shù)不為零;條件三：分子導(dǎo)數(shù)比分母導(dǎo)數(shù)的極限存在或者為無窮，則原極限等于導(dǎo)數(shù)比的極限。

在這里要注意極限計算中使用洛必達法則必須同時滿足這三個條件，缺一不可，特別要注意條件三，導(dǎo)數(shù)比的極限一定是存在或者為無窮，不能把無窮認(rèn)為是極限不存在，因為極限不存在還包括極限不存在也不為無窮這種情況，比如：x趨近于零，sin(1/x)的極限不存在也不為無窮。每次使用都必須驗證三條件是否同時滿足。

再來看看重要極限，重要極限有兩個，一個是x趨近于零時，sinx/x趨近于零，另一個是x趨近于零時，(1+x)1/x趨近于e，或者寫成x趨近于無窮，(1+1/x)x趨近于e(1∞形式)，總結(jié)起來就是(1+無窮小量)無窮小量的倒數(shù)，所以要記住重要極限的特點，并可以將其推廣，即把x換成f(x)，在f(x)趨近零，sinf(x)/f(x)趨近于零，(1+f(x))1/f(x)趨近于e，或f(x)趨近無窮，(1+1/f(x))f(x)趨近于e，還要注意當(dāng)給你冪指函數(shù)的極限計算，先要判斷他是不是1∞形式，如果是，就可以考慮利用重要極限解決，湊出相應(yīng)的形式就可以得出結(jié)論。

這里還要特別的提一下幾個未定式(∞-∞，0·∞，1∞，00，∞∞)，這五個未定式需要轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞,其中∞-∞可以通過通分、提取或者代換將其轉(zhuǎn)化，0·∞可以將0或者∞放在分母上，以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，1∞，00，∞∞利用對數(shù)恒等變化來實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，其中1∞還可以利用重要極限計算。

綜上所述，等價無窮小替換和重要極限要掌握基本公式和推廣，可以將任意變形公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，并且給定一個極限首要任務(wù)就是利用等價無窮替換公式化簡。洛必達法則處理七種未定式，靈活地將不同形式的極限轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞，計算時注意滿足洛必達法則的三個條件，希望同學(xué)們可以掌握基礎(chǔ)，靈活地解決不同類型的極限。

高等數(shù)學(xué)專升本 高等數(shù)學(xué)同濟第七版篇三

《高等數(shù)學(xué)》是我校高職專業(yè)重要的基礎(chǔ)課。經(jīng)過我們高等數(shù)學(xué)教師的努力，該課程在課程建設(shè)方面已走向成熟，教學(xué)質(zhì)量逐步提高,在教學(xué)研究、教學(xué)管 理、教學(xué)改革方面，我們做了很多工作，也取得了可喜的成果。

《高等數(shù)學(xué)》是學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基礎(chǔ)知識。一方面它是學(xué)生后 繼課程學(xué)習(xí)的鋪墊，另一方面它對學(xué)生科學(xué)思維的培養(yǎng)和形成具有重要意義。因此，它既是一門重要的公共必修課，又是一門重要的工具課。緊扣高職高 專的培養(yǎng)目標(biāo)，我們的《高等數(shù)學(xué)》課的定位原則是“結(jié)合專業(yè)，應(yīng)用為主，夠用為度，學(xué)有所用，用有所學(xué)”，宗旨是“拓寬基礎(chǔ)、培養(yǎng)能力、重在應(yīng)用”

根據(jù)高職高專的培養(yǎng)目標(biāo)，高等數(shù)學(xué)這門課的教學(xué)任務(wù)是使學(xué)生在高中數(shù)學(xué) 的基礎(chǔ)上，進一步學(xué)習(xí)和掌握本課程的基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技能，逐步 培養(yǎng)學(xué)生抽象概括問題的能力，一定的邏輯推理能力，空間想象能力，比 較熟練的運算能力和自學(xué)能力，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的素質(zhì)和修養(yǎng)，培養(yǎng) 學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。

高等數(shù)學(xué)這門課的教學(xué)設(shè)計思想是：根據(jù)專業(yè)設(shè)置相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。我們將 《高等數(shù)學(xué)》分成四大類：輕化工程、電子、計算機和財經(jīng)。四大類的公共教 學(xué)內(nèi)容為：一元函數(shù)微積分,微分方程。三類工科數(shù)學(xué)增加：空間解析幾何、多 元微積分學(xué)。計算機和電子再增加級數(shù)。電子類專業(yè)還專門開設(shè)拉普拉氏變換。財經(jīng)專業(yè)另開設(shè)線性代數(shù)初步。達到了專業(yè)課對基礎(chǔ)課的要求。

同時，在教學(xué)內(nèi)容的安排上，還注意了以下幾點：

1、數(shù)學(xué)知識的覆蓋面不宜太寬，應(yīng)突出重點，不過分追求數(shù)學(xué)自身的系統(tǒng) 性，嚴(yán)密性和邏輯性。淡化數(shù)學(xué)證明和數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

2、重視知識產(chǎn)生的歷史背景知識介紹，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。每一個概念 的引入應(yīng)遵循實例—抽象—概念的形成過程。

3、重視相關(guān)知識的整合。如在一元微積分部分，可將不定積分與定積分整 合，先從應(yīng)用實例引入定積分的概念，再根據(jù)定積分計算的需要引入不定積分

4、強調(diào)重要數(shù)學(xué)思想方法的突出作用。強化與實際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知 識和基本方法。加強基礎(chǔ)知識的案例教學(xué)，力求突出在解決實際問題中有重要 應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法的作用，揭示重要的數(shù)學(xué)概念和方法的本質(zhì)。例如，在導(dǎo) 數(shù)中強調(diào)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)——變化率；在積分中強調(diào)定積分的實質(zhì)—無限累加；在 微分中強調(diào)局部線性化思想；在極值問題中強調(diào)最優(yōu)化思想；在級數(shù)中強調(diào)近似計算思想。

5、注重培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識與能力。

6、根據(jù)學(xué)生實際水平，有針對性地選擇適當(dāng)（特別是在例題、習(xí)題、應(yīng)用 案例及實驗題目等方面）的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)盡量淡化計算技巧（如求導(dǎo)和求積分 技巧等）。

知識模塊順序及對應(yīng)的學(xué)時《高等數(shù)學(xué)》工科課程主要分為七部分的知識模 塊，共需要用168個學(xué)時.1、一元函數(shù)微分學(xué)部分(極限、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)，需用60個學(xué)時；

2、一元函數(shù)積分學(xué)部分(不定積分、定積分及其應(yīng)用)，需用30個學(xué)時；

3、微分方程部分，需用12個學(xué)時。

4、向量代數(shù)與空間解析幾何部分，需用24個學(xué)時；

5、多元函數(shù)微分學(xué)部分(偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)，需用22個學(xué)時；

6、多元函數(shù)積分學(xué)部分(二重積分及其應(yīng)用)，需用8個學(xué)時；

7、無窮級數(shù)部分，需用30個學(xué)時； 課程的重點、難點及解決辦法 1、課程的重點

本課程的研究對象是函數(shù)，而研究問題的根本方法是極限方法，極限方法貫 穿于整個課程。本課程的重點是教會學(xué)生在掌握必要的數(shù)學(xué)知識（如導(dǎo)數(shù)與 微分、定積分與重積分及級數(shù)理論等）的同時，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方 法解決實際問題的意識、興趣和創(chuàng)新能力。

2、課程的難點

本課程的教學(xué)難點在于由實際問題抽象出有關(guān)概念和其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法解決實際問題的意識、興趣和能力；一元函數(shù) 的極限定義并用定義證明極限、定積分的應(yīng)用、多元復(fù)合抽象函數(shù)的求偏導(dǎo)，根據(jù)實際問題建立微分方程等內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的難點。

3、解決辦法

對于工科類高等數(shù)學(xué)，講授時一般以物理、力學(xué)和工程中的數(shù)學(xué)模型為背景 引出問題，采取啟發(fā)式教學(xué)以及現(xiàn)代化教學(xué)手段，講清思想，加強基礎(chǔ)；注 意連續(xù)和離散的關(guān)系，加強函數(shù)的離散化處理，注意培養(yǎng)學(xué)生研究問題和解 決實際問題的能力；注意教學(xué)內(nèi)容與建立數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系。在微積分學(xué) 的應(yīng)用中，更是關(guān)注物理模型的建立和研究思想。另外，重點、難點內(nèi)容多 配備題目，課堂講解通過典型例題的分析過程和解決過程掌握重點、突破難 點；課外還布置一定量的練習(xí)題；最近幾年以來，基礎(chǔ)部學(xué)科建設(shè)發(fā)展迅速，研究成果和學(xué)術(shù)論文突飛猛進，學(xué)術(shù)環(huán)境和氛圍極大改善?；A(chǔ)部科研和教 學(xué)活動的新的水平層次，為《高等數(shù)學(xué)》精品課程的建設(shè)和發(fā)展，提供了優(yōu) 秀的學(xué)術(shù)環(huán)境和平臺。

教 學(xué) 大 綱

一、內(nèi)容簡介

本課程的內(nèi)容包括函數(shù)的極限與連續(xù)，微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用，常微分方程，空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，無窮級數(shù)，線性代數(shù)初步，數(shù)學(xué)實驗等。其中函數(shù)的極限與連續(xù)，微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用為各專業(yè)的基礎(chǔ)部分?？臻g解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，無窮級數(shù)，線性代數(shù)初步，數(shù)學(xué)實驗為選學(xué)模塊，各專業(yè)可根據(jù)專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)的要求，選學(xué)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。

二、課程的目的和任務(wù)

為培養(yǎng)能適應(yīng)二十一世紀(jì)產(chǎn)業(yè)技術(shù)不斷提升和社會經(jīng)濟迅速發(fā)展的高等技術(shù)應(yīng)用型人才，教學(xué)中本著重能力、重應(yīng)用、求創(chuàng)新的思路，切實貫徹“以應(yīng)用為目的、理論知識以必需、夠用為度”的原則，落實高職高專教育“基礎(chǔ)知識適度，技術(shù)應(yīng)用能力強，知識面較寬，素質(zhì)高”的培養(yǎng)目標(biāo)，從根本上反映出高職高專數(shù)學(xué)教學(xué)的基本特征，反映出目前國內(nèi)外知識更新和科技發(fā)展的最近動態(tài)，將工程技術(shù)領(lǐng)域的新知識、新技術(shù)、新內(nèi)容、新工藝、新案例及時反映到教學(xué)中來，充分體現(xiàn)高職教育專業(yè)設(shè)置緊密聯(lián)系生產(chǎn)、建設(shè)、服務(wù)、管理一線的實際要求。在教學(xué)內(nèi)容的組織上，注意以下幾點：

1．注意數(shù)學(xué)知識的深、廣度?；A(chǔ)知識和基本理論以“必需、夠用”為度.把重點放在概念、方法和結(jié)論的實際應(yīng)用上。多用圖形、圖表表達信息，多用有實際應(yīng)用價值的案例、示例促進對概念、方法的理解。對基礎(chǔ)理論不做論證，必要時只作簡單的幾何解釋。

2．必須貫徹“理解概念、強化應(yīng)用”的教學(xué)原則。理解概念要落實到用數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)概念消化、吸納工程技術(shù)原理上；強化應(yīng)用要落實到使學(xué)生能方便地用所學(xué)數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)模型上。

3．采用“案例驅(qū)動”的教學(xué)模式。由實際問題引出數(shù)學(xué)知識，再將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于處理各種生活和工程實際問題。重視數(shù)學(xué)知識的引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。每一個概念的引入應(yīng)遵循實例—抽象—概念的形成過程。

4．重視相關(guān)知識的整合。如在一元微積分部分，可將不定積分與定積分整合，先從應(yīng)用實例引入定積分的概念，再根據(jù)定積分計算的需要引入不定積分。

5．要特別注意與實際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技能的訓(xùn)練，但不追求過分復(fù)雜的計算和變換。可通過數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，提升學(xué)生對的數(shù)學(xué)問題的求解能力。加強基礎(chǔ)知識的案例教學(xué)，力求突出在解決實際問題中有重要應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想和方法的作用，揭示重要的數(shù)學(xué)概念和方法的本質(zhì)。例如，在導(dǎo)數(shù)中強調(diào)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)——變化率；在積分中強調(diào)定積分的實質(zhì)—無限累加；在微分中強調(diào)局部線性化思想；在極值問題中強調(diào)最優(yōu)化思想；在級數(shù)中強調(diào)近似計算思想。

6．在內(nèi)容處理上要兼顧對學(xué)生抽象概括能力、自學(xué)能力、以及較熟練的綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng).真正體現(xiàn)以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的辨證統(tǒng)一。

三、課程內(nèi)容

第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)

理解一元函數(shù)的概念及其表示；了解分段函數(shù)；了解復(fù)合函數(shù)的概念，會分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。熟悉基本初等函數(shù)及其圖形；能熟練列出簡單問題中的函數(shù)關(guān)系；理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；會用極限思想方法分析簡單問題；了解函數(shù)左、右極限的概念，以及函數(shù)左、右極限與函數(shù)極限的關(guān)系；掌握極限四則運算法則；理解函數(shù)連續(xù)、間斷的概念；知道初等函數(shù)的連續(xù)性；會討論分段函數(shù)的連續(xù)性。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念；能用導(dǎo)數(shù)描述一些經(jīng)濟、工程或物理量；熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；能熟練地求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求一些簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，會用微分做近似計算；會建立簡單的微分模型。第三章

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

會用羅必達解決未定型極限；理解函數(shù)的極值概念；會求函數(shù)的極值，會判斷函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖形的凹、凸性等；熟練掌握最大、最小值的應(yīng)用題的求解方法。第四章

一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用

理解不定積分和定積分的概念；了解不定積分和定積分的性質(zhì)；理解定積分的幾何意義；熟悉不定積分的基本公式；掌握不定積分的直接積分法、第一類換元法和常見類型的分部積分法；熟練掌握牛（newton）-萊布尼茲(leibniz)公式；熟練掌握定積分的微元法，能建立一些實際問題的積分模型；會用微元分析法建立簡單的積分模型；了解廣義積分的概念.了解微分方程的階、解、通解、初始條件、特解等概念；掌握可分離變量微分方程及一階線性微分方程的解法；掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；會建立簡單的微分方程模型。第五章

空間解析幾何與向量代數(shù)

理解向量的概念，掌握向量的線性運算、點乘、叉乘，兩個向量垂直、平行的條件；熟悉單位向量、方向余弦及向量的坐標(biāo)表達式；掌握用坐標(biāo)表達式進行向量運算；理解曲面方程的概念，熟悉平面方程和直線方程及其求法；了解常用的二次曲面的方程，了解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；了解曲線在坐標(biāo)平面上的投影。第六章

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 理解多元函數(shù)的概念；了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性概念及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件；掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)；會求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會求一些極值。第七章

二重積分

理解二重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)和幾何意義；掌握二重積分的計算方法。第八章

無窮級數(shù)

了解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散及和的概念，基本性質(zhì)及收斂的必要條件；掌握幾何級數(shù)和p-級數(shù)的收斂性；掌握正項級數(shù)的比較審斂法，比值審斂法；了解交錯級數(shù)的萊布尼茲定理；了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系；了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；掌握比較簡單的冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法；了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)；了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充要條件；會將一些簡單的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。了解函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷條件，會將定義在（-π,π）上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，并會將在（0，π）上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。知道傅里葉級數(shù)在工程技術(shù)中的應(yīng)用。了解拉普拉斯變換和逆變換的概念，會求解簡單信號函數(shù)的拉普拉斯變換和逆變換。第九章 線性代數(shù)初步

理解矩陣的概念；掌握用矩陣表示實際量的方法；熟練掌握矩陣的線性運算、乘法運算、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)律；熟練掌握矩陣的初等變換；理解逆矩陣的概念，會用矩陣的初等變換求方陣的逆矩陣。會建立簡單的線性模型；熟練掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。第十章 數(shù)學(xué)實驗

數(shù)學(xué)實驗是以實際問題為實驗對象的操作實驗，其教學(xué)不僅讓學(xué)生了解和掌握一種數(shù)學(xué)實驗軟件，而更重要的是培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力。

四、課程的教學(xué)方式

本課程的特點是思想性強，與相關(guān)基礎(chǔ)課及專業(yè)課聯(lián)系較多，教學(xué)中應(yīng)注重由案例啟發(fā)進入相關(guān)知識，并突出幫助學(xué)生理解重要概念的思想本質(zhì)，避免學(xué)生死記硬背。要善于將有關(guān)學(xué)科或生活中常遇到的名詞概念與微積分學(xué)的概念結(jié)合起來，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要性。同時，注重各教學(xué)環(huán)節(jié)（理論教學(xué)、習(xí)題課、作業(yè)、輔導(dǎo)參考）的有機聯(lián)系, 特別是強化作業(yè)與輔導(dǎo)環(huán)節(jié)，使學(xué)生加深對課堂教學(xué)內(nèi)容的理解，提高分析解決問題的能力和運算能力。教學(xué)中有計劃有目的地向?qū)W生介紹學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)專業(yè)課之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是獲取進一步學(xué)習(xí)機會的關(guān)鍵學(xué)科。

五、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配

序號教學(xué)模塊理論課時習(xí)題課時實 驗共計備注

1函數(shù)的極限與連續(xù)166 22各專業(yè)的公共基礎(chǔ) 2 導(dǎo)數(shù)與微分204 24 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用104 14 4一元函數(shù)積分及其應(yīng)用228 30

常微分方程102 12輕化、電子、計算機、經(jīng)濟類學(xué)生選

5空間解析幾何與向量代數(shù)186 24輕化、電子、計算機類學(xué)生選 6多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用166 22輕化、電子、計算機類學(xué)生選

7二重積分62 8 8無窮級數(shù)246 30電子、計算機類學(xué)生選

9線性代數(shù)初步144 18電子、計算機、經(jīng)濟類學(xué)生選 10 實驗

六、執(zhí)行大綱時應(yīng)注意的問題

1.大綱以高職高專各專業(yè)為實施對象。

2.模具和高分子專業(yè)增加極坐標(biāo)和曲率；電子專業(yè)增加拉普拉斯變換。3.數(shù)學(xué)實驗課程視情況開設(shè)。

教學(xué)效果

高等數(shù)學(xué)課程是一門十分繁重的教學(xué)任務(wù)，不僅學(xué)時多、面對學(xué)生人數(shù)多，而且責(zé)任大。學(xué)校、系、學(xué)生都十分關(guān)注這門課程的教學(xué)質(zhì)量，它涉及到后續(xù)課程的教學(xué)，特別是它影響培養(yǎng)人才的質(zhì)量和水平。基礎(chǔ)部歷來非常重視高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，積極組織教師開展教學(xué)研究，要求任課教師認(rèn)真負責(zé)地對待教學(xué)工作，備好、講好每一節(jié)課。多年來高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平一直受到學(xué)校和學(xué)生的好評。

從課堂表現(xiàn)可以看出教師備課是充分的。講授熟練，概念清楚，重點突出。特別是貫徹啟發(fā)式教學(xué)，教與學(xué)互動，課堂提問討論，學(xué)生課堂解題等，師生配合較好，課堂氣氛活躍，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。教師們經(jīng)常討論各章節(jié)的重點難點應(yīng)如何處理，如何分析引出概念，如何貫徹啟發(fā)式教學(xué)，哪些問題要留給學(xué)生自己解決。這種教學(xué)研討一學(xué)期要有十多次，有時幾乎每周都有安排。嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、嚴(yán)格要求、教書育人、為人師表是基礎(chǔ)部的優(yōu)良傳統(tǒng)，可以說高等數(shù)學(xué)教研室在師資隊伍建設(shè)上成績是突出的。高等數(shù)學(xué)在教學(xué)改革上，準(zhǔn)備將數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，從而來提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，嘗到數(shù)學(xué)應(yīng)用的益處，提高學(xué)數(shù)學(xué)的積極性

課程的方法和手段

本課程運用現(xiàn)代教育技術(shù)、采用多種教學(xué)手段相結(jié)合的方式。大多數(shù)教師在教學(xué)中使用powerpoint課件、電子教案、模型教具等輔助手段，使教學(xué)內(nèi)容的表達更生動、直觀，有效提高了教學(xué)效果。采用多媒體輔助教學(xué)的教師比例達到100%。具體情況如下：

1．堅持“少講、留疑、迫思、細答、深析”的教學(xué)原則，試點“討論式”、“聯(lián)想式”、“逆反式”等教學(xué)方法。

高等數(shù)學(xué)是學(xué)生進入大學(xué)后首先學(xué)習(xí)的課程之一，內(nèi)容難以理解，課堂教學(xué)容量大。如何培養(yǎng)學(xué)生獨立學(xué)習(xí)的能力，也是教師義不容辭的責(zé)任。為轉(zhuǎn)變學(xué)生中學(xué)養(yǎng)成的依賴教師的學(xué)習(xí)習(xí)慣，盡快適應(yīng)大學(xué)學(xué)習(xí)生活，我們在教學(xué)中提出“少講、留疑、迫思、細答，深析”的教學(xué) 原則，開展了“討論式”、“聯(lián)想式”、“逆反式”等教學(xué)方法，收到了較好的效果。

2．提倡研究式學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生初步進行科學(xué)研究的能力和創(chuàng)新精神

工科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的，是能將所學(xué)數(shù)學(xué)知識用于專業(yè)研究中。為激發(fā)學(xué)生的求知欲、鍛煉學(xué)生的初步研究能力、培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)與創(chuàng)新精神，我們嘗試在部分班級開展研究式的學(xué)習(xí)方法。具體方法是：將部分教學(xué)內(nèi)容改造成研究問題，讓學(xué)生通過課程學(xué)習(xí)、查閱資料、相互討論等形式思考研究問題。例如針對微分方程的應(yīng)用、各種定積分的比較研究等問題開展這項活動，學(xué)生反映很好。

3．傳統(tǒng)教學(xué)手段與現(xiàn)代教學(xué)手段結(jié)合，提高教學(xué)效果

在部分內(nèi)容保留傳統(tǒng)教學(xué)方式的基礎(chǔ)上，積極運用現(xiàn)代教育技術(shù)，探索計算機輔助教學(xué)的模式，研制電子教案，并在部分班級進行試點。例如：我們利用電子教案講授空間解析幾何、重積分等內(nèi)容，使一些空間圖形的演示更直觀、更清楚，便于學(xué)生理解和掌握。

4．加強課下輔導(dǎo)，及時為學(xué)生排疑解難

課下的輔導(dǎo)答疑是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，為加強這個環(huán)節(jié)，我們安排了正常的輔導(dǎo)答疑。

5．積極開展課外科技活動

為配合高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，我們準(zhǔn)備開設(shè)《mathematica》和《數(shù)學(xué)建?！穬砷T院級選修課，為基礎(chǔ)較好的學(xué)生提供進一步提高的機會。同時，積極組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽。

高等數(shù)學(xué)專升本 高等數(shù)學(xué)同濟第七版篇四

高等數(shù)學(xué)（也稱為微積分）是理、工科院校一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科。作為一門科學(xué)，高等數(shù)學(xué)有其固有的特點，這就是高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性。抽象性是數(shù)學(xué)最基本、最顯著的特點--有了高度抽象和統(tǒng)一，我們才能深入地揭示其本質(zhì)規(guī)律，才能使之得到更廣泛的應(yīng)用。嚴(yán)密的邏輯性是指在數(shù)學(xué)理論的歸納和整理中，無論是概念和表述，還是判斷和推理，都要運用邏輯的規(guī)則，遵循思維的規(guī)律。所以說，數(shù)學(xué)也是一種思想方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是思維訓(xùn)練的過程.高等數(shù)學(xué)分為幾個部分為：

一、函數(shù) 極限 連續(xù)二、一元函數(shù)微分學(xué)三、一元函數(shù)積分學(xué)

四、向量代數(shù)與空間解析幾何

五、多元函數(shù)微分學(xué)

六、多元函數(shù)積分學(xué)

七、無窮級數(shù)

八、常微分方程

http://210.42.35.168/model_d/model3/?courseid=ff80808117ea11760117ea2672180119 大學(xué)英語課程是非英語專業(yè)大學(xué)生的一門必修基礎(chǔ)課程。大學(xué)英語教學(xué)是以英語語言知識與應(yīng)用技能、學(xué)習(xí)策略和跨文化交際為主要內(nèi)容，以外語教學(xué)理論為指導(dǎo)，以遵循語言教學(xué)和語言習(xí)得的客觀規(guī)律為前提，集多種教學(xué)模式和教學(xué)手段為一體的教學(xué)體系。

大學(xué)英語教學(xué)應(yīng)注重英語綜合應(yīng)用能力、尤其是聽說能力的需求，在幫助學(xué)生繼續(xù)打好語言基礎(chǔ)的同時，應(yīng)特別重視培養(yǎng)學(xué)生英語實際應(yīng)用和交際能力，尤其應(yīng)加大對聽、說、寫等產(chǎn)出技能的訓(xùn)練強度和考核比重，為學(xué)生真正具有國際交流能力打下厚實的基礎(chǔ)。同時，應(yīng)竭力避免因過于強調(diào)某種／些技能的培養(yǎng)而偏廢了其它技能。

大學(xué)英語教學(xué)應(yīng)堅持以人為本，關(guān)注學(xué)生的情感，進一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)英語的興趣，幫助學(xué)生建立英語學(xué)習(xí)的成就感和自信心；應(yīng)注重培養(yǎng)和提高學(xué)生的個性化學(xué)習(xí)及自主學(xué)習(xí)能力、自我發(fā)展能力和可持續(xù)性發(fā)展能力；應(yīng)營造個性化學(xué)習(xí)的環(huán)境，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的資源和場所，在培養(yǎng)他們積極主動的學(xué)習(xí)方法和思維方法、助其形成有效的學(xué)習(xí)策略的同時，提高他們的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力、應(yīng)用能力、分析和解決問題能力，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ)。大學(xué)英語教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生的英語語言實踐活動。堅持以學(xué)生為中心、以方法為主導(dǎo)的教學(xué)原則和以交際為目的、師生互動的教學(xué)方法，充分調(diào)動、發(fā)揮學(xué)生主體性的學(xué)習(xí)方式，徹底改變單純接受式的學(xué)習(xí)方式。教師要積極引導(dǎo)學(xué)生參與課堂教學(xué)活動，培養(yǎng)學(xué)生樂于參與課堂教學(xué)實踐活動的意識和習(xí)慣。同時應(yīng)最大限度地超越課堂和語言學(xué)習(xí)的限制，盡可能地拉近課堂與社會實踐的距離，使學(xué)生掌握實實在在的英語交際本領(lǐng)，為學(xué)生步入社會打下良好的基礎(chǔ)。

大學(xué)英語教學(xué)應(yīng)充分運用多媒體網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)代化教育技術(shù)，開展計算機多媒體教學(xué)，建立網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的平臺，采用全方位、立體化、網(wǎng)絡(luò)化的教學(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識，提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量；應(yīng)充分利用網(wǎng)絡(luò)與計算機所提供的豐富的英語教學(xué)資源，開發(fā)多媒體網(wǎng)絡(luò)課件，極大地豐富教學(xué)和學(xué)生自主學(xué)習(xí)的資源庫，創(chuàng)造良好的英語學(xué)習(xí)環(huán)境，形成完整合理的教學(xué)體系。

大學(xué)英語教學(xué)應(yīng)創(chuàng)建一個客觀高效的考核評價模式和相應(yīng)的管理模式。對學(xué)生能力和教學(xué)質(zhì)量的評估不應(yīng)以單一的終結(jié)性評價方式進行，應(yīng)實行具有綜合性和全方位性的形成性評估與終結(jié)性評估相結(jié)合的方式，在一個完整的形成性評價體系指標(biāo)指導(dǎo)下，客觀的評估大學(xué)英語教學(xué)質(zhì)量。

★教學(xué)對象： 我校一、二年級的普通本科生，共8千多人，是我校影響面最廣、課程進程最長、學(xué)生人數(shù)最多的課程之一。

★教學(xué)目標(biāo)： 使學(xué)生通過兩年的學(xué)習(xí)，在聽說、讀寫能力方面達到教育部《課程要求》提出的一般要求（四級英語水平）甚至較高要求（六級英語水平）。大學(xué)英語閱讀能力的一般要求：能讀懂難度中等的一般性題材的英語文章和應(yīng)用文體材料，能基本讀懂國內(nèi)英文報刊和英語國家報刊雜志上一般性題材的文章，掌握中心大意，抓住主要事實和有關(guān)細節(jié)，能在閱讀中使用有效的閱讀方法；閱讀速度達到每分鐘70詞，在快速閱讀篇章較長、難度略低的材料時，閱讀速度達到每分鐘100詞。

大學(xué)英語寫作能力的一般要求：能用常見的各種應(yīng)用文體完成一般的寫作任務(wù)，能較好地描述個人經(jīng)歷、事件、觀感、情感等；能就一定話題或提綱在半小時內(nèi)寫出120—150詞的短文，內(nèi)容完整、用詞恰當(dāng)、語篇連貫，表達意思清楚，無重大語言錯誤，并能使用恰當(dāng)?shù)膶懽骷寄堋４髮W(xué)英語翻譯能力一般要求：能借助詞典對題材熟悉的文章進行英漢互譯，英譯漢速度為每小時300英語單詞，漢譯英速度為每小時250字。譯文基本流暢，基本忠實原文，并能在翻譯時使用適當(dāng)?shù)姆g技巧。

大學(xué)英語閱讀理解能力較高要求： 能順利閱讀語言難度中等的一般性題材的文章和基本閱讀英語國家報刊雜志的一般性題材文章，閱讀速度達到每分鐘80詞；在快速閱讀篇幅較長、難度略低的材料時，閱讀速度達到每分鐘120詞，并能就閱讀材料進行略讀或?qū)ぷx；能夠基本讀懂本人專業(yè)方面的綜述性文獻，并能正確理解中心大意，抓住主要事實和有關(guān)細節(jié)。

大學(xué)英語寫作能力較高要求：能寫日常應(yīng)用文；能寫出本人專業(yè)論文的英語摘要；能借助參考資料寫出與本專業(yè)相關(guān)的報告和論文，結(jié)構(gòu)基本清晰，內(nèi)容較為豐富；能描寫各種圖表；能就某一主題在半小時內(nèi)寫出160—180詞以上的短文，內(nèi)容完整，條理清楚，文理通順。

大學(xué)英語翻譯能力的較高要求：能借助詞典翻譯一般英美報刊上題材熟悉的文章和摘譯本人專業(yè)的英語文章或科普文章；能借助詞典將內(nèi)容熟悉的漢語文字材料和本專業(yè)論文譯成英語，理解正確，譯文基本通順、達意，無重大語言錯誤；英譯漢速度為每小時350英語單詞；漢譯英速度為每小時300漢字。

線性代數(shù)課程是高等工科院校高等學(xué)校理、工、經(jīng)、管各專業(yè)的一門必修的基礎(chǔ)理論課,是碩士研究生入學(xué)全國統(tǒng)一數(shù)學(xué)考試中的必考課程，也是教育部工科數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會列出的重點基礎(chǔ)理論課之一。本課程主要討論有限維空間線性理論。由于線性問題廣泛存在于技術(shù)科學(xué)的各個領(lǐng)域，某些非線性問題在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為線性問題，因此本課程所介紹的方法廣泛地應(yīng)用于各個學(xué)科。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，尤其是計算機科學(xué)的發(fā)展，解大型線性方程組，求矩陣的特征值與特征向量等計算已成為工程技術(shù)領(lǐng)域經(jīng)常出現(xiàn)的問題，因而，線性代數(shù)這門課程的作用與地位顯得更為重要。多年來,線性代數(shù)都是我校覆蓋面廣，涉及專業(yè)多，受益面大的課程，平均每學(xué)年選課學(xué)生人數(shù)都在3000人以上，因此倍受學(xué)校重視。

通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生系統(tǒng)地獲得行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、相似矩陣和二次型理論等方面的基本概念、基本理論和基本方法與運算技能。

由于線性代數(shù)具有較強的抽象性與邏輯性，根據(jù)我校人才培養(yǎng)的特點，遵循“厚基礎(chǔ)，高素質(zhì)，強能力”的原則，本課程的教學(xué)不但要為后繼專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，以及學(xué)生今后從事實際工作，奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和提供必須的數(shù)學(xué)工具，更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維與邏輯推理能力，使學(xué)生掌握對研究對象進行有序化、代數(shù)化、可解化的數(shù)學(xué)處理方法，提高運用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和實踐能力的應(yīng)用型高級專門人才。同時，本課程還在盡快使大學(xué)低年級學(xué)生從一開始就養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，增強學(xué)好大學(xué)課程的興趣與信心，掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)方法，以及提高自學(xué)能力、培養(yǎng)理論聯(lián)系實際的作風(fēng)等方面發(fā)揮著不可替代的作用和長久的影響。

二、課程各章主要教學(xué)內(nèi)容及其基本要求

線性代數(shù)ｉ

第一章 行列式

了解：排列、對換及排列的奇偶性的概念，會計算排列的逆序數(shù)； n階行列式的定義；會計算或證明簡單的n階行列式。理解行列式的性質(zhì)及展開定理。掌握用行列式的性質(zhì)及展開定理計算三、四階行列式的方法。

第二章 矩陣及其運算

了解：單位矩陣、對角矩陣、對稱矩陣及其性質(zhì)；方陣的冪及方陣的行列式；滿秩矩陣及其性質(zhì)；分塊矩陣及其運算；初等矩陣的性質(zhì)，會用初等變換將矩陣化為行階梯形、行最簡形、標(biāo)準(zhǔn)形。理解：矩陣的概念；伴隨矩陣的概念；逆矩陣的概念及存在的充要條件；矩陣秩的概念。掌握：矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置及運算規(guī)律；矩陣求逆、求秩的方法。矩陣的初等變換。

第三章 線性方程組

了解：線性方程組的解、特解、解空間及解的結(jié)構(gòu)等概念。理解：gramer 法則；齊次線性方程組有非零解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解；非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)及通解。掌握用矩陣的初等變換求線性方程組通解的方法。

第四章 向量組的線性相關(guān)性

了解有序n元數(shù)組的向量空間及其子空間、基、維數(shù)等概念。理解：n維向量的概念；向量的線性組合與線性表示；向量組的線性相關(guān)性的概念以及有關(guān)定理和結(jié)論；向量組的等價的概念；向量組與矩陣的關(guān)系以及向量組與矩陣的秩的概念；會作簡單線性相關(guān)性的命題的論證。掌握：用矩陣的初等變換求向量組的秩、最大無關(guān)組以及判別向量組的線性相關(guān)性的方法； n維向量的加法、數(shù)乘和內(nèi)積等運算。

第五章 相似矩陣及二次型

了解：正交矩陣概念及性質(zhì)；相似矩陣的概念及性質(zhì)，矩陣對角化的充要條件；二次型的秩的概念，知道慣性定理，二次型的正定性及其判別方法。理解：矩陣的特征值與特征向量的概念；理解并會用施密特方法把線性無關(guān)的向量組正交規(guī)范化；理解并會用配方法、正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。掌握二次型及其矩陣表示；矩陣的特征值與特征向量的求法；實對稱矩陣的對角化方法。

線性代數(shù)ⅱ

第一章 矩陣

了解: 單位矩陣、對角矩陣、對稱矩陣及其性質(zhì)；n階行列式的定義；方陣的冪及方陣的行列式；滿秩矩陣及其性質(zhì)；分塊矩陣及其運算；初等矩陣的性質(zhì)，知道矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系；會用初等變換將矩陣化為行階梯形、行最簡形、標(biāo)準(zhǔn)形。理解: 行列式的性質(zhì)及展開定理；矩陣的概念；伴隨矩陣的概念；逆矩陣的概念及存在的充要條件；矩陣秩的概念。掌握：矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置及運算規(guī)律；用行列式的性質(zhì)及展開定理計算三、四階行列式的方法；矩陣求逆、求秩的方法；熟練掌握矩陣的初等變換。

第二章 線性方程組

了解：向量空間及其子空間、基、維數(shù)等概念；線性方程組的解、特解、解空間及解的結(jié)構(gòu)等概念。理解：n維向量的概念；向量的線性組合與線性表示；向量組的線性相關(guān)性的概念以及有關(guān)定理和結(jié)論；向量組的等價的概念；向量組與矩陣的關(guān)系；向量組與矩陣的秩的概念； gramer 法則；齊次線性方程組有非零解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解；非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)及通解。掌握：n維向量的加法、數(shù)乘等運算；用矩陣的初等變換求向量組的秩、最大無關(guān)組以及判別向量組的線性相關(guān)性的方法；用矩陣的初等變換求線性方程組通解的方法。

第三章 線性空間與線性變換（有關(guān)專業(yè)選修，不作統(tǒng)一要求）

第四章 矩陣的特征值與特征向量

了解：相似矩陣、正交矩陣的概念及性質(zhì)；矩陣級數(shù)；矩陣對角化的充要條件。理解：矩陣的特征值與特征向量的概念；把線性無關(guān)的向量組正交規(guī)范化的施密特方法。掌握：矩陣的特征值與特征向量的求法；實對稱矩陣的對角化方法。

第五章 二次型

了解：二次型及其矩陣、二次型的秩和矩陣合同的概念；慣性定理，二次型的規(guī)范形；二次型的正定性及其判別方法。理解：理解并會用配方法、正交變換法或初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。掌握：二次型及其矩陣表示。

三、知識模塊順序及對應(yīng)的學(xué)時

我校的線性代數(shù)課程內(nèi)容根據(jù)各個專業(yè)的不同需要，分線性代數(shù)ⅰ、ⅱ兩類開設(shè)。醫(yī)學(xué)類的線性代數(shù)內(nèi)容已包含在高等數(shù)學(xué)ⅲ課程之內(nèi)，不再單獨開設(shè)了。

理、工科類專業(yè)開設(shè)線性代數(shù)ⅰ，共32學(xué)時，2學(xué)分。其中行列式，6學(xué)時；矩陣及其運算，5學(xué)時；矩陣的初等變換與線性方程組，5學(xué)時；向量組的線性相關(guān)性，6學(xué)時；相似矩陣及二次型，8學(xué)時；﹡線性空間與線性變換，不作要求；數(shù)學(xué)實驗，2學(xué)時。

經(jīng)、管類專業(yè)開設(shè)線性代數(shù)ⅱ，共40學(xué)時，2.5學(xué)分。其中矩陣，11學(xué)時；線性方程組，12學(xué)時；﹡線性空間與線性變換，不作要求；矩陣的特征值與特征向量，9學(xué)時；二次型，6學(xué)時；數(shù)學(xué)實驗，2學(xué)時。

因線性代數(shù)ⅰ、線性代數(shù)ⅱ的教學(xué)時數(shù)偏緊，為保證完成大綱規(guī)定的基本教學(xué)內(nèi)容并達到大綱要求，在教學(xué)中對部分章節(jié)的內(nèi)做了一定的刪減和調(diào)整，或有所取舍，或有所側(cè)重。具體的處理情況請詳見教學(xué)大綱。作為改革嘗試，我們設(shè)法擠出2學(xué)時設(shè)置數(shù)學(xué)實驗課，側(cè)重數(shù)學(xué)課程教學(xué)與計算機及教學(xué)軟件的應(yīng)用相結(jié)合，如給出若干相關(guān)問題的matlab命令、程序及運行結(jié)果，供上機實習(xí)用。這樣，線性代數(shù)課程內(nèi)容既保持了傳統(tǒng)線性代數(shù)教學(xué)的理論體系，又有所創(chuàng)新,比較切合我校實際情況。

四、課程的重點、難點及解決辦法

課程的重點：矩陣?yán)碚?，線性方程組求解，相似矩陣。

課程的難點：向量組的線性相關(guān)性，矩陣的對角化。為了突出重點，分散難點，我們的解決辦法是：⑴明確和把握各章節(jié)內(nèi)容在本課程中的地位及相互關(guān)系，貫徹線性代數(shù)是以行列式、矩陣及初等變換為工具，矩陣的秩為基礎(chǔ)，線性方程組，向量組的線性相關(guān)性，以及相似矩陣等為重點，以矩陣為主線的思想與知識體系。同時也注意向量的作用和空間思想以及代數(shù)與幾何的相互滲透。矩陣方法是工程技術(shù)中應(yīng)用十分廣泛的方法，而且具有表達具體和明顯的特點。所以，用矩陣方法處理抽象性和邏輯性較強的線性代數(shù)內(nèi)容，可使抽象化的結(jié)果轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w運算的結(jié)果，不僅可以分散本課程的難點，而且有利于學(xué)生掌握一些矩陣運算技巧，提高數(shù)學(xué)計算能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的素質(zhì)。⑵采用從問題出發(fā)，由淺入深，循序漸進的教學(xué)方法，減少學(xué)生的學(xué)習(xí)困難。用學(xué)生熟悉的知識或身邊的實例引入概念、化解難點，如用幾何向量共線和共面引出向量組的線性相關(guān)性，再推廣到一般向量組的線性相關(guān)性等。由此減少學(xué)生在學(xué)習(xí)上不易理解的困難，提高學(xué)習(xí)的興趣。⑶及時引導(dǎo)和幫助學(xué)生總結(jié)，“授人以漁”，教會學(xué)生掌握解決問題的基本方法。⑷合理使用多媒體輔助教學(xué)。行列式、矩陣、向量組、解線性方程組等的板書量大是本課程教學(xué)的突出特點，這給教學(xué)帶來很大負擔(dān)，充分利用現(xiàn)有的電教設(shè)備，合理地采用多媒體進行輔助教學(xué)，以節(jié)省課堂時間，增加教學(xué)容量，提高教學(xué)效率。⑸開辟網(wǎng)絡(luò)自主學(xué)習(xí)輔導(dǎo)系統(tǒng),增加一些輔導(dǎo)參考內(nèi)容，學(xué)生可通過網(wǎng)上學(xué)習(xí)作為課堂學(xué)習(xí)的補充。

高等數(shù)學(xué)專升本 高等數(shù)學(xué)同濟第七版篇五

正文: 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，也是解題的一種十分重要的思想方法。在中學(xué)證明不等式一般有比較法，綜合法，分析法，反證法，判別法，放縮法，數(shù)學(xué)歸納法，利用二項式定理和變量代換法等等，其中包含了很多的技巧，從而證明的難度也比較大，下面就利用高等數(shù)學(xué)知識進行不等式的證明，從中也可看出不等式的證明具有很大的靈活性。利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，首先引入下面的定理： 定理1：設(shè)有兩個函數(shù)f(x)與g(x),滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間（a,b)內(nèi)可導(dǎo)有f'(x)>g'(x)(或 f'(x)

g(x)成立。例1：求證：ex-1>x(當(dāng)x>0時)從例題可以看出，在不等式的中有ex形式的指數(shù)形式，如用初等代數(shù)來證明則有一定的難度，如用高等數(shù)學(xué)中上面的定理則非常直觀。分析1：要證ex-1>x，可以設(shè)f(x)=ex-1,g(x)=x 這樣就轉(zhuǎn)化成定理1的形式。

另外，也可以將不等式轉(zhuǎn)化成：ex-x-1>0，證明方法同上（略）。如果不等式中的次數(shù)較高，形式也比較復(fù)雜，這可能需要多次轉(zhuǎn)化，才能達到目標(biāo)，通過下面的例子不難看出這一點。

例2：設(shè)a>ln2-1為任一常數(shù)，求證：當(dāng)x>0時,有x2-2ax+1

0 不妨設(shè)：f(x)=ex-x2+2ax-1 有：f(0)=0 則：f'(x)=ex-2x+2a 現(xiàn)在只需證明：f'(x)>0即可證明f(x)>0 下面分析證明：f'(x)>0 設(shè)g(x)=f'(x)=ex-2x+2a 有：g(0)=e0+2a>1+2(ln2-1)=ln4-1=ln >0(a>ln2-1)又因：g'(x)=ex-2 所以現(xiàn)在只需證：g'(x)≥0就可以證明g(x)>0.即需要證：ex≥2 ⅰ.當(dāng)x≥ln2時成立.ⅱ.下面考察：當(dāng) 0

0 g(x)=f'(x)=ex-2x+2a 又知：g'(x)=ex-2 g(0)>0

0.綜上所述，可知f'(x)>0.所在在證明不等式過程中連續(xù)兩次用到求導(dǎo)。有時在證明不等式時，如用初等數(shù)學(xué)知識則比較困難，如果我們能巧妙地構(gòu)造函數(shù)，這樣可使問題得以簡化，其中判斷函數(shù)的單調(diào)性，我們利用了高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識很容易地就解決了。下面利用高等數(shù)學(xué)中的拉格朗中值定理進行不等式的證明，下面引入拉格朗日中值定理： 定理2：若函數(shù)f(x)滿足下列條件：（1）f(x)在[a,b]并閉區(qū)間上連續(xù)；（2）f(x)在(a,b)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)； 則至少存在一點ξ∈（a,b),使得 f '(ξ)=

b?a例3：證明：| sinb-sina | ≤| b-a | 分析：我們知道| sinx | ≤1, | cosx |≤1 ,而a,b我們可以假設(shè)其中一個為較大者，則a,b可組成一個區(qū)間。再分析sinx函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)可知符合拉格朗日中值定理的條件，從而可以得以證明。證明：若a＝b,則等號成立。

若a≠b,不妨設(shè)a＜b.設(shè)f(x)=sinx 則f '(x)=cosx 則拉格朗日中值定理知，存在一點ξ∈（a,b)使得： f '(ξ)= cosξ= 又因為：|cosξ|≤1 所以 | sinb-sina| ≤| b-a | 從上面的定理和證明中，我們不難發(fā)現(xiàn)在遇到形如拉格朗日中值定理形式的不等式證明時，可用此定理，使得證明得以簡化，其中我們應(yīng)靈活地利用拉格朗日中值定理的各種變形進行不等式的證明。利用定積分的有關(guān)知識進行不等式的證明

在不等式的證明中，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)，有些不等式是求和的形式，這里我們可以利用定積分的定義或是利用積分的關(guān)的性質(zhì)使問題得以解決，下面的分析不難發(fā)現(xiàn)這一點。例4：對任意正整數(shù)n>1 3n?1123n<()n +()n +()n +…… +()n < 2 2n?2nnnn123n分析：不等式中()n +()n +()n +…… +()n 的形式比較復(fù)雜，nnnnsinb?sina

b?a求證：但從中可看出它是一些有相同特性的分式的和。設(shè)f(x)=xn(其中x= ，,……,）可看出：x∈(0,1)則不等式的和為?0xndx,從下圖可看出： 根據(jù)函數(shù)的凸凹性和定積分的定義可證此題。11n2n3nnn證明：設(shè)f(x)=xn , x∈(0,1)因為n≥2,可知f(x)為單調(diào)遞增的 凹函數(shù)，(如上圖所示）則有：

1n?1n1)]< ?0xndx= nn?1123n?1n1所以：()n +()n +()n +…… +()<

nnnnn?1123n1所以：()n +()n +()n +…… +()n < +1< 2 nnnnn?11011n?1nn?1nn又因為： [()n +()n +()n +……+()+()+()n ] > 2nnnnnn= [()n +()n +()n +…… +(1n2n3nn?0xndx

n?1nn1nn)+()n-()n > nn2nn?1n1123n所以：+<()n +()n +()n +…… +()n

n?12nnnn3n?1123n即： <()n +()n +()n +…… +()n < 2 2n?2nnnn1所以[()n +()n +()n +…… +(1n2n3n在上面的證明中，我們利用了定積分的定義以及函數(shù)的的一些性質(zhì)。上面的幾個例子中都利用了函數(shù)，由此可見函數(shù)在不等式的證明中起著非常關(guān)鍵的作用，函數(shù)的構(gòu)造和對函數(shù)的分析，其中函數(shù)單調(diào)性的判斷利用了高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)的知識使問題簡化，其次本文利用高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日中值定理進行不等式的證明，使得具有符合拉格朗日中值定理形式的不等式證明得以簡化，再次通過定積分的定義進行不等式的證明，以上的問題表明高等數(shù)學(xué)在不等式的證明方面存在著很大的優(yōu)勢，我們還需進一步的學(xué)習(xí)和研究。參考文獻：

[1]《高初數(shù)學(xué)結(jié)合講義 》 首都師范大學(xué)張海山教師 [2]《數(shù)學(xué)分析講義》 高等教育出版社

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