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小學和初中數(shù)學公式表篇一
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小學數(shù)學課堂教學合作學習方法初探
隨著新課改的全面展開，課堂上教師們都在積極嘗試構(gòu)建“小組合作”的學習模式，忽然間，合作學習似乎成為一種時尚。其中雖不乏精彩片段，但同時也存在著相當部分的“生搬硬套”現(xiàn)象，教師們在操作中上存在著不少誤區(qū)，導(dǎo)致合作學習形式化、表演化。往往是教師故設(shè)問題，宣布討論，學生便匆忙分組活動。這種現(xiàn)象在公開課尤為常見，可仔細一看，這熱鬧背后的“合作學習”是只“作”不“合”，試想，這樣的轟轟烈烈，五彩斑斕，有“形”無“質(zhì)”的合作，將會把學生引向何方？有多大的實效？在課堂教學中我們又該做些什么呢？
一、現(xiàn)狀分析
（一）合作小組隨意搭配
按坐就近，臨時湊合。有些教師在組織學生小組合作學習是，往往要求前兩排2名學生轉(zhuǎn)身和后排2名學生組成學習小組，而有些教師在公開課、研討課時則是臨時湊合一個小組。這樣的學習小組由教師統(tǒng)一規(guī)定小組成員，就違背小組合作的自愿原則，常常難以達到合作的和諧進行。再就是讓學生自由結(jié)伴組合，有些教師在組織學生小組合作時，讓學生自由結(jié)伴，這樣做，固然是尊重了學生自由選擇權(quán)，但是常常出現(xiàn)不顧及他們的知識水平、興趣愛好、能力、性別、個性差異等因素，造成組際間的不均衡，形成學習小組間不平等的競爭機制，違背了“組間同質(zhì)，組內(nèi)異質(zhì)”的原則。
（二）學生缺乏必要的小組合作技能
在教師組織合作學習的過程中，常常出現(xiàn)一些現(xiàn)象：當教師要求學生小組合作時，教室里立即出現(xiàn)一片嗡嗡聲，學生七嘴八舌，只顧自己將，不懂得聽別人講;或是在小組中，學優(yōu)生主宰一切，承擔了主要責任，其他學生則處于從屬被忽略的狀態(tài)，或是人云亦云。他們的思維也不自覺地趨同于教師的代言人——小組組織者的指向，致使某些學生的創(chuàng)造思維在這樣的環(huán)境中往往得不到認同，富有個性色彩的求異思維不能得到充分的發(fā)揮。組際交流時常常以“我”而不能以“我們”進行表達。如此等等現(xiàn)象都說明了學生缺乏必要的小組合作學習技能，這種無效的合作不但達不到“在合作中學會學習，在學習中學會合作”的目標，而且浪費了寶貴的時間，影響學習目標的達成度，事倍功半。
（三）小組合作內(nèi)容物挑戰(zhàn)性
有些教師為了追求課堂氣氛的熱烈，或為公開課裝飾門面，以為有了新的學習方式，不依據(jù)教學內(nèi)容，環(huán)境條件和合作學習的適用范圍，一律采用小組合作學習方式。如，某教室在一節(jié)“異分母加減法”課上，教師在復(fù)習完同分母分數(shù)的加減法后，開始提問：“我們已經(jīng)學會了同分母分數(shù)的加減法，明白了同分母分數(shù)為什么可以直接相加減的道理是它們的分數(shù)那么，異分母分數(shù)能不能直接相加減呢？請同學們小組合作討論一下。”試想，這樣一個簡單的判斷問題值得小組合作研究嗎？這樣一個沒有一定挑戰(zhàn)性的問題，它完全可以讓學生獨立思考，無需依賴別人，根據(jù)自己已有的知識經(jīng)驗就能做出判斷，就不用進行小組合作。由于沒有思維含量和這種方式的單一，學生會逐漸感到厭倦，失去參與討論的興趣，教學效率低下。
（四）活動放任自流，缺少主導(dǎo)性
小組合作學習雖然給了學生更多的自主權(quán)，但并不是“放羊式”的教學，不需要教師的主導(dǎo)作用。實際教學中，有些教師對學生小組合作的規(guī)則要求不甚明確，小組合作時，常出現(xiàn)貌似熱烈，其實非?；靵y的教學場面。如：在教學“18和2”的最小公倍數(shù)時，教師江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)— 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)，致力于為家長提供放心暑期家教！江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班
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先布置學生小組討論，小組匯報時，甲組學生用列舉法找出了18和24的最小公倍數(shù)是72，而乙組一位學生說：“我們小組用的是分解因數(shù)的方法：18=2*3*3,24=2*2*2*3，把18和24的公有質(zhì)因數(shù)2和3各取一個，再乘以18和24各自獨有的質(zhì)因數(shù)，就得到18和24的最小公倍數(shù)是2*3*3*2*2=72?！边@時，甲組的同學開始質(zhì)問：“為什么共有的質(zhì)因數(shù)各取一個呢？”乙組同學回答：“因為各取一個就表示有了18里面的質(zhì)因數(shù)2和3，也就有了24里面的質(zhì)因數(shù)2和3。”甲組同學又問：“為什么要乘以各自獨有的質(zhì)因數(shù)呢？”乙組同學一試無法回答，甲組同學很得意地否定乙組同學的結(jié)論。教師此時站在講臺上觀望、等待學生的討論。其實，這是一個難度很大的問題，也是關(guān)鍵性的問題，它有待于教師的啟發(fā)引導(dǎo)才能順利解決這個具有思考價值的問題，而教師的觀望等待使得教師的主導(dǎo)作用沒有得到應(yīng)有的發(fā)揮。
二、應(yīng)對策略
（一）打破學科界限，培養(yǎng)合作意識——合作學習的前提
在教學中要順暢、有效地開展小組合作學習活動，讓學生在小組合作中煥發(fā)活力，必須要是學生有合作的意識。在日常生活中，教師應(yīng)緊密聯(lián)系學生的生活實際，從學生的生活經(jīng)驗和已有知識出發(fā)，組織學生開展豐富的活動，讓學生感覺到合作的需要。例如：組織一些游戲，通過智力搶答、拔河比賽、接力傳球等團體比賽，讓學生發(fā)現(xiàn)需要和別人合作，共同努力，才能取得勝利;也可結(jié)合一些課外活動，如：收集數(shù)據(jù)、量量算算、調(diào)查生活中的數(shù)學等，讓學生在實踐中得到一種體驗，感覺到合作是一種富有樂趣、能有效地解決實際問題的有效途徑。
（二）感受合作過程，培養(yǎng)合作能力——合作學習的基礎(chǔ) 在師生之間，生生之間交往互動的數(shù)學活動中，教師要充分利用學生的生活經(jīng)驗，抓住時機，設(shè)計生動有趣的活動，讓學生參與小組合作活動，積極探索，對話互動，談?wù)摻涣?，理解和認識數(shù)學知識，在小組合作中培養(yǎng)學生的合作能力。例如：在學習長方形的周長計算后，學生思考解答“你能用一根20厘米長的鐵絲圍出每邊長度都是整厘米的長方形或正方形嗎？”時，實時引用小組合作學習模式，使師生之間、生生之間相互補充，相互啟發(fā)，以達到訓練思維品質(zhì)，發(fā)展學生智力的目的，產(chǎn)生雙贏的效果。具體實施可分以下三個步驟：
1、獨立思考：讓每個學生在小組合作之前都有一個獨立思考的時間和空間，讓學生審清題意，想一想自己有那些想法？可以怎樣來圍每邊長度都是整厘米的長方形或正方形？交流時不要讓自己僅僅是一個聽眾。
2、組內(nèi)交流：小組成員交流各自的思考成果，說說自己是怎樣想的，各抒己見，各種想法互相交匯，定能激起學生智慧的火花，讓小組內(nèi)學生形成初步共識，得出結(jié)論——用一根20厘米長的鐵絲圍出每邊長度都是整厘米的長方形或正方形，可以圍出四個長方形和一個正方形（具體情況略）。
3、組際交流：這是各小組之間互相學習、互相競爭、互相促進的過程，通過組際交流可以把小組的認知成果轉(zhuǎn)化為全體學生的共同認知成果——只要運用長方形周長=（長+寬）*2，思考（長+寬）*2=20厘米，即，長+寬=10厘米就可以求出這道題目的解，進一步深化了對知識的理解，互相啟發(fā)，開拓思維，讓學生創(chuàng)造性的解決問題。提高學生的學習興趣，發(fā)展學生的思維能力。讓學生在合作活動中培養(yǎng)學生主動探索的實踐能力，同時也是提高學生小組合作學習能力的有效途徑。
（三）師生互動，實時交流——合作學習的關(guān)鍵 合作學習強調(diào)學生的主體作用，同時也重視教師的主導(dǎo)作用。只有實現(xiàn)“主體”和“主導(dǎo)”雙向互動，合作學習才能成為一種有效的學習方式。
1、當好組織者?！墩n程標準》指出：“教師是學生數(shù)學學習的組織者… …”，只有教師的精心組織，小組合作學習才能活躍、和諧，才能有序、有效地進行。
（1）合理組建合作學習的組織。合作小組成員的搭配應(yīng)根據(jù)學生的學業(yè)成績、學習能力、性別、興趣愛好、家庭背景進行，一般4——6人一組，盡量保證一個小組內(nèi)的學生江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)— 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)，致力于為家長提供放心暑期家教！江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班
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各具特色，能夠相互取長補短，即遵循“組內(nèi)異質(zhì)”原則，形成互補，從而使小組活動有更多、更豐富的信息輸入輸出，可以激發(fā)更多的觀點，使全班形成更深入、更全面的認識。組建好的合作學習小組間力求均衡，無明顯差異，便于公平競爭，體現(xiàn)“組間同質(zhì)”的原則。
（2）培養(yǎng)學生掌握交流技巧。導(dǎo)致合作學習小組解體或?qū)W習不能順利進行的主要原因就是小組成員不會合作，學生不合作的原因往往也不是學生缺乏合作的愿望，而是學生缺乏合作的方法——交流技巧。所以，教師最好在傳授知識的同時教學生掌握必要的交流技能。例如：將組內(nèi)成員明確分工，運用“手勢”發(fā)揮管理作用;同時使學生參與管理過程，如何傾聽別人的發(fā)言，養(yǎng)成認真聽取別人意見的習慣；自己認真思考，大膽發(fā)言，敢于把自己的探索發(fā)現(xiàn)過程用語言表達出來；如何“提建議”；如何說服別人，評價他人等等。好的交流技能對學生的發(fā)展具有重要的價值，它們不僅能夠使學生在小組里學到更多東西，同時，對同學與家人和朋友和睦相處以及未來事業(yè)上取得成功都是至關(guān)重要的。
2、當好引導(dǎo)者。作為引導(dǎo)著，教師要精心設(shè)計問題情境，設(shè)身處地感受學生的所思所想，引發(fā)學生合作學習的動機，提出合作學習的目標，要結(jié)合具體的教學內(nèi)容，活動前向?qū)W生提出合作建議。如：教學“三角形面積的計算”，小組合作推導(dǎo)公式前，可以提出以下幾點合作建議：（1）想一想與三角形有關(guān)的有那些圖形；（2）用多種方法驗證三角形面積計算公式；（3）思考公式推導(dǎo)過程對我們的啟發(fā)。對特定的教學內(nèi)容，可以適當?shù)刂笇?dǎo)思路和方法，如：我在一節(jié)數(shù)學活動課“我們認識的數(shù)”中，教學“抓花生”這一環(huán)節(jié)時，教師講清合作要求：a.每組先派一名學生抓花生；b.抓花生是只能抓一把,但要盡可能多抓；c.再小組內(nèi)猜一猜，這一把花生有多少粒；d.再有一人數(shù)一數(shù)有多少粒；e.討論：抓一把花生與抓一把糖果的粒數(shù)哪個多？這樣吧合作的步驟交代清楚，小組學習就能有條不紊地展開。提出合作建議，提示合作流程，讓學生學會合作。
3、當好合作者
在小組開展合作與交流時，教師的角色又變?yōu)橐粋€合作者，要使小組合作真正富有成效，教師除了適時的組織、引導(dǎo)外，還必須置身于學習小組中，參與到學生中間去，在內(nèi)容、時間、學生的情緒等方面，適時進行調(diào)控，以達到相互學習，相互提高的目的。在這個過程中，教師始終都要采用一種友好的、平等的、建設(shè)性的態(tài)度和行為，既不能過多地干涉學生的學習過程，又不能對學有困難的學生袖手旁觀，要交給學生一些探索、發(fā)現(xiàn)的方法，讓學生學會探索，學會發(fā)現(xiàn)，不斷引發(fā)學生的思維碰撞，把學生的探索引向縱深處。
（四）組織開展長期有效的實踐活動——合作學習的補充和延伸
1、充分認識合作學習能力的培養(yǎng)是一個長期的過程。合作學習能力的培養(yǎng)與其它技能的獲得一樣，需要師生堅持不懈的時間與努力，同時，合作能力與一個民族的性格密切相關(guān)，適當改變一個人的性格以適應(yīng)合作學習的需要，應(yīng)從小學低段開始，進行有意識的培養(yǎng)。在實踐中，可以“小步子”原則為基礎(chǔ)，從兩人合作起步，逐漸增加合作參與人數(shù)，教師對取得較好成績或有明顯進步的小組要及時的表揚和鼓勵，提高他們的信心。
2、充分發(fā)揮實踐活動的諸多優(yōu)勢，使合作能力在課外也能得到聯(lián)系和提高。實踐活動給學生提供了一個自由開放的空間，同時，在學習時間、學習目標、學習內(nèi)容、教學評價等方面實現(xiàn)了較大的開放，使學生的心態(tài)相對放松，有利于他們發(fā)揮最大限度的潛能。學生在活動中相互啟發(fā)、相互促進，對那些平時比較膽小的學生來說，是一個很好的發(fā)言機會；另一方面，對有能力的學生可以充分發(fā)揮他們的帶動性。這樣，可以使一些學生組成一個學習整體，同學們在這個集體中積極參與、相互協(xié)作，若能長時間的堅持，定會對自主探究、合作學習的課堂模式的形成提供良好的借鑒。
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小學和初中數(shù)學公式表篇二
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小學至初中數(shù)學所有公式
1、每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù) 總數(shù)÷每份數(shù)＝份數(shù)總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù)2、1倍數(shù)×倍數(shù)＝幾倍數(shù) 幾倍數(shù)÷1倍數(shù)＝倍數(shù)幾倍數(shù)÷倍數(shù)＝1倍數(shù)
3、速度×時間＝路程 路程÷速度＝時間 路程÷時間＝速度
4、單價×數(shù)量＝總價 總價÷單價＝數(shù)量 總價÷數(shù)量＝單價
5、工作效率×工作時間＝工作總量 工作總量÷工作效率＝工作時間工作總量÷工作時間＝工作效率
6、加數(shù)＋加數(shù)＝和 和－一個加數(shù)＝另一個加數(shù)
7、被減數(shù)－減數(shù)＝差 被減數(shù)－差＝減數(shù) 差＋減數(shù)＝被減數(shù)
8、因數(shù)×因數(shù)＝積 積÷一個因數(shù)＝另一個因數(shù)
9、被除數(shù)÷除數(shù)＝商 被除數(shù)÷商＝除數(shù) 商×除數(shù)＝被除數(shù) 小學數(shù)學圖形計算公式、正方形 c周長 s面積 a邊長 周長＝邊長×4 c=4a 面積=邊長×邊長 s=a×a 2、正方體 v:體積 a:棱長 表面積=棱長×棱長×6 s表=a×a×6 體積=棱長×棱長×棱長 v=a×a×a 3、長方形
c周長 s面積 a邊長
周長=(長+寬)×2 c=2(a+b)面積=長×寬 s=ab 4、長方體
v:體積 s:面積 a:長 b: 寬 h:高
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(1)表面積(長×寬+長×高+寬×高)×2 s=2(ab+ah+bh)(2)體積=長×寬×高 v=abh 5 三角形 s面積 a底 h高
面積=底×高÷2 s=ah÷2
三角形高=面積 ×2÷底 三角形底=面積 ×2÷高 6平行四邊形 s面積 a底 h高 面積=底×高 s=ah 7 梯形
s面積 a上底 b下底 h高
面積=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圓形
s面積 c周長 ∏ d=直徑 r=半徑
(1)周長=直徑×∏=2×∏×半徑 c=∏d=2∏r(2)面積=半徑×半徑×∏ 9 圓柱體
v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑 c:底面周長(1)側(cè)面積=底面周長×高(2)表面積=側(cè)面積+底面積×2(3)體積=底面積×高
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（4）體積＝側(cè)面積÷2×半徑 10 圓錐體
v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑 體積=底面積×高÷3 總數(shù)÷總份數(shù)＝平均數(shù) 和差問題的公式(和＋差)÷2＝大數(shù)(和－差)÷2＝小數(shù) 和倍問題
和÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù)
小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或者 和－小數(shù)＝大數(shù))差倍問題
差÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù)
小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或 小數(shù)＋差＝大數(shù))植樹問題 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形: ⑴如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么: 株數(shù)＝段數(shù)＋1＝全長÷株距－1 全長＝株距×(株數(shù)－1)株距＝全長÷(株數(shù)－1)⑵如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那么: 江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)— 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)，致力于為家長提供放心暑期家教！江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班
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株數(shù)＝段數(shù)＝全長÷株距 全長＝株距×株數(shù) 株距＝全長÷株數(shù) ⑶如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么: 株數(shù)＝段數(shù)－1＝全長÷株距－1 全長＝株距×(株數(shù)＋1)株距＝全長÷(株數(shù)＋1)2 封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關(guān)系如下
株數(shù)＝段數(shù)＝全長÷株距 全長＝株距×株數(shù) 株距＝全長÷株數(shù) 盈虧問題
(盈＋虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)(大盈－小盈)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)(大虧－小虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù) 相遇問題
相遇路程＝速度和×相遇時間 相遇時間＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇時間 追及問題
追及距離＝速度差×追及時間 追及時間＝追及距離÷速度差 速度差＝追及距離÷追及時間 流水問題
順流速度＝靜水速度＋水流速度 逆流速度＝靜水速度－水流速度 靜水速度＝(順流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(順流速度－逆流速度)÷2 濃度問題
溶質(zhì)的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量 溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%＝濃度 溶液的重量×濃度＝溶質(zhì)的重量 溶質(zhì)的重量÷濃度＝溶液的重量
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利潤與折扣問題
利潤＝售出價－成本 利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售出價÷成本－1)×100% 漲跌金額＝本金×漲跌百分比 折扣＝實際售價÷原售價×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×時間 稅后利息＝本金×利率×時間×(1－20%)長度單位換算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面積單位換算
1平方千米=100公頃 1 公頃=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 體(容)積單位換算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升 重量單位換算
1噸=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民幣單位換算
1元=10角 1角=10分 1元=100分 時間單位換算
1世紀=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)的有:46911月平年2月28天, 閏年2月29天
平年全年365天, 閏年全年366天 1日=24小時 1時=60分 1分=60秒 1時=3600秒 小學數(shù)學幾何形體周長 面積 體積計算公式
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1、長方形的周長=（長+寬）×2 c=(a+b)×2
2、正方形的周長=邊長×4 c=4a
3、長方形的面積=長×寬 s=ab
4、正方形的面積=邊長×邊長 s=a.a= a
5、三角形的面積=底×高÷2 s=ah÷2
6、平行四邊形的面積=底×高 s=ah
7、梯形的面積=（上底+下底）×高÷2 s=（a＋b）h÷2
8、直徑=半徑×2 d=2r 半徑=直徑÷2 r= d÷2
9、圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2 c=πd =2πr
10、圓的面積=圓周率×半徑×半徑 常見的初中數(shù)學公式 1 過兩點有且只有一條直線 2 兩點之間線段最短 3 同角或等角的補角相等 4 同角或等角的余角相等 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短 7平行公理 經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行 8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行 9 同位角相等，兩直線平行 10 內(nèi)錯角相等，兩直線平行
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22邊角邊公理(sas)有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 23 角邊角公理(asa)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 24 推論(aas)有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 25 邊邊邊公理(sss)有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 斜邊、直角邊公理(hl)有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 27 定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 28 定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上 29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合 等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角）31 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
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等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合 33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°
等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）
推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形
推論 2 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半
定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上 41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合 42 定理1 關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形
定理 2 如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線 44定理3 兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上
45逆定理 如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱
46勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a^2+b^2=c^2，那么這個三角形是直角三角形
48定理 四邊形的內(nèi)角和等于360°
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49四邊形的外角和等于360°
50多邊形內(nèi)角和定理 n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180° 51推論 任意多邊的外角和等于360°
52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等 53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等 54推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分
56平行四邊形判定定理1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 57平行四邊形判定定理2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 58平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 59平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形 60矩形性質(zhì)定理1 矩形的四個角都是直角 61矩形性質(zhì)定理2 矩形的對角線相等
62矩形判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形 63矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形 64菱形性質(zhì)定理1 菱形的四條邊都相等
65菱形性質(zhì)定理2 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角 66菱形面積=對角線乘積的一半，即s=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形 68菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 69正方形性質(zhì)定理1 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等
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70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
71定理1 關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的
72定理2 關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分 73逆定理 如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱
74等腰梯形性質(zhì)定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等 75等腰梯形的兩條對角線相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形 77對角線相等的梯形是等腰梯形
78平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等
推論1 經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰 80 推論2 經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊 81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半
梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l×h 83(1)比例的基本性質(zhì) 如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d 84(2)合比性質(zhì) 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85(3)等比性質(zhì) 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例
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推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例 88 定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊
平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例
定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似
相似三角形判定定理1 兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（asa）92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（sas）94 判定定理3 三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（sss）
定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似
性質(zhì)定理1 相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比 97 性質(zhì)定理2 相似三角形周長的比等于相似比 98 性質(zhì)定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方
任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值 100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值 101圓是定點的距離等于定長的點的集合
102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合 103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合
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104同圓或等圓的半徑相等
105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓 106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線 107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線
108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線 109定理 不在同一直線上的三點確定一個圓。
110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧
111推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 ②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等
115推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等
116定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
117推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等 118推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑 119推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形 120定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角
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121①直線l和⊙o相交 d＜r ②直線l和⊙o相切 d=r ③直線l和⊙o相離 d＞r 122切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 123切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑 124推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點 125推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心
126切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角
129推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等 130相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等
131推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項 132切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項
133推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 134如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上 135①兩圓外離 d＞r+r ②兩圓外切 d=r+r ③兩圓相交 r-r＜d＜r+r(r＞r)④兩圓內(nèi)切 d=r-r(r＞r)⑤兩圓內(nèi)含d＜r-r(r＞r)江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)— 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)，致力于為家長提供放心暑期家教！江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班
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136定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦 137定理 把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形
⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形 138定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓 139正n邊形的每個內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n 140定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形 141正n邊形的面積sn=pnrn／2 p表示正n邊形的周長 142正三角形面積√3a／4 a表示邊長
143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4 144弧長計算公式：l=n兀r／180 145扇形面積公式：s扇形=n兀r^2／360=lr／2 146內(nèi)公切線長= d-(r-r)外公切線長= d-(r+r)（還有一些，大家?guī)脱a充吧）實用工具:常用數(shù)學公式 公式分類 公式表達式
乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a 江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)— 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)，致力于為家長提供放心暑期家教！江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班
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根與系數(shù)的關(guān)系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韋達定理 判別式
b2-4ac=0 注：方程有兩個相等的實根 b2-4ac>0 注：方程有兩個不等的實根 b2-4ac<0 注：方程沒有實根，有共軛復(fù)數(shù)根 三角函數(shù)公式 兩角和公式
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)倍角公式
tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式
sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)
tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))和差化積
2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)— 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)，致力于為家長提供放心暑期家教！江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班
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2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2 cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 某些數(shù)列前n項和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r 注： 其中 r 表示三角形的外接圓半徑 余弦定理 b2=a2+c2-2accosb 注：角b是邊a和邊c的夾角 圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標 圓的一般方程 x2+y2+dx+ey+f=0 注：d2+e2-4f>0 拋物線標準方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱側(cè)面積 s=c*h 斜棱柱側(cè)面積 s=c'*h 正棱錐側(cè)面積 s=1/2c*h' 正棱臺側(cè)面積 s=1/2(c+c')h' 圓臺側(cè)面積 s=1/2(c+c')l=pi(r+r)l 球的表面積 s=4pi*r2 圓柱側(cè)面積 s=c*h=2pi*h 圓錐側(cè)面積 s=1/2*c*l=pi*r*l 弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r 錐體體積公式 v=1/3*s*h 圓錐體體積公式 v=1/3*pi*r2h 江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)— 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)，致力于為家長提供放心暑期家教！江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班
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斜棱柱體積 v=s'l 注：其中,s'是直截面面積，l是側(cè)棱長 柱體體積公式 v=s*h 圓柱體 v=pi*r2h 江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)— 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)，致力于為家長提供放心暑期家教！
小學和初中數(shù)學公式表篇三
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小升初數(shù)學總復(fù)習資料歸納
常用的數(shù)量關(guān)系式
1、每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù) 總數(shù)÷每份數(shù)＝份數(shù) 總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù) 2、1倍數(shù)×倍數(shù)＝幾倍數(shù) 幾倍數(shù)÷1倍數(shù)＝倍數(shù) 幾倍數(shù)÷倍數(shù)＝1倍數(shù)
3、速度×時間＝路程 路程÷速度＝時間 路程÷時間＝速度
4、單價×數(shù)量＝總價 總價÷單價＝數(shù)量 總價÷數(shù)量＝單價
5、工作效率×工作時間＝工作總量 工作總量÷工作效率＝工作時間 工作總量÷工作時間＝工作效率
6、加數(shù)＋加數(shù)＝和 和－一個加數(shù)＝另一個加數(shù)
7、被減數(shù)－減數(shù)＝差 被減數(shù)－差＝減數(shù) 差＋減數(shù)＝被減數(shù)
8、因數(shù)×因數(shù)＝積 積÷一個因數(shù)＝另一個因數(shù)
9、被除數(shù)÷除數(shù)＝商 被除數(shù)÷商＝除數(shù) 商×除數(shù)＝被除數(shù)
小學數(shù)學圖形計算公式
1、正方形（c：周長 s：面積 a：邊長）
周長＝邊長×4 c=4a 面積=邊長×邊長 s=a×a
2、正方體（v:體積 a:棱長）
表面積=棱長×棱長×6 s表=a×a×6 體積=棱長×棱長×棱長 v=a×a×a
3、長方形（c：周長 s：面積 a：邊長）
周長=(長+寬)×2 c=2(a+b)面積=長×寬 s=ab
4、長方體（v:體積 s:面積 a:長 b: 寬 h:高）(1)表面積(長×寬+長×高+寬×高)×2 s=2(ab+ah+bh)(2)體積=長×寬×高 v=abh
5、三角形（s：面積 a：底 h：高）
面積=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面積 ×2÷底 三角形底=面積 ×2÷高
6、平行四邊形（s：面積 a：底 h：高）
面積=底×高 s=ah
7、梯形（s：面積 a：上底 b：下底 h：高）
面積=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
8、圓形（s：面積 c：周長 л d=直徑 r=半徑）
(1)周長=直徑×л=2×л×半徑 c=лd=2лr(2)面積=半徑×半徑×л
9、圓柱體（v:體積 h:高 s：底面積 r:底面半徑 c:底面周長）
(1)側(cè)面積=底面周長×高=ch(2лr或лd)(2)表面積=側(cè)面積+底面積×2(3)體積=底面積×高（4）體積＝側(cè)面積÷2×半徑
10、圓錐體（v:體積 h:高 s：底面積 r:底面半徑）
體積=底面積×高÷3
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11、總數(shù)÷總份數(shù)＝平均數(shù)
12、和差問題的公式
(和＋差)÷2＝大數(shù)(和－差)÷2＝小數(shù)
13、和倍問題
和÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或者 和－小數(shù)＝大數(shù))
14、差倍問題
差÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或 小數(shù)＋差＝大數(shù))
15、相遇問題
相遇路程＝速度和×相遇時間 相遇時間＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇時間
16、濃度問題
溶質(zhì)的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量 溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%＝濃度 溶液的重量×濃度＝溶質(zhì)的重量 溶質(zhì)的重量÷濃度＝溶液的重量
17、利潤與折扣問題
利潤＝售出價－成本
利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售出價÷成本－1)×100% 漲跌金額＝本金×漲跌百分比 利息＝本金×利率×時間
稅后利息＝本金×利率×時間×(1－20%)
常用單位換算
長度單位換算
1千米=1000米 1米=10分米
1分米=10厘米 1米=100厘米
1厘米=10毫米
面積單位換算
1平方千米=100公頃
1公頃=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
體(容)積單位換算
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
1立方米=1000升
重量單位換算
1噸=1000 千克
1千克=1000克
1千克=1公斤
人民幣單位換算
1元=10角
1角=10分
1元=100分
時間單位換算
1世紀=100年
1年=12月
大月(31天)有:135781012月
小月(30天)的有:46911月
平年2月28天, 閏年2月29天
平年全年365天, 閏年全年366天
1日=24小時
1時=60分
1分=60秒
1時=3600秒
基本概念
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第一章 數(shù)和數(shù)的運算
一
概念
（一）整數(shù)整數(shù)的意義
自然數(shù)和0都是整數(shù)。
自然數(shù)
我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1，2，3??叫做自然數(shù)。
一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。
3計數(shù)單位
一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億??都是計數(shù)單位。
每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。這樣的計數(shù)法叫做十進制計數(shù)法。
數(shù)位
計數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。
5數(shù)的整除
整數(shù)a除以整數(shù)b(b ≠ 0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。
如果數(shù)a能被數(shù)b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。
因為35能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。
一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的 約數(shù)是它本身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是10。
一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12??其中最小的倍數(shù)是3，沒有最大的倍數(shù)。
個位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
個位上是0或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
一個數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一個數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除。
能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。
一個數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
一個數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個數(shù)就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。
不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。
0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。
一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如 4、6、8、9、12都是合數(shù)。
1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。如果把自然數(shù)按其約數(shù)的個數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。
每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合昆明奧數(shù)培訓中心 http:// 專業(yè)奧數(shù)學習資源，完全免費，無須注冊！
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數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3×5，3和5 叫做15的質(zhì)因數(shù)。
把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。
例如把28分解質(zhì)因數(shù)
幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)，例如12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公約數(shù)，6是它們的最大公約數(shù)。
公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)，有下列幾種情況：
1和任何自然數(shù)互質(zhì)。
相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。
兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。
當合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。
兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)，如果幾個數(shù)中任意兩個都互質(zhì)，就說這幾個數(shù)兩兩互質(zhì)。
如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。
如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。
幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18 ??
3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18 ?? 其中6、12、18??是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。
如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。
幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。
（二）小數(shù)小數(shù)的意義
把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份?? 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾?? 可以用小數(shù)表示。
一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾??
一個小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點部分組成。數(shù)中的圓點叫做小數(shù)點，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。
在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。小數(shù)部分的最高分數(shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進率也是10。
2小數(shù)的分類
純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如： 0.25、0.368 都是純小數(shù)。
帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如： 3.25、5.26 都是帶小數(shù)。
有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例如： 41.7、25.3、0.23 都是有限小數(shù)。
無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。例如： 4.33 ?? 3.1415926 ??
無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：∏
循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如： 3.555 ?? 0.0333 ?? 12.109109 ??
一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如： 3.99 ??的循環(huán)節(jié)是“ 9 ”，0.5454 ??的循環(huán)節(jié)是“ 54 ”。
純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如： 3.111 ??
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0.5656 ??
混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。3.1222 ?? 0.03333 ??
寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點一個圓點。如果循環(huán) 節(jié)只有 一個數(shù)字，就只在它的上面點一個點。例如： 3.777 ?? 簡寫作
0.5302302 ?? 簡寫作。
（三）分數(shù)分數(shù)的意義
把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分數(shù)。
在分數(shù)里，中間的橫線叫做分數(shù)線；分數(shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份；分數(shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。
把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分數(shù)單位。
分數(shù)的分類
真分數(shù)：分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)小于1。
假分數(shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù)，叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于或等于1。
帶分數(shù)：假分數(shù)可以寫成整數(shù)與真分數(shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分數(shù)。
約分和通分
把一個分數(shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數(shù)，叫做約分。
分子分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù)，叫做最簡分數(shù)。
把異分母分數(shù)分別化成和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)，叫做通分。
（四）百分數(shù) 表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分數(shù),也叫做百分率 或百分比。百分數(shù)通常用“%”來表示。百分號是表示百分數(shù)的符號。
二
方法
（一）數(shù)的讀法和寫法
1.整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在后面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個0都只讀一個零。
2.整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數(shù)位上一個單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫0。
3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點讀作“點”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。
4.小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。
5.分數(shù)的讀法：讀分數(shù)時，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。
6.分數(shù)的寫法：先寫分數(shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的寫法來寫。
7.百分數(shù)的讀法：讀百分數(shù)時，先讀百分之，再讀百分號前面的數(shù)，讀數(shù)時按照整數(shù)的讀法來讀。
8.百分數(shù)的寫法：百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。
（二）數(shù)的改寫
一個較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時還昆明奧數(shù)培訓中心 http:// 專業(yè)奧數(shù)學習資源，完全免費，無須注冊！
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可以根據(jù)需要，省略這個數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。
1.準確數(shù)：在實際生活中，為了計數(shù)的簡便，可以把一個較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準確數(shù)。例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數(shù)是 125430 萬；改寫成 以億做單位 的數(shù) 12.543 億。
2.近似數(shù)：根據(jù)實際需要，我們還可以把一個較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個近似數(shù)來表示。例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。
3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4 或者比4小，就把尾數(shù)去掉；如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進1。例如：省略 345900 萬后面的尾數(shù)約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億。
4.大小比較
1.比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個數(shù)就大，如果位數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個數(shù)就大。
2.比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，整數(shù)部分大的那個數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大；十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大??
3.比較分數(shù)的大小:分母相同的分數(shù)，分子大的分數(shù)比較大；分子相同的數(shù)，分母小的分數(shù)大。分數(shù)的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個數(shù)的大小。
（三）數(shù)的互化
1.小數(shù)化成分數(shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個零作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分子，能約分的要約分。
2.分數(shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。
3.一個最簡分數(shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5 以外的質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。
4.小數(shù)化成百分數(shù)：只要把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。
5.百分數(shù)化成小數(shù)：把百分數(shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉，同時把小數(shù)點向左移動兩位。
6.分數(shù)化成百分數(shù)：通常先把分數(shù)化成小數(shù)（除不盡時，通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分數(shù)。
7.百分數(shù)化成小數(shù)：先把百分數(shù)改寫成分數(shù)，能約分的要約成最簡分數(shù)。
（四）數(shù)的整除
1.把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。
2.求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的的最大公約數(shù)。
3.求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)（或其中的部分數(shù)）的公約數(shù)去除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
4.成為互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì) ； 相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)；
當合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)； 兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)。
（五）約分和通分
約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分數(shù)為止。
通分的方法：先求出原來的幾個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分數(shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分數(shù)。
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三
性質(zhì)和規(guī)律
（一）商不變的規(guī)律
商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或者同時縮小相同的倍，商不變。
（二）小數(shù)的性質(zhì)
小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。
（三）小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化
1.小數(shù)點向右移動一位，原來的數(shù)就擴大10倍；小數(shù)點向右移動兩位，原來的數(shù)就擴大100倍；小數(shù)點向右移動三位，原來的數(shù)就擴大1000倍??
2.小數(shù)點向左移動一位，原來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點向左移動兩位，原來的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點向左移動三位，原來的數(shù)就縮小1000倍??
3.小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用“0"補足位。
（四）分數(shù)的基本性質(zhì)
分數(shù)的基本性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），分數(shù)的大小不變。
（五）分數(shù)與除法的關(guān)系
1.被除數(shù)÷除數(shù)= 被除數(shù)/除數(shù)
2.因為零不能作除數(shù)，所以分數(shù)的分母不能為零。
3.被除數(shù) 相當于分子，除數(shù)相當于分母。
四
運算的意義
（一）整數(shù)四則運算
1整數(shù)加法：
把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法。
在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分數(shù)，和是總數(shù)。
加數(shù)+加數(shù)=和
一個加數(shù)=和－另一個加數(shù)
2整數(shù)減法：
已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫做減法。
在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分數(shù)。
加法和減法互為逆運算。
3整數(shù)乘法：
求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算叫做乘法。
在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。
在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0.1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。
一個因數(shù)× 一個因數(shù) =積
一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù)
整數(shù)除法：
已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算叫做除法。
在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。
乘法和除法互為逆運算。
在除法里，0不能做除數(shù)。因為0和任何數(shù)相乘都得0，所以任何一個數(shù)除以0，均得不到一個確定的商。
被除數(shù)÷除數(shù)=商
除數(shù)=被除數(shù)÷商
被除數(shù)=商×除數(shù)
（二）小數(shù)四則運算
1.小數(shù)加法：
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小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。
2.小數(shù)減法：
小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算.3.小數(shù)乘法：
小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算；一個數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾??是多少。
4.小數(shù)除法：
小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。
5.乘方:
求幾個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方。例如 3 × 3 =32
（三）分數(shù)四則運算
1.分數(shù)加法：
分數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。
2.分數(shù)減法：
分數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。
3.分數(shù)乘法：
分數(shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算。
4.乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。
5.分數(shù)除法：
分數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。
（四）運算定律
1.加法交換律：
兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a。
2.加法結(jié)合律：
三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再和第一個數(shù)相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c)。
3.乘法交換律：
兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即a×b=b×a。
4.乘法結(jié)合律：
三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相乘，再和第一個數(shù)相乘，它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c)。5.乘法分配律：
兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘再把兩個積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c。
6.減法的性質(zhì)：
從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù)，可以從這個數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c)。
（五）運算法則
1.整數(shù)加法計算法則：
相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進一。
2.整數(shù)減法計算法則：
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相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。
3.整數(shù)乘法計算法則：
先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來。
4.整數(shù)除法計算法則：
先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位； 如果不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。
5.小數(shù)乘法法則：
先按照整數(shù)乘法的計算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點；如果位數(shù)不夠，就用“0”補足。
6.除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計算法則：
先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”，再繼續(xù)除。
7.除數(shù)是小數(shù)的除法計算法則：
先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點也向右移動幾位（位數(shù)不夠的補“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進行計算。
8.同分母分數(shù)加減法計算方法: 同分母分數(shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。
9.異分母分數(shù)加減法計算方法: 先通分，然后按照同分母分數(shù)加減法的的法則進行計算。
10.帶分數(shù)加減法的計算方法: 整數(shù)部分和分數(shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。
11.分數(shù)乘法的計算法則: 分數(shù)乘整數(shù)，用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分數(shù)乘分數(shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。
12.分數(shù)除法的計算法則: 甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。
（六）運算順序
1.小數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同。
2.分數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同。
3.沒有括號的混合運算: 同級運算從左往右依次運算；兩級運算 先算乘、除法，后算加減法。
4.有括號的混合運算: 先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。
5.第一級運算：
加法和減法叫做第一級運算。
6.第二級運算：
乘法和除法叫做第二級運算。
五
應(yīng)用
（一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用簡單應(yīng)用題
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（1）簡單應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運算解答的應(yīng)用題，通常叫做簡單應(yīng)用題。
（2）解題步驟：
a 審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問題，幫助理解題意。
b選擇算法和列式計算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么，要求什么著手，逐步根據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)系四則運算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進行解答并標明正確的單位名稱。
c檢驗：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進行檢查看所列算式和計算過程是否正確，是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯誤，馬上改正。復(fù)合應(yīng)用題
（1）有兩個或兩個以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上運算解答的應(yīng)用題，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題。
（2）含有三個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。
求比兩個數(shù)的和多（少）幾個數(shù)的應(yīng)用題。
比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。
（3）含有兩個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。
已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)的和（或差）。
已知兩數(shù)之和與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）。
（4）解答連乘連除應(yīng)用題。
（5）解答三步計算的應(yīng)用題。
（6）解答小數(shù)計算的應(yīng)用題：小數(shù)計算的加法、減法、乘法和除法的應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。d答案：根據(jù)計算的結(jié)果，先口答，逐步過渡到筆答。
(3)解答加法應(yīng)用題：
a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。
b求比一個數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。
(4)解答減法應(yīng)用題：
a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。
-b求兩個數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。
c求比一個數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。
(5)解答乘法應(yīng)用題：
a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)，求總數(shù)。
b求一個數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個數(shù)是多少，另一個數(shù)是它的幾倍，求另一個數(shù)是多少。
(6)解答除法應(yīng)用題：
a把一個數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個數(shù)和把這個數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少。
b求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)的應(yīng)用題：已知一個數(shù)和每份是多少，求可以分成幾份。
c 求一個數(shù)是另一個數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。
d已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)的應(yīng)用題。
（7）常見的數(shù)量關(guān)系：
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總價= 單價×數(shù)量
路程= 速度×時間
工作總量=工作時間×工效
總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量
3典型應(yīng)用題
具有獨特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，通常叫做典型應(yīng)用題。
（1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。
解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對應(yīng)的總份數(shù)。
算術(shù)平均數(shù)：已知幾個不相等的同類量和與之相對應(yīng)的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。
加權(quán)平均數(shù)：已知兩個以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。
數(shù)量關(guān)系式（部分平均數(shù)×權(quán)數(shù)）的總和÷（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。
差額平均數(shù)：是把各個大于或小于標準數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是標準數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。
數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)－小數(shù)）÷2=小數(shù)應(yīng)得數(shù)
最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)
最大數(shù)與個數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。
例：一輛汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小時 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。
分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“ 1 ”，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”，從甲地到乙地的速度為 100，所用的時間為，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米，所用的時間是，汽車共行的時間為
+ = , 汽車的平均速度為 2 ÷
=75（千米）
（2）歸一問題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。
根據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。
根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。
一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一?！?/p>
兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一?！?/p>
正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結(jié)果的歸一問題。
反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結(jié)果的歸一問題。
解題關(guān)鍵：從已知的一組對應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量），然后以它為標準，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果。
數(shù)量關(guān)系式：單一量×份數(shù)=總數(shù)量（正歸一）
總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一）
例 一個織布工人，在七月份織布 4774 米，照這樣計算，織布 6930 米，需要多少天？
分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。693 0 ÷（477 4 ÷ 31）=45（天）
（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個數(shù)（或單位數(shù)量）。
特點：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。
數(shù)量關(guān)系式：單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一個單位數(shù)量 = 另一個單位數(shù)量
單位數(shù)量×昆明奧數(shù)培訓中心 http:// 專業(yè)奧數(shù)學習資源，完全免費，無須注冊！
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單位個數(shù)÷另一個單位數(shù)量= 另一個單位數(shù)量。
例 修一條水渠，原計劃每天修 800 米，6 天修完。實際 4 天修完，每天修了多少米？
分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。80 0 × 6 ÷ 4=1200（米）
（4）和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問題。
解題關(guān)鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個大數(shù)的和（或兩個小數(shù)的和），然后再求另一個數(shù)。
解題規(guī)律：（和＋差）÷2 = 大數(shù)
大數(shù)－差=小數(shù)
（和－差）÷2=小數(shù)
和－小數(shù)= 大數(shù)
例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時從乙班調(diào) 46 人到甲班工作，這時乙班比甲班人數(shù)少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少人？
分析：從乙班調(diào) 46 人到甲班，對于總數(shù)沒有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成 2 個乙班，即 9 4 － 12，由此得到現(xiàn)在的乙班是（9 4 － 12）÷ 2=41（人），乙班在調(diào)出 46 人之前應(yīng)該為 41+46=87（人），甲班為 9 4 － 87=7（人）
（5）和倍問題：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù) 關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。
解題關(guān)鍵：找準標準數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標準數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標準的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個數(shù)（也可能是幾個數(shù)）與標準數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求另一個數(shù)（或幾個數(shù)）的數(shù)量。
解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標準數(shù)
標準數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù)
例:汽車運輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？
分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（5+1）倍對應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（115-7）輛。
列式為（115-7）÷（5+1）=18（輛），18 × 5+7=97（輛）
（6）差倍問題：已知兩個數(shù)的差，及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題。
解題規(guī)律：兩個數(shù)的差÷（倍數(shù)－1）= 標準數(shù)
標準數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù)。
例 甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米，乙繩長 29 米，兩根繩剪去同樣的長度，結(jié)果甲所剩的長度是乙繩 長的 3 倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？ 各減去多少米？
分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實比乙繩多（3-1）倍，以乙繩的長度為標準數(shù)。列式（63-29）÷（3-1）=17（米）?乙繩剩下的長度，17 × 3=51（米）?甲繩剩下的長度，29-17=12（米）?剪去的長度。
（7）行程問題：關(guān)于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關(guān)系，再根據(jù)這類問題的規(guī)律解答。
解題關(guān)鍵及規(guī)律：
同時同地相背而行：路程=速度和×時間。
同時相向而行：相遇時間=速度和×時間
同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時間=路程速度差。
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同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×時間。
例 甲在乙的后面 28 千米，兩人同時同向而行，甲每小時行 16 千米，乙每小時行 9 千米，甲幾小時追上乙？
分析：甲每小時比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小時可以追近乙（16-9）千米，這是速度差。
已知甲在乙的后面 28 千米（追擊路程），28 千米 里包含著幾個（16-9）千米，也就是追擊所需要的時間。列式 2 8 ÷（16-9）=4（小時）
（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。
船速：船在靜水中航行的速度。
水速：水流動的速度。
順水速度：船順流航行的速度。
逆水速度：船逆流航行的速度。
順速=船速＋水速
逆速=船速－水速
解題關(guān)鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差問題解答。解題時要以水流為線索。
解題規(guī)律：船行速度=（順水速度+ 逆流速度）÷2 流水速度=（順流速度逆流速度）÷2 路程=順流速度× 順流航行所需時間
路程=逆流速度×逆流航行所需時間
例 一只輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行 28 千米，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比順水多行 2 小時，已知水速每小時 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米？
分析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流 速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水比逆水少用 2 小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為 284 × 2=20（千米）2 0 × 2 =40（千米）40 ÷（4 × 2）=5（小時）28 × 5=140（千米）。
（9）還原問題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過一定的四則運算后所得的結(jié)果，求這個未知數(shù)的應(yīng)用題，我們叫做還原問題。
解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。
解題規(guī)律：從最后結(jié)果 出發(fā)，采用與原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。
根據(jù)原題的運算順序列出數(shù)量關(guān)系，然后采用逆運算的方法計算推導(dǎo)出原數(shù)。
解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時別忘記寫括號。
例 某小學三年級四個班共有學生 168 人，如果四班調(diào) 3 人到三班，三班調(diào) 6 人到二班，二班調(diào) 6 人到一班，一班調(diào) 2 人到四班，則四個班的人數(shù)相等，四個班原有學生多少人？
分析：當四個班人數(shù)相等時，應(yīng)為 168 ÷ 4，以四班為例，它調(diào)給三班 3 人，又從一班調(diào)入 2 人，所以四班原有的人數(shù)減去 3 再加上 2 等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-2+3=43（人）
一班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+2=38（人）；二班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+6=42（人）三班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-3+6=45（人）。
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（10）植樹問題：這類應(yīng)用題是以“植樹”為內(nèi)容。凡是研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹問題。
解題關(guān)鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進行計算。
解題規(guī)律：沿線段植樹
棵樹=段數(shù)+1
棵樹=總路程÷株距+1
株距=總路程÷（棵樹-1）
總路程=株距×（棵樹-1）
沿周長植樹
棵樹=總路程÷株距
株距=總路程÷棵樹
總路程=株距×棵樹
例 沿公路一旁埋電線桿 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米。后來全部改裝，只埋了201 根。求改裝后每相鄰兩根的間距。
分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為 50 ×（301-1）÷（201-1）=75（米）
（11）盈虧問題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。他的特點是把一定數(shù)量的物品，平均分配給一定數(shù)量的人，在兩次分配中，一次有余，一次不足（或兩次都有余），或兩次都不足），已知所余和不足的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。
解題關(guān)鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除后一個差，就得到分配者的數(shù)，進而再求得物品數(shù)。
解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù)
總差額的求法可以分為以下四種情況：
第一次多余，第二次不足，總差額=多余+ 不足
第一次正好，第二次多余或不足，總差額=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足，總差額= 大不足-小不足
例 參加美術(shù)小組的同學，每個人分的相同的支數(shù)的色筆，如果小組 10 人，則多 25 支，如果小組有 12 人，色筆多余 5 支。求每人 分得幾支？共有多少支色鉛筆？
分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有 12 人，比 10 人多 2 人，而色筆多出了（25-5）=20 支，2 個人多出 20 支，一個人分得 10 支。列式為（25-5）÷（12-10）=10（支）10 × 12+5=125（支）。
（12）年齡問題：將差為一定值的兩個數(shù)作為題中的一個條件，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問題”。
解題關(guān)鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，主要特點是隨著時間的變化，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善于利用差不變的特點。
例 父親 48 歲，兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？
分析：父子的年齡差為 48-21=27（歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是（4-1）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。列式為： 21（48-21）÷（4-1）=12（年）
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（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應(yīng)用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題
解題關(guān)鍵：解答雞兔問題一般采用假設(shè)法，假設(shè)全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”，然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。
解題規(guī)律：（總腿數(shù)－雞腿數(shù)×總頭數(shù)）÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù)
兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2×總頭數(shù)）÷2
如果假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子：
雞的只數(shù)=（4×總頭數(shù)-總腿數(shù)）÷2 兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)
例 雞兔同籠共 50 個頭，170 條腿。問雞兔各有多少只？
兔子只數(shù)（170-2 × 50）÷ 2 =35（只）
雞的只數(shù) 50-35=15（只）
第三章 代數(shù)初步知識
一、用字母表示數(shù) 用字母表示數(shù)的意義和作用
* 用字母表示數(shù)，可以把數(shù)量關(guān)系簡明的表達出來，同時也可以表示運算的結(jié)果。
2用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系、運算定律和性質(zhì)、幾何形體的計算公式
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（1）常見的數(shù)量關(guān)系
路程用s表示，速度v用表示，時間用t表示，三者之間的關(guān)系：
s=vt
v=s/t t=s/v
總價用a表示，單價用b表示，數(shù)量用c表示，三者之間的關(guān)系: a=bc b=a/c c=a/b
（2）運算定律和性質(zhì)
加法交換律：a+b=b+a 加法結(jié)合律：（a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba 乘法結(jié)合律：（ab)c=a(bc)
乘法分配律：（a+b)c=ac+bc 減法的性質(zhì)：a-(b+c)=a-b-c
（3）用字母表示幾何形體的公式
長方形的長用a表示，寬用b表示，周長用c表示，面積用s表示。
c=2(a+b)s=ab
正方形的邊長a用表示，周長用c表示，面積用s表示。
c=4a s=a2
平行四邊形的底a用表示，高用h表示，面積用s表示。
s=ah
三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示。
s=ah/2
梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示，面積用s表示。
s=(a+b)h/2 s=mh
圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長用c表示，面積用s表示。
c=∏d=2∏r s=∏ r2
扇形的半徑用r表示，n表示圓心角的度數(shù)，面積用s表示。
s=∏ nr2/360
長方體的長用a表示，寬用b表示，高用h表示，表面積用s表示，體積用v表示。
v=sh
s=2(ab+ah+bh)v=abh
正方體的棱長用a表示，底面周長c用表示，底面積用s表示，體積用v表示.s=6a2
v=a3
圓柱的高用h表示，底面周長用c表示，底面積用s表示，體積用v表示.s側(cè)=ch
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s表=s側(cè)+2s底
v=sh
圓錐的高用h表示，底面積用s表示，體積用v表示.v=sh/3 用字母表示數(shù)的寫法
數(shù)字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作“.”，或者省略不寫，數(shù)字要寫在字母的前面。
當“1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫。
在一個問題中，同一個字母表示同一個量，不同的量用不同的字母表示。
用含有字母的式子表示問題的答案時，除數(shù)一般寫成分母，如果式子中有加號或者減號，要先用括號把含字母的式子括起來，再在括號后面寫上單位的名稱。
4將數(shù)值代入式子求值
* 把具體的數(shù)代入式子求值時，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式，再把數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫單位名稱。
* 同一個式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不相同。
二、簡易方程
（一）方程和方程的解
1方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。
注意方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可。
方程和算術(shù)式不同。算術(shù)式是一個式子，它由運算符號和已知數(shù)組成，它表示未知數(shù)。方程是一個等式，在方程里的未知數(shù)可以參加運算，并且只有當未知數(shù)為特定的數(shù)值時，方程才成立。方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。
三、解方程
解方程，求方程的解的過程叫做解方程。
四、列方程解應(yīng)用題
列方程解應(yīng)用題的意義
* 用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的方法。
列方程解答應(yīng)用題的步驟
* 弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示；
* 找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系；
* 列方程，解方程；
* 檢查或驗算，寫出答案。
3列方程解應(yīng)用題的方法
* 綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關(guān)系，進而列出方程。這是從部分到整體的一種 思維過程，其思考方向是從已知到未知。
* 分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過程，其思考方向是從未知到已知。
4列方程解應(yīng)用題的范圍
小學范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題：
a一般應(yīng)用題；
b和倍、差倍問題；
c幾何形體的周長、面積、體積計算；
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d 分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題；
e 比和比例應(yīng)用題。
五
比和比例
1比的意義和性質(zhì)
（1）比的意義
兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。
“：”是比號，讀作“比”。比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。
同除法比較，比的前項相當于被除數(shù)，后項相當于除數(shù)，比值相當于商。
比值通常用分數(shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時也可能是整數(shù)。
比的后項不能是零。
根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項相當于分子，后項相當于分母，比值相當于分數(shù)值。
（2）比的性質(zhì)
比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質(zhì)。
（3）
求比值和化簡比
求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結(jié)果是一個數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分數(shù)。
根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡單的整數(shù)比。它的結(jié)果必須是一個最簡比，即前、后項是互質(zhì)的數(shù)。
（4）比例尺
圖上距離：實際距離=比例尺
要求會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離；已知實際距離和比例尺求圖上距離。
線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相對應(yīng)的實際距離。
（5）按比例分配
在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個數(shù)量按照一定的比來進行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。
比例的意義和性質(zhì)
（1）比例的意義
表示兩個比相等的式子叫做比例。
組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。
兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內(nèi)項。
（2）比例的性質(zhì)
在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。
（3）解比例
根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數(shù)比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。
正比例和反比例
（1）成正比例的量
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。
用字母表示y/x=k(一定）
（2）成反比例的量
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積昆明奧數(shù)培訓中心 http:// 專業(yè)奧數(shù)學習資源，完全免費，無須注冊！
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一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。
用字母表示x×y=k(一定)
第四章 幾何的初步知識
一 線和角
（1）線
* 直線
直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫無數(shù)條，過兩點只能畫一條直線。
* 射線
射線只有一個端點；長度無限。
* 線段
線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為最短。
*平行線
在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。
兩條平行線之間的垂線長度都相等。
* 垂線
兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點叫做垂足。
從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。
（2）角
（1）從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。
（2）角的分類
銳角：小于90°的角叫做銳角。
直角：等于90°的角叫做直角。
鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。
平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角180°。
周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重合。周角是360°。
二平面圖形
1長方形
（1）特征
對邊相等，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。
（2）計算公式
c=2(a+b)s=ab 2正方形
（1）特征：
四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。（2）計算公式
c=4a s=a2
3三角形
（1）特征
由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。
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（2）計算公式
s=ah/2
（3）分類
按角分
銳角三角形 ：三個角都是銳角。
直角三角形 ：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為45度，它有一條對稱軸。
鈍角三角形：有一個角是鈍角。
按邊分
不等邊三角形：三條邊長度不相等。
等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。
等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內(nèi)角都是60度；有三條對稱軸。
4平行四邊形
（1）
特征
兩組對邊分別平行的四邊形。
相對的邊平行且相等。對角相等，相鄰的兩個角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形容易變形。
（2）計算公式
s=ah 5 梯形
（1）特征
只有一組對邊平行的四邊形。
中位線等于上下底和的一半。
等腰梯形有一條對稱軸。
（2）公式
s=(a+b)h/2=mh 6 圓
（1）圓的認識
平面上的一種曲線圖形。
圓中心的一點叫做圓心。一般用字母o表示。
半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用r表示。
在同一個圓里，有無數(shù)條半徑，每條半徑的長度都相等。
通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。
同一個圓里有無數(shù)條直徑，所有的直徑都相等。
同一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即d=2r。
圓的大小由半徑?jīng)Q定。圓有無數(shù)條對稱軸。
（2）圓的畫法
把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間的距離（即半徑）；
把有針尖的一只腳固定在一點（即圓心）上；
把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出一個圓。
（3）圓的周長
圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。
把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。
（4）圓的面積
圓所占平面的大小叫做圓的面積。
（5）計算公式
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d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r
s=∏r2
7扇形
（1）
扇形的認識
一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。
圓上ab兩點之間的部分叫做弧，讀作“弧ab”。
頂點在圓心的角叫做圓心角。
在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關(guān)。
扇形有一條對稱軸。
(2)計算公式
s=n∏r2/360 8環(huán)形
(1)特征
由兩個半徑不相等的同心圓相減而成，有無數(shù)條對稱軸。
(2)計算公式
s=∏(r2-r2）
9軸對稱圖形
(1)特征
如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。
正方形有4條對稱軸，長方形有2條對稱軸。
等腰三角形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸。
等腰梯形有一條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。
菱形有4條對稱軸，扇形有一條對稱軸。
三 立體圖形
（一）長方體
特征
六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。
相對的面面積相等，12條棱相對的4條棱長度相等。
有8個頂點。
相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。
兩個面相交的邊叫做棱。
三條棱相交的點叫做頂點。
把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。
長方體或者正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。計算公式
s=2(ab+ah+bh)v=sh v=abh
（二）正方體
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特征
六個面都是正方形
六個面的面積相等
12條棱，棱長都相等
有8個頂點
正方體可以看作特殊的長方體
計算公式
s表=6a2
v=a3
（三）圓柱
1圓柱的認識
圓柱的上下兩個面叫做底面。
圓柱有一個曲面叫做側(cè)面。
圓柱兩個底面之間的距離叫做高。
進一法：實際中，使用的材料都要比計算的結(jié)果多一些，因此，要保留數(shù)的時候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進1。這種取近似值的方法叫做進一法。2計算公式
s側(cè)=ch
s表=s側(cè)+s底×2 v=sh/3
（四）圓錐
圓錐的認識
圓錐的底面是個圓，圓錐的側(cè)面是個曲面。
從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。
測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。
把圓錐的側(cè)面展開得到一個扇形。2計算公式
v= sh/3
（五）球
認識
球的表面是一個曲面，這個曲面叫做球面。
球和圓類似，也有一個球心，用o表示。
從球心到球面上任意一點的線段叫做球的半徑，用r表示，每條半徑都相等。
通過球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用d表示,每條直徑都相等,直徑的長度等于半徑的2倍，即d=2r。
計算公式
-第五章 簡單的統(tǒng)計
一
統(tǒng)計表
（一）意義
* 把統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫在一定格式的表格內(nèi)，用來反映情況、說明問題，這樣的表格就叫做統(tǒng)計表。
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（二）組成部分
* 一般分為表格外和表格內(nèi)兩部分。表格外部分包括標的名稱，單位說明和制表日期；表格內(nèi)部包括表頭、橫標目、縱標目和數(shù)據(jù)四個方面。
（三）種類
* 單式統(tǒng)計表：只含有一個項目的統(tǒng)計表。
* 復(fù)式統(tǒng)計表：含有兩個或兩個以上統(tǒng)計項目的統(tǒng)計表。
* 百分數(shù)統(tǒng)計表：不僅表明各統(tǒng)計項目的具體數(shù)量，而且表明比較量相當于標準量的百分比的統(tǒng)計表。
（四）制作步驟
1搜集數(shù)據(jù)
2整理數(shù)據(jù)：
要根據(jù)制表的目的和統(tǒng)計的內(nèi)容，對數(shù)據(jù)進行分類。
3設(shè)計草表：
要根據(jù)統(tǒng)計的目的和內(nèi)容設(shè)計分欄格內(nèi)容、分欄格畫法，規(guī)定橫欄、豎欄各需幾格，每格長度。正式制表：
把核對過的數(shù)據(jù)填入表中，并根據(jù)制表要求，用簡單、明確的語言寫上統(tǒng)計表的名稱和制表日期。
二
統(tǒng)計圖
（一）意義
* 用點線面積等來表示相關(guān)的量之間的數(shù)量關(guān)系的圖形叫做統(tǒng)計圖。
（二）分類
條形統(tǒng)計圖
用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的直條，然后把這些直線按照一定的順序排列起來。
優(yōu)點：很容易看出各種數(shù)量的多少。
注意：畫條形統(tǒng)計圖時，直條的寬窄必須相同。
取一個單位長度表示數(shù)量的多少要根據(jù)具體情況而確定；
復(fù)式條形統(tǒng)計圖中表示不同項目的直條，要用不同的線條或顏色區(qū)別開，并在制圖日期下面注明圖例。
制作條形統(tǒng)計圖的一般步驟:
小學和初中數(shù)學公式表篇四
江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班
江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)—
小學升初中語文學習方法指導(dǎo)
首先得對小學學習和初中學習的不同有一個清醒的認識。在學習上，小學階段和初中階段有很大的不同，主要表現(xiàn)在：
1、學習科目的增多。
從小學的兩三門課增加到初中十多門，僅初一年級就有12門課。學科的內(nèi)容也更廣、更深、更趨于專業(yè)化，2、教師教學方法的不同。
3、學生成長階段的不同。
面對這些不同，首先要有一個清醒地認識，這樣的不同是學生成長中的必然，是只能去適應(yīng)的而無法改變的，時間不可能回到小學時期，接受初中的現(xiàn)實，適應(yīng)并掌握這里的學習規(guī)律，才是唯一的正確之路。這就要求做好以下幾點：
1、轉(zhuǎn)變學習態(tài)度，認清學習目標。
那么要怎么轉(zhuǎn)變呢？首先要變輕輕松松為勤奮努力。沒有一個緊張有序，競爭拼搏的態(tài)度是很難在初中的學習生活中成為佼佼者的。我們把態(tài)度細化一下，可以問自己幾個問題．
你上課認真聽講了嗎?能堅持認真聽講到下課嗎? 有課堂筆記嗎?課堂筆記堅持寫了嗎?自己不太懂的問題在上面有反映嗎? 預(yù)習復(fù)習練習認真的堅持了嗎?是否還是伙伴們的一聲呼喚就丟掉學習去玩?zhèn)€痛快呢? 你以什么樣的態(tài)度對待學習,學習就會給你一個怎樣的分數(shù)．結(jié)合自己的實際制定自己的目標，并在目標的指引下，堅持努力，不斷進步．認清前進的目標才能激發(fā)前進的動力。
２、培養(yǎng)具有良好學習習慣的治學能力。
這種治學能力首先也是最基本的就是，養(yǎng)成預(yù)習復(fù)習練習的學習習慣。很多學生說我也在這樣做了，正如所有人都在教室聽課，但效果卻不一樣，差別的原因在于有沒有專心認真的去做，并能夠長期堅持。除了養(yǎng)成預(yù)習復(fù)習練習的學習習慣外，提高聽課效率也是很重要的。
3、科學生活與學習的幾個小建議。
(1)養(yǎng)成有規(guī)律作息的生活習慣。積極鍛煉身體，保持身體健康。(2)重視每一門學科，重視每一節(jié)課，保證收獲最大。(3)學習到了某個階段而覺得疲勞時，這時就得馬上休息一下，要是你不顧這些，繼續(xù)用功，學習效率必然低落，因此遇到這種情形，干脆改換一下情結(jié)，方法很多，并不一定要休息，你可以散散步，呼吸新鮮空氣，還可以找不同學科的書看，這是很好的一種方法。
(4)學習主要依賴的感覺通道有視覺、聽覺和運動知覺。學習新內(nèi)容時，參與學習的感官越多，學生越可能好掌握新知識。
(5)樹立正確的人生觀、世界觀，培養(yǎng)科學、理性的思維模式。
總之，在學習上那種天真爛漫、無憂無慮的童年時代，在初中學習生活的現(xiàn)江西學思，江西中小學暑期輔導(dǎo)，江西家教，江西初中家教，江西小升初家教輔導(dǎo),江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)!小班教學，名師名校，精心打造專業(yè)中小學輔導(dǎo)，致力于為家長提供放心暑期家教！江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班
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實，尤其是初中升入高中競爭壓力下，將要一去不復(fù)返了，迎接你們的是走向成熟的嶄新的成長階段。在這里的快樂將會更多的來源于知識殿堂里的攀登和科學海洋里的遨游。初中也是人生求學道路上第一次分化的開始，小學畢業(yè)后，大家都會進入不同的初中，而初中畢業(yè)后則不然。希望你們都能夠在更高的學府里再相見。
江西學思，江西中小學暑期輔導(dǎo)，江西家教，江西初中家教，江西小升初家教輔導(dǎo),江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)!小班教學，名師名校，精心打造專業(yè)中小學輔導(dǎo)，致力于為家長提供放心暑期家教！
小學和初中數(shù)學公式表篇五
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學習之道在于悟，成功之道在于己
——中學生數(shù)學學習方法
中學生都很喜歡《功夫之王》和《功夫熊貓》這兩部電影，兩部電影都講述了兩個從喜愛功夫卻毫無功底的劇中人物最終練成絕世功夫，成就大業(yè)的故事。
《功夫之王》中默僧在傳授杰森功夫時，有一段精彩的對白：“畫家以潑墨山水為功夫，屠夫以庖丁解牛為功夫，從有形中求無形，充耳不聞，習萬家之變，才能自創(chuàng)一家，樂師以輾轉(zhuǎn)悠揚為功夫，詩人以天馬行空的文字傾國傾城，這也是功夫，但功夫只能意會，因為他就像水一樣，水弱于萬物，然而水滴石穿，它并不正面抗衡對手，而從對手身邊流過，無形，無狀。”
套用上述對白，我們也可以說，學生以解題為功夫，習萬題之法，從又招到無招，習萬題之變，才能自創(chuàng)一家，功夫只能意會，揭示了學習是一個自我領(lǐng)悟的過程。無獨有偶，《功夫熊貓》中阿波在最后戰(zhàn)勝太郎時，熊貓阿波抓住太郎的手指，太郎不可思議地說:“你怎么會吳氏斷指法，師父不可能教你?！毙茇埌⒉ㄕf：“我會吳氏斷指法，但師父沒有教我。是我琢磨出來的?！?/p>
在這里琢磨就是悟字。我們從中可以理解為學習之道在于悟。悟的過程是一個自我思考、自我反思、自我總結(jié)的過程，如何在學習的過程上實現(xiàn)“悟”呢?
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其一，數(shù)學的學習本身就需要有悟的過程。有些知識需要老師詳細的講解才能達到真正的理解，但有些知識則是只能意會不可言傳的，即單憑教師講很難使學生達到理解的升華。這并不是說就完全削弱了教師的作用，而是說，學生真正去掌握知識，達到對某一數(shù)學知識的理解，并不是靠老師教出來的，而是靠學生悟出來的，將所學的知識嵌入已有的知識結(jié)構(gòu)中才能達到真正的理解和掌握。
其二，數(shù)學的學習是學會獨立思考的過程.數(shù)學學習過程要防止那種死記硬背，不求甚解的傾向，學習中要多問幾個為什么，多沉下心來琢磨琢磨。一個問題可以從幾個不同的方面去思考，做到舉一反三，融會貫通。我們聽課時要邊聽邊思考，思考當堂的內(nèi)容，思考與本課相關(guān)的知識體系，思考教師的思路，拿自己的思路與老師的思路比較。聽課中也可以嘗試在老師沒有做出判斷，結(jié)論之前，自己試判斷、試下結(jié)論，看看自己想的與老師講的是否一致。找出對與不對的原因，獨立思考能力是學好數(shù)學的最中心環(huán)節(jié)。
其三，數(shù)學的學習過程是一個需要練習的過程。練習的過程是一個熟能生巧的過程，反復(fù)練習正是為了達到悟的結(jié)果及培養(yǎng)對數(shù)學的理解和感覺，訓練的過程需要經(jīng)歷一個由量變到質(zhì)變，一個無形、無狀的過程，當然由于每個人知識結(jié)構(gòu)，思維水平和理解能力等的不同，訓練的過程和量是不同的，但無論如何訓練都不能“為解題而解題”。
其四，數(shù)學的學習過程是把握數(shù)學的精神過程。數(shù)學的精神在于用數(shù)學的思想、方法、策略去思考問題。而一些學生對數(shù)學無論怎樣江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)— 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)，致力于為家長提供放心暑期家教！江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班
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練習，也始終難以找到數(shù)學的感覺。這就需要我們在學習過中從問題解決中形成一般性的結(jié)論，領(lǐng)悟問題解決中數(shù)學思想、方法、策略的應(yīng)用。
其五，數(shù)學的學習過程是善于總結(jié)的過程.學完一章，要做個小結(jié)；學完一本書，要做個總結(jié)?？偨Y(jié)很重要，不同的知識模塊總結(jié)的方法不盡相同。常做總結(jié)可以幫助比進一步理解所學的知識，形成較完整的知識框架。數(shù)學的學習中要緊緊圍繞概念、公式、法則、定理、定律。思考它們是怎么形成與推導(dǎo)出來的？能應(yīng)用到哪方面？他與哪些知識有聯(lián)系？通過追根溯源、牢固掌握知識。通過一課、一節(jié)、一章的復(fù)習，把自己的想法，思路寫成小結(jié)、列出圖表、或者用提綱摘要的方法，把前面知識貫穿起來，形成一個完整的知識網(wǎng)絡(luò)。
要特別提出的是，數(shù)學學習的過程將是一個無形無狀的過程，是一個水滴石穿的過程，在于長期的積累。只有在學習過程中不斷去悟，去反復(fù)琢磨，對每個問題都沉下心去想，才能達到太極中所說的“無招勝有招”得境界。
《功夫熊貓》中熊貓阿波得到了龍之神旨后，卻發(fā)現(xiàn)是一片空白，百思不得其解。在逃難的路途中，父親說，自家的秘密配方湯的秘密配方就是什么也都沒有。父親又說，要想做什么特別的東西，你只要相信它是特別的，熊貓阿波悟龍之神旨的真諦;沒有密碼配方，只有你自己。所以熊貓阿波在戰(zhàn)勝太郎自信說出：我不是只尋常的肥熊貓，江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)— 江西學思教育，江西中小學暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機構(gòu)，致力于為家長提供放心暑期家教！江西南昌進賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學暑期家教培訓輔導(dǎo)班
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是一只無與倫比的肥熊貓。熊貓阿波的超級自信就是成就他的爆發(fā)的秘笈。
所以，成功之道在于己，數(shù)學的學習在于自信。自信能激發(fā)每一個人的無限潛能。那么學習的自信源自于哪兒呢？
其一、自信源于對數(shù)學的熱情。華羅庚教授在《大哉數(shù)學之為用》中，精辟地闡述了他對數(shù)學的見解：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧。地球之變，生物之迷，日用之繁無處不有數(shù)學的偉大貢獻?！蔽覀冃枰斫鈹?shù)學是有用的明白數(shù)學是有趣的，我們需要熱情，更需要持久的熱誠。所謂持久，不是十天半個月或一年，應(yīng)是貫穿整個求學的時代乃至一生，唯有由于持久的熱忱所支持著的不斷努力，才是能出成績的惟一保證。
其二、源于自我的認可。對數(shù)學的學習要有一顆雄心，一顆相信自己能學好數(shù)學的雄心。熊貓阿波有著無限的潛能，但它最初的自卑制約了它的潛能。當它相信自己能行時，就迸發(fā)出不可想象的能量。所以，我們要相信“一切皆有可能”。
其三、自信源于堅實的數(shù)學基本功。我的一個學生在筆記本上記錄了他對基本功的理解：“從今天開始我做的每一道題高考肯定不考。高考的每一道都會做，并不會保證都能做對要關(guān)注對，而不是會，解決問題的最好的方法是反復(fù)，不要因為這題簡單而不去做，不要因為這題做過三遍而不去做，可為難題放棄，決不可為簡單題放棄，這就是基本功?！睌?shù)學的基本功是所有問題解決的基石。
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其四、自信源于鍥而不舍。不論是何種成績（或成就）都是需要多次乃至無數(shù)次失敗來奠基的。數(shù)學上的失敗不應(yīng)該成為同學們前進的絆腳石，而應(yīng)是同學們登天的青云梯。
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