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小學(xué)和初中數(shù)學(xué)公式表篇一
江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)— 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！
小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)合作學(xué)習(xí)方法初探
隨著新課改的全面展開，課堂上教師們都在積極嘗試構(gòu)建“小組合作”的學(xué)習(xí)模式，忽然間，合作學(xué)習(xí)似乎成為一種時(shí)尚。其中雖不乏精彩片段，但同時(shí)也存在著相當(dāng)部分的“生搬硬套”現(xiàn)象，教師們?cè)诓僮髦猩洗嬖谥簧僬`區(qū)，導(dǎo)致合作學(xué)習(xí)形式化、表演化。往往是教師故設(shè)問題，宣布討論，學(xué)生便匆忙分組活動(dòng)。這種現(xiàn)象在公開課尤為常見，可仔細(xì)一看，這熱鬧背后的“合作學(xué)習(xí)”是只“作”不“合”，試想，這樣的轟轟烈烈，五彩斑斕，有“形”無“質(zhì)”的合作，將會(huì)把學(xué)生引向何方？有多大的實(shí)效？在課堂教學(xué)中我們又該做些什么呢？
一、現(xiàn)狀分析
（一）合作小組隨意搭配
按坐就近，臨時(shí)湊合。有些教師在組織學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)是，往往要求前兩排2名學(xué)生轉(zhuǎn)身和后排2名學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組，而有些教師在公開課、研討課時(shí)則是臨時(shí)湊合一個(gè)小組。這樣的學(xué)習(xí)小組由教師統(tǒng)一規(guī)定小組成員，就違背小組合作的自愿原則，常常難以達(dá)到合作的和諧進(jìn)行。再就是讓學(xué)生自由結(jié)伴組合，有些教師在組織學(xué)生小組合作時(shí)，讓學(xué)生自由結(jié)伴，這樣做，固然是尊重了學(xué)生自由選擇權(quán)，但是常常出現(xiàn)不顧及他們的知識(shí)水平、興趣愛好、能力、性別、個(gè)性差異等因素，造成組際間的不均衡，形成學(xué)習(xí)小組間不平等的競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制，違背了“組間同質(zhì)，組內(nèi)異質(zhì)”的原則。
（二）學(xué)生缺乏必要的小組合作技能
在教師組織合作學(xué)習(xí)的過程中，常常出現(xiàn)一些現(xiàn)象：當(dāng)教師要求學(xué)生小組合作時(shí)，教室里立即出現(xiàn)一片嗡嗡聲，學(xué)生七嘴八舌，只顧自己將，不懂得聽別人講;或是在小組中，學(xué)優(yōu)生主宰一切，承擔(dān)了主要責(zé)任，其他學(xué)生則處于從屬被忽略的狀態(tài)，或是人云亦云。他們的思維也不自覺地趨同于教師的代言人——小組組織者的指向，致使某些學(xué)生的創(chuàng)造思維在這樣的環(huán)境中往往得不到認(rèn)同，富有個(gè)性色彩的求異思維不能得到充分的發(fā)揮。組際交流時(shí)常常以“我”而不能以“我們”進(jìn)行表達(dá)。如此等等現(xiàn)象都說明了學(xué)生缺乏必要的小組合作學(xué)習(xí)技能，這種無效的合作不但達(dá)不到“在合作中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)合作”的目標(biāo)，而且浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間，影響學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成度，事倍功半。
（三）小組合作內(nèi)容物挑戰(zhàn)性
有些教師為了追求課堂氣氛的熱烈，或?yàn)楣_課裝飾門面，以為有了新的學(xué)習(xí)方式，不依據(jù)教學(xué)內(nèi)容，環(huán)境條件和合作學(xué)習(xí)的適用范圍，一律采用小組合作學(xué)習(xí)方式。如，某教室在一節(jié)“異分母加減法”課上，教師在復(fù)習(xí)完同分母分?jǐn)?shù)的加減法后，開始提問：“我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了同分母分?jǐn)?shù)的加減法，明白了同分母分?jǐn)?shù)為什么可以直接相加減的道理是它們的分?jǐn)?shù)那么，異分母分?jǐn)?shù)能不能直接相加減呢？請(qǐng)同學(xué)們小組合作討論一下?！痹囅?，這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的判斷問題值得小組合作研究嗎？這樣一個(gè)沒有一定挑戰(zhàn)性的問題，它完全可以讓學(xué)生獨(dú)立思考，無需依賴別人，根據(jù)自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)就能做出判斷，就不用進(jìn)行小組合作。由于沒有思維含量和這種方式的單一，學(xué)生會(huì)逐漸感到厭倦，失去參與討論的興趣，教學(xué)效率低下。
（四）活動(dòng)放任自流，缺少主導(dǎo)性
小組合作學(xué)習(xí)雖然給了學(xué)生更多的自主權(quán)，但并不是“放羊式”的教學(xué)，不需要教師的主導(dǎo)作用。實(shí)際教學(xué)中，有些教師對(duì)學(xué)生小組合作的規(guī)則要求不甚明確，小組合作時(shí)，常出現(xiàn)貌似熱烈，其實(shí)非?；靵y的教學(xué)場(chǎng)面。如：在教學(xué)“18和2”的最小公倍數(shù)時(shí)，教師江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)— 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班
江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)— 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！
先布置學(xué)生小組討論，小組匯報(bào)時(shí)，甲組學(xué)生用列舉法找出了18和24的最小公倍數(shù)是72，而乙組一位學(xué)生說：“我們小組用的是分解因數(shù)的方法：18=2*3*3,24=2*2*2*3，把18和24的公有質(zhì)因數(shù)2和3各取一個(gè)，再乘以18和24各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)，就得到18和24的最小公倍數(shù)是2*3*3*2*2=72。”這時(shí)，甲組的同學(xué)開始質(zhì)問：“為什么共有的質(zhì)因數(shù)各取一個(gè)呢？”乙組同學(xué)回答：“因?yàn)楦魅∫粋€(gè)就表示有了18里面的質(zhì)因數(shù)2和3，也就有了24里面的質(zhì)因數(shù)2和3?！奔捉M同學(xué)又問：“為什么要乘以各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)呢？”乙組同學(xué)一試無法回答，甲組同學(xué)很得意地否定乙組同學(xué)的結(jié)論。教師此時(shí)站在講臺(tái)上觀望、等待學(xué)生的討論。其實(shí)，這是一個(gè)難度很大的問題，也是關(guān)鍵性的問題，它有待于教師的啟發(fā)引導(dǎo)才能順利解決這個(gè)具有思考價(jià)值的問題，而教師的觀望等待使得教師的主導(dǎo)作用沒有得到應(yīng)有的發(fā)揮。
二、應(yīng)對(duì)策略
（一）打破學(xué)科界限，培養(yǎng)合作意識(shí)——合作學(xué)習(xí)的前提
在教學(xué)中要順暢、有效地開展小組合作學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在小組合作中煥發(fā)活力，必須要是學(xué)生有合作的意識(shí)。在日常生活中，教師應(yīng)緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)出發(fā)，組織學(xué)生開展豐富的活動(dòng)，讓學(xué)生感覺到合作的需要。例如：組織一些游戲，通過智力搶答、拔河比賽、接力傳球等團(tuán)體比賽，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要和別人合作，共同努力，才能取得勝利;也可結(jié)合一些課外活動(dòng)，如：收集數(shù)據(jù)、量量算算、調(diào)查生活中的數(shù)學(xué)等，讓學(xué)生在實(shí)踐中得到一種體驗(yàn)，感覺到合作是一種富有樂趣、能有效地解決實(shí)際問題的有效途徑。
（二）感受合作過程，培養(yǎng)合作能力——合作學(xué)習(xí)的基礎(chǔ) 在師生之間，生生之間交往互動(dòng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，教師要充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，抓住時(shí)機(jī)，設(shè)計(jì)生動(dòng)有趣的活動(dòng)，讓學(xué)生參與小組合作活動(dòng)，積極探索，對(duì)話互動(dòng)，談?wù)摻涣?，理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)，在小組合作中培養(yǎng)學(xué)生的合作能力。例如：在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算后，學(xué)生思考解答“你能用一根20厘米長(zhǎng)的鐵絲圍出每邊長(zhǎng)度都是整厘米的長(zhǎng)方形或正方形嗎？”時(shí)，實(shí)時(shí)引用小組合作學(xué)習(xí)模式，使師生之間、生生之間相互補(bǔ)充，相互啟發(fā)，以達(dá)到訓(xùn)練思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生智力的目的，產(chǎn)生雙贏的效果。具體實(shí)施可分以下三個(gè)步驟：
1、獨(dú)立思考：讓每個(gè)學(xué)生在小組合作之前都有一個(gè)獨(dú)立思考的時(shí)間和空間，讓學(xué)生審清題意，想一想自己有那些想法？可以怎樣來圍每邊長(zhǎng)度都是整厘米的長(zhǎng)方形或正方形？交流時(shí)不要讓自己僅僅是一個(gè)聽眾。
2、組內(nèi)交流：小組成員交流各自的思考成果，說說自己是怎樣想的，各抒己見，各種想法互相交匯，定能激起學(xué)生智慧的火花，讓小組內(nèi)學(xué)生形成初步共識(shí)，得出結(jié)論——用一根20厘米長(zhǎng)的鐵絲圍出每邊長(zhǎng)度都是整厘米的長(zhǎng)方形或正方形，可以圍出四個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形（具體情況略）。
3、組際交流：這是各小組之間互相學(xué)習(xí)、互相競(jìng)爭(zhēng)、互相促進(jìn)的過程，通過組際交流可以把小組的認(rèn)知成果轉(zhuǎn)化為全體學(xué)生的共同認(rèn)知成果——只要運(yùn)用長(zhǎng)方形周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）*2，思考（長(zhǎng)+寬）*2=20厘米，即，長(zhǎng)+寬=10厘米就可以求出這道題目的解，進(jìn)一步深化了對(duì)知識(shí)的理解，互相啟發(fā)，開拓思維，讓學(xué)生創(chuàng)造性的解決問題。提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的思維能力。讓學(xué)生在合作活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的實(shí)踐能力，同時(shí)也是提高學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)能力的有效途徑。
（三）師生互動(dòng)，實(shí)時(shí)交流——合作學(xué)習(xí)的關(guān)鍵 合作學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體作用，同時(shí)也重視教師的主導(dǎo)作用。只有實(shí)現(xiàn)“主體”和“主導(dǎo)”雙向互動(dòng)，合作學(xué)習(xí)才能成為一種有效的學(xué)習(xí)方式。
1、當(dāng)好組織者?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教師是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者… …”，只有教師的精心組織，小組合作學(xué)習(xí)才能活躍、和諧，才能有序、有效地進(jìn)行。
（1）合理組建合作學(xué)習(xí)的組織。合作小組成員的搭配應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)、學(xué)習(xí)能力、性別、興趣愛好、家庭背景進(jìn)行，一般4——6人一組，盡量保證一個(gè)小組內(nèi)的學(xué)生江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)— 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班
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各具特色，能夠相互取長(zhǎng)補(bǔ)短，即遵循“組內(nèi)異質(zhì)”原則，形成互補(bǔ)，從而使小組活動(dòng)有更多、更豐富的信息輸入輸出，可以激發(fā)更多的觀點(diǎn)，使全班形成更深入、更全面的認(rèn)識(shí)。組建好的合作學(xué)習(xí)小組間力求均衡，無明顯差異，便于公平競(jìng)爭(zhēng)，體現(xiàn)“組間同質(zhì)”的原則。
（2）培養(yǎng)學(xué)生掌握交流技巧。導(dǎo)致合作學(xué)習(xí)小組解體或?qū)W習(xí)不能順利進(jìn)行的主要原因就是小組成員不會(huì)合作，學(xué)生不合作的原因往往也不是學(xué)生缺乏合作的愿望，而是學(xué)生缺乏合作的方法——交流技巧。所以，教師最好在傳授知識(shí)的同時(shí)教學(xué)生掌握必要的交流技能。例如：將組內(nèi)成員明確分工，運(yùn)用“手勢(shì)”發(fā)揮管理作用;同時(shí)使學(xué)生參與管理過程，如何傾聽別人的發(fā)言，養(yǎng)成認(rèn)真聽取別人意見的習(xí)慣；自己認(rèn)真思考，大膽發(fā)言，敢于把自己的探索發(fā)現(xiàn)過程用語言表達(dá)出來；如何“提建議”；如何說服別人，評(píng)價(jià)他人等等。好的交流技能對(duì)學(xué)生的發(fā)展具有重要的價(jià)值，它們不僅能夠使學(xué)生在小組里學(xué)到更多東西，同時(shí)，對(duì)同學(xué)與家人和朋友和睦相處以及未來事業(yè)上取得成功都是至關(guān)重要的。
2、當(dāng)好引導(dǎo)者。作為引導(dǎo)著，教師要精心設(shè)計(jì)問題情境，設(shè)身處地感受學(xué)生的所思所想，引發(fā)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，提出合作學(xué)習(xí)的目標(biāo)，要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，活動(dòng)前向?qū)W生提出合作建議。如：教學(xué)“三角形面積的計(jì)算”，小組合作推導(dǎo)公式前，可以提出以下幾點(diǎn)合作建議：（1）想一想與三角形有關(guān)的有那些圖形；（2）用多種方法驗(yàn)證三角形面積計(jì)算公式；（3）思考公式推導(dǎo)過程對(duì)我們的啟發(fā)。對(duì)特定的教學(xué)內(nèi)容，可以適當(dāng)?shù)刂笇?dǎo)思路和方法，如：我在一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課“我們認(rèn)識(shí)的數(shù)”中，教學(xué)“抓花生”這一環(huán)節(jié)時(shí)，教師講清合作要求：a.每組先派一名學(xué)生抓花生；b.抓花生是只能抓一把,但要盡可能多抓；c.再小組內(nèi)猜一猜，這一把花生有多少粒；d.再有一人數(shù)一數(shù)有多少粒；e.討論：抓一把花生與抓一把糖果的粒數(shù)哪個(gè)多？這樣吧合作的步驟交代清楚，小組學(xué)習(xí)就能有條不紊地展開。提出合作建議，提示合作流程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)合作。
3、當(dāng)好合作者
在小組開展合作與交流時(shí)，教師的角色又變?yōu)橐粋€(gè)合作者，要使小組合作真正富有成效，教師除了適時(shí)的組織、引導(dǎo)外，還必須置身于學(xué)習(xí)小組中，參與到學(xué)生中間去，在內(nèi)容、時(shí)間、學(xué)生的情緒等方面，適時(shí)進(jìn)行調(diào)控，以達(dá)到相互學(xué)習(xí)，相互提高的目的。在這個(gè)過程中，教師始終都要采用一種友好的、平等的、建設(shè)性的態(tài)度和行為，既不能過多地干涉學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，又不能對(duì)學(xué)有困難的學(xué)生袖手旁觀，要交給學(xué)生一些探索、發(fā)現(xiàn)的方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)探索，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，不斷引發(fā)學(xué)生的思維碰撞，把學(xué)生的探索引向縱深處。
（四）組織開展長(zhǎng)期有效的實(shí)踐活動(dòng)——合作學(xué)習(xí)的補(bǔ)充和延伸
1、充分認(rèn)識(shí)合作學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過程。合作學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)與其它技能的獲得一樣，需要師生堅(jiān)持不懈的時(shí)間與努力，同時(shí)，合作能力與一個(gè)民族的性格密切相關(guān)，適當(dāng)改變一個(gè)人的性格以適應(yīng)合作學(xué)習(xí)的需要，應(yīng)從小學(xué)低段開始，進(jìn)行有意識(shí)的培養(yǎng)。在實(shí)踐中，可以“小步子”原則為基礎(chǔ)，從兩人合作起步，逐漸增加合作參與人數(shù)，教師對(duì)取得較好成績(jī)或有明顯進(jìn)步的小組要及時(shí)的表揚(yáng)和鼓勵(lì)，提高他們的信心。
2、充分發(fā)揮實(shí)踐活動(dòng)的諸多優(yōu)勢(shì)，使合作能力在課外也能得到聯(lián)系和提高。實(shí)踐活動(dòng)給學(xué)生提供了一個(gè)自由開放的空間，同時(shí)，在學(xué)習(xí)時(shí)間、學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)內(nèi)容、教學(xué)評(píng)價(jià)等方面實(shí)現(xiàn)了較大的開放，使學(xué)生的心態(tài)相對(duì)放松，有利于他們發(fā)揮最大限度的潛能。學(xué)生在活動(dòng)中相互啟發(fā)、相互促進(jìn)，對(duì)那些平時(shí)比較膽小的學(xué)生來說，是一個(gè)很好的發(fā)言機(jī)會(huì)；另一方面，對(duì)有能力的學(xué)生可以充分發(fā)揮他們的帶動(dòng)性。這樣，可以使一些學(xué)生組成一個(gè)學(xué)習(xí)整體，同學(xué)們?cè)谶@個(gè)集體中積極參與、相互協(xié)作，若能長(zhǎng)時(shí)間的堅(jiān)持，定會(huì)對(duì)自主探究、合作學(xué)習(xí)的課堂模式的形成提供良好的借鑒。
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小學(xué)和初中數(shù)學(xué)公式表篇二
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小學(xué)至初中數(shù)學(xué)所有公式
1、每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù) 總數(shù)÷每份數(shù)＝份數(shù)總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù)2、1倍數(shù)×倍數(shù)＝幾倍數(shù) 幾倍數(shù)÷1倍數(shù)＝倍數(shù)幾倍數(shù)÷倍數(shù)＝1倍數(shù)
3、速度×?xí)r間＝路程 路程÷速度＝時(shí)間 路程÷時(shí)間＝速度
4、單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià) 總價(jià)÷單價(jià)＝數(shù)量 總價(jià)÷數(shù)量＝單價(jià)
5、工作效率×工作時(shí)間＝工作總量 工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間工作總量÷工作時(shí)間＝工作效率
6、加數(shù)＋加數(shù)＝和 和－一個(gè)加數(shù)＝另一個(gè)加數(shù)
7、被減數(shù)－減數(shù)＝差 被減數(shù)－差＝減數(shù) 差＋減數(shù)＝被減數(shù)
8、因數(shù)×因數(shù)＝積 積÷一個(gè)因數(shù)＝另一個(gè)因數(shù)
9、被除數(shù)÷除數(shù)＝商 被除數(shù)÷商＝除數(shù) 商×除數(shù)＝被除數(shù) 小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式、正方形 c周長(zhǎng) s面積 a邊長(zhǎng) 周長(zhǎng)＝邊長(zhǎng)×4 c=4a 面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng) s=a×a 2、正方體 v:體積 a:棱長(zhǎng) 表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6 s表=a×a×6 體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng) v=a×a×a 3、長(zhǎng)方形
c周長(zhǎng) s面積 a邊長(zhǎng)
周長(zhǎng)=(長(zhǎng)+寬)×2 c=2(a+b)面積=長(zhǎng)×寬 s=ab 4、長(zhǎng)方體
v:體積 s:面積 a:長(zhǎng) b: 寬 h:高
江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)— 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班
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(1)表面積(長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高)×2 s=2(ab+ah+bh)(2)體積=長(zhǎng)×寬×高 v=abh 5 三角形 s面積 a底 h高
面積=底×高÷2 s=ah÷2
三角形高=面積 ×2÷底 三角形底=面積 ×2÷高 6平行四邊形 s面積 a底 h高 面積=底×高 s=ah 7 梯形
s面積 a上底 b下底 h高
面積=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圓形
s面積 c周長(zhǎng) ∏ d=直徑 r=半徑
(1)周長(zhǎng)=直徑×∏=2×∏×半徑 c=∏d=2∏r(2)面積=半徑×半徑×∏ 9 圓柱體
v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑 c:底面周長(zhǎng)(1)側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高(2)表面積=側(cè)面積+底面積×2(3)體積=底面積×高
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（4）體積＝側(cè)面積÷2×半徑 10 圓錐體
v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑 體積=底面積×高÷3 總數(shù)÷總份數(shù)＝平均數(shù) 和差問題的公式(和＋差)÷2＝大數(shù)(和－差)÷2＝小數(shù) 和倍問題
和÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù)
小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或者 和－小數(shù)＝大數(shù))差倍問題
差÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù)
小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或 小數(shù)＋差＝大數(shù))植樹問題 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形: ⑴如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么: 株數(shù)＝段數(shù)＋1＝全長(zhǎng)÷株距－1 全長(zhǎng)＝株距×(株數(shù)－1)株距＝全長(zhǎng)÷(株數(shù)－1)⑵如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那么: 江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)— 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班
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株數(shù)＝段數(shù)＝全長(zhǎng)÷株距 全長(zhǎng)＝株距×株數(shù) 株距＝全長(zhǎng)÷株數(shù) ⑶如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么: 株數(shù)＝段數(shù)－1＝全長(zhǎng)÷株距－1 全長(zhǎng)＝株距×(株數(shù)＋1)株距＝全長(zhǎng)÷(株數(shù)＋1)2 封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關(guān)系如下
株數(shù)＝段數(shù)＝全長(zhǎng)÷株距 全長(zhǎng)＝株距×株數(shù) 株距＝全長(zhǎng)÷株數(shù) 盈虧問題
(盈＋虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)(大盈－小盈)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)(大虧－小虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù) 相遇問題
相遇路程＝速度和×相遇時(shí)間 相遇時(shí)間＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇時(shí)間 追及問題
追及距離＝速度差×追及時(shí)間 追及時(shí)間＝追及距離÷速度差 速度差＝追及距離÷追及時(shí)間 流水問題
順流速度＝靜水速度＋水流速度 逆流速度＝靜水速度－水流速度 靜水速度＝(順流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(順流速度－逆流速度)÷2 濃度問題
溶質(zhì)的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量 溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%＝濃度 溶液的重量×濃度＝溶質(zhì)的重量 溶質(zhì)的重量÷濃度＝溶液的重量
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利潤與折扣問題
利潤＝售出價(jià)－成本 利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售出價(jià)÷成本－1)×100% 漲跌金額＝本金×漲跌百分比 折扣＝實(shí)際售價(jià)÷原售價(jià)×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×?xí)r間 稅后利息＝本金×利率×?xí)r間×(1－20%)長(zhǎng)度單位換算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面積單位換算
1平方千米=100公頃 1 公頃=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 體(容)積單位換算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升 重量單位換算
1噸=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民幣單位換算
1元=10角 1角=10分 1元=100分 時(shí)間單位換算
1世紀(jì)=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)的有:46911月平年2月28天, 閏年2月29天
平年全年365天, 閏年全年366天 1日=24小時(shí) 1時(shí)=60分 1分=60秒 1時(shí)=3600秒 小學(xué)數(shù)學(xué)幾何形體周長(zhǎng) 面積 體積計(jì)算公式
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1、長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2 c=(a+b)×2
2、正方形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4 c=4a
3、長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬 s=ab
4、正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng) s=a.a= a
5、三角形的面積=底×高÷2 s=ah÷2
6、平行四邊形的面積=底×高 s=ah
7、梯形的面積=（上底+下底）×高÷2 s=（a＋b）h÷2
8、直徑=半徑×2 d=2r 半徑=直徑÷2 r= d÷2
9、圓的周長(zhǎng)=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2 c=πd =2πr
10、圓的面積=圓周率×半徑×半徑 常見的初中數(shù)學(xué)公式 1 過兩點(diǎn)有且只有一條直線 2 兩點(diǎn)之間線段最短 3 同角或等角的補(bǔ)角相等 4 同角或等角的余角相等 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短 7平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行 8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行 9 同位角相等，兩直線平行 10 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
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22邊角邊公理(sas)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 23 角邊角公理(asa)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 24 推論(aas)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 25 邊邊邊公理(sss)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 斜邊、直角邊公理(hl)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 27 定理1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等 28 定理2 到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上 29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合 等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角）31 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
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等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合 33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°
等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)等邊）
推論1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
推論 2 有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半
定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上 41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合 42 定理1 關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形
定理 2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線 44定理3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上
45逆定理 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱
46勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a^2+b^2=c^2，那么這個(gè)三角形是直角三角形
48定理 四邊形的內(nèi)角和等于360°
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49四邊形的外角和等于360°
50多邊形內(nèi)角和定理 n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180° 51推論 任意多邊的外角和等于360°
52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)角相等 53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)邊相等 54推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線互相平分
56平行四邊形判定定理1 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形 57平行四邊形判定定理2 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 58平行四邊形判定定理3 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 59平行四邊形判定定理4 一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形 60矩形性質(zhì)定理1 矩形的四個(gè)角都是直角 61矩形性質(zhì)定理2 矩形的對(duì)角線相等
62矩形判定定理1 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 63矩形判定定理2 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 64菱形性質(zhì)定理1 菱形的四條邊都相等
65菱形性質(zhì)定理2 菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 66菱形面積=對(duì)角線乘積的一半，即s=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形 68菱形判定定理2 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 69正方形性質(zhì)定理1 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等
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70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角
71定理1 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等的
72定理2 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分 73逆定理 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱
74等腰梯形性質(zhì)定理 等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等 75等腰梯形的兩條對(duì)角線相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形 77對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形
78平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等
推論1 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰 80 推論2 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊 81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半
梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l×h 83(1)比例的基本性質(zhì) 如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d 84(2)合比性質(zhì) 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85(3)等比性質(zhì) 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
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推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 88 定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊
平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例
定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似
相似三角形判定定理1 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（asa）92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（sas）94 判定定理3 三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（sss）
定理 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似
性質(zhì)定理1 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 97 性質(zhì)定理2 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 98 性質(zhì)定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方
任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值 100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值 101圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合
102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合 103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合
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104同圓或等圓的半徑相等
105到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓 106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直平分線 107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線
108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線 109定理 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。
110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧
111推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 ②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 113圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形
114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等
115推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等
116定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半
117推論1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等 118推論2 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑 119推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形 120定理 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角
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121①直線l和⊙o相交 d＜r ②直線l和⊙o相切 d=r ③直線l和⊙o相離 d＞r 122切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 123切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑 124推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) 125推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心
126切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角
127圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角
129推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等 130相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等
131推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng) 132切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)
133推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等 134如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上 135①兩圓外離 d＞r+r ②兩圓外切 d=r+r ③兩圓相交 r-r＜d＜r+r(r＞r)④兩圓內(nèi)切 d=r-r(r＞r)⑤兩圓內(nèi)含d＜r-r(r＞r)江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)— 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班
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136定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦 137定理 把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形
⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形 138定理 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓 139正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n 140定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形 141正n邊形的面積sn=pnrn／2 p表示正n邊形的周長(zhǎng) 142正三角形面積√3a／4 a表示邊長(zhǎng)
143如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4 144弧長(zhǎng)計(jì)算公式：l=n兀r／180 145扇形面積公式：s扇形=n兀r^2／360=lr／2 146內(nèi)公切線長(zhǎng)= d-(r-r)外公切線長(zhǎng)= d-(r+r)（還有一些，大家?guī)脱a(bǔ)充吧）實(shí)用工具:常用數(shù)學(xué)公式 公式分類 公式表達(dá)式
乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a 江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)— 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班
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根與系數(shù)的關(guān)系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韋達(dá)定理 判別式
b2-4ac=0 注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 b2-4ac>0 注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根 b2-4ac<0 注：方程沒有實(shí)根，有共軛復(fù)數(shù)根 三角函數(shù)公式 兩角和公式
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)倍角公式
tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式
sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)
tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))和差化積
2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)— 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班
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2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2 cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 某些數(shù)列前n項(xiàng)和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r 注： 其中 r 表示三角形的外接圓半徑 余弦定理 b2=a2+c2-2accosb 注：角b是邊a和邊c的夾角 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標(biāo) 圓的一般方程 x2+y2+dx+ey+f=0 注：d2+e2-4f>0 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱側(cè)面積 s=c*h 斜棱柱側(cè)面積 s=c'*h 正棱錐側(cè)面積 s=1/2c*h' 正棱臺(tái)側(cè)面積 s=1/2(c+c')h' 圓臺(tái)側(cè)面積 s=1/2(c+c')l=pi(r+r)l 球的表面積 s=4pi*r2 圓柱側(cè)面積 s=c*h=2pi*h 圓錐側(cè)面積 s=1/2*c*l=pi*r*l 弧長(zhǎng)公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r 錐體體積公式 v=1/3*s*h 圓錐體體積公式 v=1/3*pi*r2h 江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)— 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班
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斜棱柱體積 v=s'l 注：其中,s'是直截面面積，l是側(cè)棱長(zhǎng) 柱體體積公式 v=s*h 圓柱體 v=pi*r2h 江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)— 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！
小學(xué)和初中數(shù)學(xué)公式表篇三
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小升初數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料歸納
常用的數(shù)量關(guān)系式
1、每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù) 總數(shù)÷每份數(shù)＝份數(shù) 總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù) 2、1倍數(shù)×倍數(shù)＝幾倍數(shù) 幾倍數(shù)÷1倍數(shù)＝倍數(shù) 幾倍數(shù)÷倍數(shù)＝1倍數(shù)
3、速度×?xí)r間＝路程 路程÷速度＝時(shí)間 路程÷時(shí)間＝速度
4、單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià) 總價(jià)÷單價(jià)＝數(shù)量 總價(jià)÷數(shù)量＝單價(jià)
5、工作效率×工作時(shí)間＝工作總量 工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間 工作總量÷工作時(shí)間＝工作效率
6、加數(shù)＋加數(shù)＝和 和－一個(gè)加數(shù)＝另一個(gè)加數(shù)
7、被減數(shù)－減數(shù)＝差 被減數(shù)－差＝減數(shù) 差＋減數(shù)＝被減數(shù)
8、因數(shù)×因數(shù)＝積 積÷一個(gè)因數(shù)＝另一個(gè)因數(shù)
9、被除數(shù)÷除數(shù)＝商 被除數(shù)÷商＝除數(shù) 商×除數(shù)＝被除數(shù)
小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式
1、正方形（c：周長(zhǎng) s：面積 a：邊長(zhǎng)）
周長(zhǎng)＝邊長(zhǎng)×4 c=4a 面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng) s=a×a
2、正方體（v:體積 a:棱長(zhǎng)）
表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6 s表=a×a×6 體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng) v=a×a×a
3、長(zhǎng)方形（c：周長(zhǎng) s：面積 a：邊長(zhǎng)）
周長(zhǎng)=(長(zhǎng)+寬)×2 c=2(a+b)面積=長(zhǎng)×寬 s=ab
4、長(zhǎng)方體（v:體積 s:面積 a:長(zhǎng) b: 寬 h:高）(1)表面積(長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高)×2 s=2(ab+ah+bh)(2)體積=長(zhǎng)×寬×高 v=abh
5、三角形（s：面積 a：底 h：高）
面積=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面積 ×2÷底 三角形底=面積 ×2÷高
6、平行四邊形（s：面積 a：底 h：高）
面積=底×高 s=ah
7、梯形（s：面積 a：上底 b：下底 h：高）
面積=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
8、圓形（s：面積 c：周長(zhǎng) л d=直徑 r=半徑）
(1)周長(zhǎng)=直徑×л=2×л×半徑 c=лd=2лr(2)面積=半徑×半徑×л
9、圓柱體（v:體積 h:高 s：底面積 r:底面半徑 c:底面周長(zhǎng)）
(1)側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高=ch(2лr或лd)(2)表面積=側(cè)面積+底面積×2(3)體積=底面積×高（4）體積＝側(cè)面積÷2×半徑
10、圓錐體（v:體積 h:高 s：底面積 r:底面半徑）
體積=底面積×高÷3
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11、總數(shù)÷總份數(shù)＝平均數(shù)
12、和差問題的公式
(和＋差)÷2＝大數(shù)(和－差)÷2＝小數(shù)
13、和倍問題
和÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或者 和－小數(shù)＝大數(shù))
14、差倍問題
差÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或 小數(shù)＋差＝大數(shù))
15、相遇問題
相遇路程＝速度和×相遇時(shí)間 相遇時(shí)間＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇時(shí)間
16、濃度問題
溶質(zhì)的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量 溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%＝濃度 溶液的重量×濃度＝溶質(zhì)的重量 溶質(zhì)的重量÷濃度＝溶液的重量
17、利潤與折扣問題
利潤＝售出價(jià)－成本
利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售出價(jià)÷成本－1)×100% 漲跌金額＝本金×漲跌百分比 利息＝本金×利率×?xí)r間
稅后利息＝本金×利率×?xí)r間×(1－20%)
常用單位換算
長(zhǎng)度單位換算
1千米=1000米 1米=10分米
1分米=10厘米 1米=100厘米
1厘米=10毫米
面積單位換算
1平方千米=100公頃
1公頃=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
體(容)積單位換算
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
1立方米=1000升
重量單位換算
1噸=1000 千克
1千克=1000克
1千克=1公斤
人民幣單位換算
1元=10角
1角=10分
1元=100分
時(shí)間單位換算
1世紀(jì)=100年
1年=12月
大月(31天)有:135781012月
小月(30天)的有:46911月
平年2月28天, 閏年2月29天
平年全年365天, 閏年全年366天
1日=24小時(shí)
1時(shí)=60分
1分=60秒
1時(shí)=3600秒
基本概念
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第一章 數(shù)和數(shù)的運(yùn)算
一
概念
（一）整數(shù)整數(shù)的意義
自然數(shù)和0都是整數(shù)。
自然數(shù)
我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來表示物體個(gè)數(shù)的1，2，3??叫做自然數(shù)。
一個(gè)物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。
3計(jì)數(shù)單位
一（個(gè)）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億??都是計(jì)數(shù)單位。
每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。
數(shù)位
計(jì)數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。
5數(shù)的整除
整數(shù)a除以整數(shù)b(b ≠ 0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。
如果數(shù)a能被數(shù)b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。
因?yàn)?5能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。
一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的 約數(shù)是它本身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是10。
一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12??其中最小的倍數(shù)是3，沒有最大的倍數(shù)。
個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
個(gè)位上是0或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。
能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。
一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。
不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。
0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。
一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如 4、6、8、9、12都是合數(shù)。
1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。如果把自然數(shù)按其約數(shù)的個(gè)數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。
每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合昆明奧數(shù)培訓(xùn)中心 http:// 專業(yè)奧數(shù)學(xué)習(xí)資源，完全免費(fèi)，無須注冊(cè)！
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數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3×5，3和5 叫做15的質(zhì)因數(shù)。
把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。
例如把28分解質(zhì)因數(shù)
幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，例如12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公約數(shù)，6是它們的最大公約數(shù)。
公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，有下列幾種情況：
1和任何自然數(shù)互質(zhì)。
相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。
兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。
當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)。
兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)，就說這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。
幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18 ??
3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18 ?? 其中6、12、18??是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。
如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。
幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。
（二）小數(shù)小數(shù)的意義
把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份?? 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾?? 可以用小數(shù)表示。
一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾??
一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。
在小數(shù)里，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也是10。
2小數(shù)的分類
純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如： 0.25、0.368 都是純小數(shù)。
帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如： 3.25、5.26 都是帶小數(shù)。
有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例如： 41.7、25.3、0.23 都是有限小數(shù)。
無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。例如： 4.33 ?? 3.1415926 ??
無限不循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：∏
循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如： 3.555 ?? 0.0333 ?? 12.109109 ??
一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如： 3.99 ??的循環(huán)節(jié)是“ 9 ”，0.5454 ??的循環(huán)節(jié)是“ 54 ”。
純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如： 3.111 ??
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0.5656 ??
混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。3.1222 ?? 0.03333 ??
寫循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，為了簡(jiǎn)便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。如果循環(huán) 節(jié)只有 一個(gè)數(shù)字，就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。例如： 3.777 ?? 簡(jiǎn)寫作
0.5302302 ?? 簡(jiǎn)寫作。
（三）分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的意義
把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。
在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。
把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。
分?jǐn)?shù)的分類
真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。
假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1。
帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù)。
約分和通分
把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。
分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。
把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。
（四）百分?jǐn)?shù) 表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率 或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用“%”來表示。百分號(hào)是表示百分?jǐn)?shù)的符號(hào)。
二
方法
（一）數(shù)的讀法和寫法
1.整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地讀。讀億級(jí)、萬級(jí)時(shí)，先按照個(gè)級(jí)的讀法去讀，再在后面加一個(gè)“億”或“萬”字。每一級(jí)末尾的0都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個(gè)0都只讀一個(gè)零。
2.整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地寫，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒有，就在那個(gè)數(shù)位上寫0。
3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。
4.小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點(diǎn)寫在個(gè)位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。
5.分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。
6.分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的寫法來寫。
7.百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀百分之，再讀百分號(hào)前面的數(shù)，讀數(shù)時(shí)按照整數(shù)的讀法來讀。
8.百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來的分子后面加上百分號(hào)“%”來表示。
（二）數(shù)的改寫
一個(gè)較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時(shí)還昆明奧數(shù)培訓(xùn)中心 http:// 專業(yè)奧數(shù)學(xué)習(xí)資源，完全免費(fèi)，無須注冊(cè)！
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可以根據(jù)需要，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。
1.準(zhǔn)確數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)便，可以把一個(gè)較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)。例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數(shù)是 125430 萬；改寫成 以億做單位 的數(shù) 12.543 億。
2.近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，我們還可以把一個(gè)較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個(gè)近似數(shù)來表示。例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。
3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4 或者比4小，就把尾數(shù)去掉；如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進(jìn)1。例如：省略 345900 萬后面的尾數(shù)約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億。
4.大小比較
1.比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大，如果位數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大。
2.比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大??
3.比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)比較大；分子相同的數(shù)，分母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個(gè)數(shù)的大小。
（三）數(shù)的互化
1.小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個(gè)零作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子，能約分的要約分。
2.分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。
3.一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5 以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。
4.小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分號(hào)。
5.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。
6.分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。
7.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。
（四）數(shù)的整除
1.把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。
2.求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的的最大公約數(shù)。
3.求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）的公約數(shù)去除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
4.成為互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì) ； 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)；
當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)； 兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)。
（五）約分和通分
約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止。
通分的方法：先求出原來的幾個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。
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三
性質(zhì)和規(guī)律
（一）商不變的規(guī)律
商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者同時(shí)縮小相同的倍，商不變。
（二）小數(shù)的性質(zhì)
小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。
（三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化
1.小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，原來的數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，原來的數(shù)就擴(kuò)大100倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，原來的數(shù)就擴(kuò)大1000倍??
2.小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，原來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，原來的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位，原來的數(shù)就縮小1000倍??
3.小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí)，要用“0"補(bǔ)足位。
（四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。
（五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系
1.被除數(shù)÷除數(shù)= 被除數(shù)/除數(shù)
2.因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。
3.被除數(shù) 相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。
四
運(yùn)算的意義
（一）整數(shù)四則運(yùn)算
1整數(shù)加法：
把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法。
在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分?jǐn)?shù)，和是總數(shù)。
加數(shù)+加數(shù)=和
一個(gè)加數(shù)=和－另一個(gè)加數(shù)
2整數(shù)減法：
已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。
在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。
加法和減法互為逆運(yùn)算。
3整數(shù)乘法：
求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算叫做乘法。
在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。
在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0.1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。
一個(gè)因數(shù)× 一個(gè)因數(shù) =積
一個(gè)因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù)
整數(shù)除法：
已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。
在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個(gè)因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。
乘法和除法互為逆運(yùn)算。
在除法里，0不能做除數(shù)。因?yàn)?和任何數(shù)相乘都得0，所以任何一個(gè)數(shù)除以0，均得不到一個(gè)確定的商。
被除數(shù)÷除數(shù)=商
除數(shù)=被除數(shù)÷商
被除數(shù)=商×除數(shù)
（二）小數(shù)四則運(yùn)算
1.小數(shù)加法：
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小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。
2.小數(shù)減法：
小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算.3.小數(shù)乘法：
小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算；一個(gè)數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾??是多少。
4.小數(shù)除法：
小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。
5.乘方:
求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。例如 3 × 3 =32
（三）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算
1.分?jǐn)?shù)加法：
分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。
2.分?jǐn)?shù)減法：
分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。
3.分?jǐn)?shù)乘法：
分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。
4.乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)。
5.分?jǐn)?shù)除法：
分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。
（四）運(yùn)算定律
1.加法交換律：
兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a。
2.加法結(jié)合律：
三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再和第一個(gè)數(shù)相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c)。
3.乘法交換律：
兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即a×b=b×a。
4.乘法結(jié)合律：
三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再乘以第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和第一個(gè)數(shù)相乘，它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c)。5.乘法分配律：
兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c。
6.減法的性質(zhì)：
從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，可以從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c)。
（五）運(yùn)算法則
1.整數(shù)加法計(jì)算法則：
相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一。
2.整數(shù)減法計(jì)算法則：
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相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。
3.整數(shù)乘法計(jì)算法則：
先用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個(gè)因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對(duì)齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來。
4.整數(shù)除法計(jì)算法則：
先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位； 如果不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補(bǔ)“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。
5.小數(shù)乘法法則：
先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；如果位數(shù)不夠，就用“0”補(bǔ)足。
6.除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則：
先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”，再繼續(xù)除。
7.除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則：
先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。
8.同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法: 同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。
9.異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法: 先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算。
10.帶分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法: 整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。
11.分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則: 分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。
12.分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則: 甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。
（六）運(yùn)算順序
1.小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。
2.分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。
3.沒有括號(hào)的混合運(yùn)算: 同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級(jí)運(yùn)算 先算乘、除法，后算加減法。
4.有括號(hào)的混合運(yùn)算: 先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最后算括號(hào)外面的。
5.第一級(jí)運(yùn)算：
加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算。
6.第二級(jí)運(yùn)算：
乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算。
五
應(yīng)用
（一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用簡(jiǎn)單應(yīng)用題
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（1）簡(jiǎn)單應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做簡(jiǎn)單應(yīng)用題。
（2）解題步驟：
a 審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問題。讀題時(shí)，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問題，幫助理解題意。
b選擇算法和列式計(jì)算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么，要求什么著手，逐步根據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)系四則運(yùn)算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱。
c檢驗(yàn)：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過程是否正確，是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，馬上改正。復(fù)合應(yīng)用題
（1）有兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題。
（2）含有三個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。
求比兩個(gè)數(shù)的和多（少）幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。
比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。
（3）含有兩個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。
已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)的和（或差）。
已知兩數(shù)之和與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）。
（4）解答連乘連除應(yīng)用題。
（5）解答三步計(jì)算的應(yīng)用題。
（6）解答小數(shù)計(jì)算的應(yīng)用題：小數(shù)計(jì)算的加法、減法、乘法和除法的應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。d答案：根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，先口答，逐步過渡到筆答。
(3)解答加法應(yīng)用題：
a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。
b求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。
(4)解答減法應(yīng)用題：
a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。
-b求兩個(gè)數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。
c求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。
(5)解答乘法應(yīng)用題：
a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)，求總數(shù)。
b求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)是多少，另一個(gè)數(shù)是它的幾倍，求另一個(gè)數(shù)是多少。
(6)解答除法應(yīng)用題：
a把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和把這個(gè)數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少。
b求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和每份是多少，求可以分成幾份。
c 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。
d已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。
（7）常見的數(shù)量關(guān)系：
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總價(jià)= 單價(jià)×數(shù)量
路程= 速度×?xí)r間
工作總量=工作時(shí)間×工效
總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量
3典型應(yīng)用題
具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，通常叫做典型應(yīng)用題。
（1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。
解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。
算術(shù)平均數(shù)：已知幾個(gè)不相等的同類量和與之相對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個(gè)數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。
加權(quán)平均數(shù)：已知兩個(gè)以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。
數(shù)量關(guān)系式（部分平均數(shù)×權(quán)數(shù)）的總和÷（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。
差額平均數(shù)：是把各個(gè)大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。
數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)－小數(shù)）÷2=小數(shù)應(yīng)得數(shù)
最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)
最大數(shù)與個(gè)數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。
例：一輛汽車以每小時(shí) 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小時(shí) 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。
分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“ 1 ”，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”，從甲地到乙地的速度為 100，所用的時(shí)間為，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米，所用的時(shí)間是，汽車共行的時(shí)間為
+ = , 汽車的平均速度為 2 ÷
=75（千米）
（2）歸一問題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。
根據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。
根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。
一次歸一問題，用一步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一?！?/p>
兩次歸一問題，用兩步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一?！?/p>
正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計(jì)算結(jié)果的歸一問題。
反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計(jì)算結(jié)果的歸一問題。
解題關(guān)鍵：從已知的一組對(duì)應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量），然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果。
數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)我涣俊练輸?shù)=總數(shù)量（正歸一）
總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一）
例 一個(gè)織布工人，在七月份織布 4774 米，照這樣計(jì)算，織布 6930 米，需要多少天？
分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。693 0 ÷（477 4 ÷ 31）=45（天）
（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個(gè)數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個(gè)數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個(gè)數(shù)（或單位數(shù)量）。
特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。
數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)挝粩?shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量 = 另一個(gè)單位數(shù)量
單位數(shù)量×昆明奧數(shù)培訓(xùn)中心 http:// 專業(yè)奧數(shù)學(xué)習(xí)資源，完全免費(fèi)，無須注冊(cè)！
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單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量= 另一個(gè)單位數(shù)量。
例 修一條水渠，原計(jì)劃每天修 800 米，6 天修完。實(shí)際 4 天修完，每天修了多少米？
分析：因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L(zhǎng)度，就必須先求出水渠的長(zhǎng)度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。80 0 × 6 ÷ 4=1200（米）
（4）和差問題：已知大小兩個(gè)數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問題。
解題關(guān)鍵：是把大小兩個(gè)數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個(gè)大數(shù)的和（或兩個(gè)小數(shù)的和），然后再求另一個(gè)數(shù)。
解題規(guī)律：（和＋差）÷2 = 大數(shù)
大數(shù)－差=小數(shù)
（和－差）÷2=小數(shù)
和－小數(shù)= 大數(shù)
例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時(shí)從乙班調(diào) 46 人到甲班工作，這時(shí)乙班比甲班人數(shù)少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少人？
分析：從乙班調(diào) 46 人到甲班，對(duì)于總數(shù)沒有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成 2 個(gè)乙班，即 9 4 － 12，由此得到現(xiàn)在的乙班是（9 4 － 12）÷ 2=41（人），乙班在調(diào)出 46 人之前應(yīng)該為 41+46=87（人），甲班為 9 4 － 87=7（人）
（5）和倍問題：已知兩個(gè)數(shù)的和及它們之間的倍數(shù) 關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。
解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個(gè)數(shù)（也可能是幾個(gè)數(shù)）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求另一個(gè)數(shù)（或幾個(gè)數(shù)）的數(shù)量。
解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)
標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)
例:汽車運(yùn)輸場(chǎng)有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運(yùn)輸場(chǎng)有大貨車和小汽車各有多少輛？
分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（5+1）倍對(duì)應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（115-7）輛。
列式為（115-7）÷（5+1）=18（輛），18 × 5+7=97（輛）
（6）差倍問題：已知兩個(gè)數(shù)的差，及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。
解題規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的差÷（倍數(shù)－1）= 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)
標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)。
例 甲乙兩根繩子，甲繩長(zhǎng) 63 米，乙繩長(zhǎng) 29 米，兩根繩剪去同樣的長(zhǎng)度，結(jié)果甲所剩的長(zhǎng)度是乙繩 長(zhǎng)的 3 倍，甲乙兩繩所剩長(zhǎng)度各多少米？ 各減去多少米？
分析：兩根繩子剪去相同的一段，長(zhǎng)度差沒變，甲繩所剩的長(zhǎng)度是乙繩的 3 倍，實(shí)比乙繩多（3-1）倍，以乙繩的長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。列式（63-29）÷（3-1）=17（米）?乙繩剩下的長(zhǎng)度，17 × 3=51（米）?甲繩剩下的長(zhǎng)度，29-17=12（米）?剪去的長(zhǎng)度。
（7）行程問題：關(guān)于走路、行車等問題，一般都是計(jì)算路程、時(shí)間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時(shí)間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關(guān)系，再根據(jù)這類問題的規(guī)律解答。
解題關(guān)鍵及規(guī)律：
同時(shí)同地相背而行：路程=速度和×?xí)r間。
同時(shí)相向而行：相遇時(shí)間=速度和×?xí)r間
同時(shí)同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時(shí)間=路程速度差。
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同時(shí)同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×?xí)r間。
例 甲在乙的后面 28 千米，兩人同時(shí)同向而行，甲每小時(shí)行 16 千米，乙每小時(shí)行 9 千米，甲幾小時(shí)追上乙？
分析：甲每小時(shí)比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小時(shí)可以追近乙（16-9）千米，這是速度差。
已知甲在乙的后面 28 千米（追擊路程），28 千米 里包含著幾個(gè)（16-9）千米，也就是追擊所需要的時(shí)間。列式 2 8 ÷（16-9）=4（小時(shí)）
（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。
船速：船在靜水中航行的速度。
水速：水流動(dòng)的速度。
順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣取?/p>
逆水速度：船逆流航行的速度。
順?biāo)?船速＋水速
逆速=船速－水速
解題關(guān)鍵：因?yàn)轫樍魉俣仁谴倥c水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當(dāng)作和差問題解答。解題時(shí)要以水流為線索。
解題規(guī)律：船行速度=（順?biāo)俣? 逆流速度）÷2 流水速度=（順流速度逆流速度）÷2 路程=順流速度× 順流航行所需時(shí)間
路程=逆流速度×逆流航行所需時(shí)間
例 一只輪船從甲地開往乙地順?biāo)?，每小時(shí)行 28 千米，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?2 小時(shí)，已知水速每小時(shí) 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米？
分析：此題必須先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r(shí)間，或者逆水速度和逆水的時(shí)間。已知順?biāo)俣群退?速度，因此不難算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r(shí)間，逆水所用的時(shí)間不知道，只知道順?biāo)饶嫠儆?2 小時(shí)，抓住這一點(diǎn)，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r(shí)間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為 284 × 2=20（千米）2 0 × 2 =40（千米）40 ÷（4 × 2）=5（小時(shí)）28 × 5=140（千米）。
（9）還原問題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過一定的四則運(yùn)算后所得的結(jié)果，求這個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題，我們叫做還原問題。
解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。
解題規(guī)律：從最后結(jié)果 出發(fā)，采用與原題中相反的運(yùn)算（逆運(yùn)算）方法，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。
根據(jù)原題的運(yùn)算順序列出數(shù)量關(guān)系，然后采用逆運(yùn)算的方法計(jì)算推導(dǎo)出原數(shù)。
解答還原問題時(shí)注意觀察運(yùn)算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時(shí)別忘記寫括號(hào)。
例 某小學(xué)三年級(jí)四個(gè)班共有學(xué)生 168 人，如果四班調(diào) 3 人到三班，三班調(diào) 6 人到二班，二班調(diào) 6 人到一班，一班調(diào) 2 人到四班，則四個(gè)班的人數(shù)相等，四個(gè)班原有學(xué)生多少人？
分析：當(dāng)四個(gè)班人數(shù)相等時(shí)，應(yīng)為 168 ÷ 4，以四班為例，它調(diào)給三班 3 人，又從一班調(diào)入 2 人，所以四班原有的人數(shù)減去 3 再加上 2 等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-2+3=43（人）
一班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+2=38（人）；二班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+6=42（人）三班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-3+6=45（人）。
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（10）植樹問題：這類應(yīng)用題是以“植樹”為內(nèi)容。凡是研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹問題。
解題關(guān)鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長(zhǎng)植樹，然后按基本公式進(jìn)行計(jì)算。
解題規(guī)律：沿線段植樹
棵樹=段數(shù)+1
棵樹=總路程÷株距+1
株距=總路程÷（棵樹-1）
總路程=株距×（棵樹-1）
沿周長(zhǎng)植樹
棵樹=總路程÷株距
株距=總路程÷棵樹
總路程=株距×棵樹
例 沿公路一旁埋電線桿 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米。后來全部改裝，只埋了201 根。求改裝后每相鄰兩根的間距。
分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為 50 ×（301-1）÷（201-1）=75（米）
（11）盈虧問題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。他的特點(diǎn)是把一定數(shù)量的物品，平均分配給一定數(shù)量的人，在兩次分配中，一次有余，一次不足（或兩次都有余），或兩次都不足），已知所余和不足的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。
解題關(guān)鍵：盈虧問題的解法要點(diǎn)是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個(gè)差去除后一個(gè)差，就得到分配者的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù)。
解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù)
總差額的求法可以分為以下四種情況：
第一次多余，第二次不足，總差額=多余+ 不足
第一次正好，第二次多余或不足，總差額=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足，總差額= 大不足-小不足
例 參加美術(shù)小組的同學(xué)，每個(gè)人分的相同的支數(shù)的色筆，如果小組 10 人，則多 25 支，如果小組有 12 人，色筆多余 5 支。求每人 分得幾支？共有多少支色鉛筆？
分析：每個(gè)同學(xué)分到的色筆相等。這個(gè)活動(dòng)小組有 12 人，比 10 人多 2 人，而色筆多出了（25-5）=20 支，2 個(gè)人多出 20 支，一個(gè)人分得 10 支。列式為（25-5）÷（12-10）=10（支）10 × 12+5=125（支）。
（12）年齡問題：將差為一定值的兩個(gè)數(shù)作為題中的一個(gè)條件，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問題”。
解題關(guān)鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，主要特點(diǎn)是隨著時(shí)間的變化，年歲不斷增長(zhǎng)，但大小兩個(gè)不同年齡的差是不會(huì)改變的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時(shí)，要善于利用差不變的特點(diǎn)。
例 父親 48 歲，兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？
分析：父子的年齡差為 48-21=27（歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是（4-1）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。列式為： 21（48-21）÷（4-1）=12（年）
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（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應(yīng)用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題
解題關(guān)鍵：解答雞兔問題一般采用假設(shè)法，假設(shè)全是一種動(dòng)物（如全是“雞”或全是“兔”，然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。
解題規(guī)律：（總腿數(shù)－雞腿數(shù)×總頭數(shù)）÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù)
兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2×總頭數(shù)）÷2
如果假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子：
雞的只數(shù)=（4×總頭數(shù)-總腿數(shù)）÷2 兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)
例 雞兔同籠共 50 個(gè)頭，170 條腿。問雞兔各有多少只？
兔子只數(shù)（170-2 × 50）÷ 2 =35（只）
雞的只數(shù) 50-35=15（只）
第三章 代數(shù)初步知識(shí)
一、用字母表示數(shù) 用字母表示數(shù)的意義和作用
* 用字母表示數(shù)，可以把數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)明的表達(dá)出來，同時(shí)也可以表示運(yùn)算的結(jié)果。
2用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和性質(zhì)、幾何形體的計(jì)算公式
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（1）常見的數(shù)量關(guān)系
路程用s表示，速度v用表示，時(shí)間用t表示，三者之間的關(guān)系：
s=vt
v=s/t t=s/v
總價(jià)用a表示，單價(jià)用b表示，數(shù)量用c表示，三者之間的關(guān)系: a=bc b=a/c c=a/b
（2）運(yùn)算定律和性質(zhì)
加法交換律：a+b=b+a 加法結(jié)合律：（a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba 乘法結(jié)合律：（ab)c=a(bc)
乘法分配律：（a+b)c=ac+bc 減法的性質(zhì)：a-(b+c)=a-b-c
（3）用字母表示幾何形體的公式
長(zhǎng)方形的長(zhǎng)用a表示，寬用b表示，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示。
c=2(a+b)s=ab
正方形的邊長(zhǎng)a用表示，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示。
c=4a s=a2
平行四邊形的底a用表示，高用h表示，面積用s表示。
s=ah
三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示。
s=ah/2
梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示，面積用s表示。
s=(a+b)h/2 s=mh
圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示。
c=∏d=2∏r s=∏ r2
扇形的半徑用r表示，n表示圓心角的度數(shù)，面積用s表示。
s=∏ nr2/360
長(zhǎng)方體的長(zhǎng)用a表示，寬用b表示，高用h表示，表面積用s表示，體積用v表示。
v=sh
s=2(ab+ah+bh)v=abh
正方體的棱長(zhǎng)用a表示，底面周長(zhǎng)c用表示，底面積用s表示，體積用v表示.s=6a2
v=a3
圓柱的高用h表示，底面周長(zhǎng)用c表示，底面積用s表示，體積用v表示.s側(cè)=ch
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s表=s側(cè)+2s底
v=sh
圓錐的高用h表示，底面積用s表示，體積用v表示.v=sh/3 用字母表示數(shù)的寫法
數(shù)字和字母、字母和字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作“.”，或者省略不寫，數(shù)字要寫在字母的前面。
當(dāng)“1”與任何字母相乘時(shí)，“1”省略不寫。
在一個(gè)問題中，同一個(gè)字母表示同一個(gè)量，不同的量用不同的字母表示。
用含有字母的式子表示問題的答案時(shí)，除數(shù)一般寫成分母，如果式子中有加號(hào)或者減號(hào)，要先用括號(hào)把含字母的式子括起來，再在括號(hào)后面寫上單位的名稱。
4將數(shù)值代入式子求值
* 把具體的數(shù)代入式子求值時(shí)，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式，再把數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫單位名稱。
* 同一個(gè)式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不相同。
二、簡(jiǎn)易方程
（一）方程和方程的解
1方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。
注意方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可。
方程和算術(shù)式不同。算術(shù)式是一個(gè)式子，它由運(yùn)算符號(hào)和已知數(shù)組成，它表示未知數(shù)。方程是一個(gè)等式，在方程里的未知數(shù)可以參加運(yùn)算，并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定的數(shù)值時(shí)，方程才成立。方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。
三、解方程
解方程，求方程的解的過程叫做解方程。
四、列方程解應(yīng)用題
列方程解應(yīng)用題的意義
* 用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的方法。
列方程解答應(yīng)用題的步驟
* 弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示；
* 找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系；
* 列方程，解方程；
* 檢查或驗(yàn)算，寫出答案。
3列方程解應(yīng)用題的方法
* 綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程。這是從部分到整體的一種 思維過程，其思考方向是從已知到未知。
* 分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過程，其思考方向是從未知到已知。
4列方程解應(yīng)用題的范圍
小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題：
a一般應(yīng)用題；
b和倍、差倍問題；
c幾何形體的周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算；
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d 分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；
e 比和比例應(yīng)用題。
五
比和比例
1比的意義和性質(zhì)
（1）比的意義
兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。
“：”是比號(hào)，讀作“比”。比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。
同除法比較，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。
比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時(shí)也可能是整數(shù)。
比的后項(xiàng)不能是零。
根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。
（2）比的性質(zhì)
比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質(zhì)。
（3）
求比值和化簡(jiǎn)比
求比值的方法：用比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)，它的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。
根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。它的結(jié)果必須是一個(gè)最簡(jiǎn)比，即前、后項(xiàng)是互質(zhì)的數(shù)。
（4）比例尺
圖上距離：實(shí)際距離=比例尺
要求會(huì)求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實(shí)際距離；已知實(shí)際距離和比例尺求圖上距離。
線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離。
（5）按比例分配
在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。
比例的意義和性質(zhì)
（1）比例的意義
表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。
組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。
兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng)。
（2）比例的性質(zhì)
在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。
（3）解比例
根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任何三項(xiàng)，就可以求出這個(gè)數(shù)比例中的另外一個(gè)未知項(xiàng)。求比例中的未知項(xiàng)，叫做解比例。
正比例和反比例
（1）成正比例的量
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。
用字母表示y/x=k(一定）
（2）成反比例的量
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積昆明奧數(shù)培訓(xùn)中心 http:// 專業(yè)奧數(shù)學(xué)習(xí)資源，完全免費(fèi)，無須注冊(cè)！
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一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。
用字母表示x×y=k(一定)
第四章 幾何的初步知識(shí)
一 線和角
（1）線
* 直線
直線沒有端點(diǎn)；長(zhǎng)度無限；過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條，過兩點(diǎn)只能畫一條直線。
* 射線
射線只有一個(gè)端點(diǎn)；長(zhǎng)度無限。
* 線段
線段有兩個(gè)端點(diǎn)，它是直線的一部分；長(zhǎng)度有限；兩點(diǎn)的連線中，線段為最短。
*平行線
在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。
兩條平行線之間的垂線長(zhǎng)度都相等。
* 垂線
兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點(diǎn)叫做垂足。
從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂線的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到直線的距離。
（2）角
（1）從一點(diǎn)引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊。
（2）角的分類
銳角：小于90°的角叫做銳角。
直角：等于90°的角叫做直角。
鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。
平角：角的兩邊成一條直線，這時(shí)所組成的角叫做平角。平角180°。
周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重合。周角是360°。
二平面圖形
1長(zhǎng)方形
（1）特征
對(duì)邊相等，4個(gè)角都是直角的四邊形。有兩條對(duì)稱軸。
（2）計(jì)算公式
c=2(a+b)s=ab 2正方形
（1）特征：
四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形。有4條對(duì)稱軸。（2）計(jì)算公式
c=4a s=a2
3三角形
（1）特征
由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。
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（2）計(jì)算公式
s=ah/2
（3）分類
按角分
銳角三角形 ：三個(gè)角都是銳角。
直角三角形 ：有一個(gè)角是直角。等腰三角形的兩個(gè)銳角各為45度，它有一條對(duì)稱軸。
鈍角三角形：有一個(gè)角是鈍角。
按邊分
不等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度不相等。
等腰三角形：有兩條邊長(zhǎng)度相等；兩個(gè)底角相等；有一條對(duì)稱軸。
等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度都相等；三個(gè)內(nèi)角都是60度；有三條對(duì)稱軸。
4平行四邊形
（1）
特征
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。
相對(duì)的邊平行且相等。對(duì)角相等，相鄰的兩個(gè)角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形容易變形。
（2）計(jì)算公式
s=ah 5 梯形
（1）特征
只有一組對(duì)邊平行的四邊形。
中位線等于上下底和的一半。
等腰梯形有一條對(duì)稱軸。
（2）公式
s=(a+b)h/2=mh 6 圓
（1）圓的認(rèn)識(shí)
平面上的一種曲線圖形。
圓中心的一點(diǎn)叫做圓心。一般用字母o表示。
半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用r表示。
在同一個(gè)圓里，有無數(shù)條半徑，每條半徑的長(zhǎng)度都相等。
通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。
同一個(gè)圓里有無數(shù)條直徑，所有的直徑都相等。
同一個(gè)圓里，直徑等于兩個(gè)半徑的長(zhǎng)度，即d=2r。
圓的大小由半徑?jīng)Q定。圓有無數(shù)條對(duì)稱軸。
（2）圓的畫法
把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間的距離（即半徑）；
把有針尖的一只腳固定在一點(diǎn)（即圓心）上；
把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出一個(gè)圓。
（3）圓的周長(zhǎng)
圍成圓的曲線的長(zhǎng)叫做圓的周長(zhǎng)。
把圓的周長(zhǎng)和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。
（4）圓的面積
圓所占平面的大小叫做圓的面積。
（5）計(jì)算公式
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d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r
s=∏r2
7扇形
（1）
扇形的認(rèn)識(shí)
一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。
圓上ab兩點(diǎn)之間的部分叫做弧，讀作“弧ab”。
頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
在同一個(gè)圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān)。
扇形有一條對(duì)稱軸。
(2)計(jì)算公式
s=n∏r2/360 8環(huán)形
(1)特征
由兩個(gè)半徑不相等的同心圓相減而成，有無數(shù)條對(duì)稱軸。
(2)計(jì)算公式
s=∏(r2-r2）
9軸對(duì)稱圖形
(1)特征
如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸。
正方形有4條對(duì)稱軸，長(zhǎng)方形有2條對(duì)稱軸。
等腰三角形有2條對(duì)稱軸，等邊三角形有3條對(duì)稱軸。
等腰梯形有一條對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸。
菱形有4條對(duì)稱軸，扇形有一條對(duì)稱軸。
三 立體圖形
（一）長(zhǎng)方體
特征
六個(gè)面都是長(zhǎng)方形（有時(shí)有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）。
相對(duì)的面面積相等，12條棱相對(duì)的4條棱長(zhǎng)度相等。
有8個(gè)頂點(diǎn)。
相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)、寬、高。
兩個(gè)面相交的邊叫做棱。
三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。
把長(zhǎng)方體放在桌面上，最多只能看到三個(gè)面。
長(zhǎng)方體或者正方體6個(gè)面的總面積，叫做它的表面積。計(jì)算公式
s=2(ab+ah+bh)v=sh v=abh
（二）正方體
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特征
六個(gè)面都是正方形
六個(gè)面的面積相等
12條棱，棱長(zhǎng)都相等
有8個(gè)頂點(diǎn)
正方體可以看作特殊的長(zhǎng)方體
計(jì)算公式
s表=6a2
v=a3
（三）圓柱
1圓柱的認(rèn)識(shí)
圓柱的上下兩個(gè)面叫做底面。
圓柱有一個(gè)曲面叫做側(cè)面。
圓柱兩個(gè)底面之間的距離叫做高。
進(jìn)一法：實(shí)際中，使用的材料都要比計(jì)算的結(jié)果多一些，因此，要保留數(shù)的時(shí)候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進(jìn)1。這種取近似值的方法叫做進(jìn)一法。2計(jì)算公式
s側(cè)=ch
s表=s側(cè)+s底×2 v=sh/3
（四）圓錐
圓錐的認(rèn)識(shí)
圓錐的底面是個(gè)圓，圓錐的側(cè)面是個(gè)曲面。
從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高。
測(cè)量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點(diǎn)上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。
把圓錐的側(cè)面展開得到一個(gè)扇形。2計(jì)算公式
v= sh/3
（五）球
認(rèn)識(shí)
球的表面是一個(gè)曲面，這個(gè)曲面叫做球面。
球和圓類似，也有一個(gè)球心，用o表示。
從球心到球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑，用r表示，每條半徑都相等。
通過球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用d表示,每條直徑都相等,直徑的長(zhǎng)度等于半徑的2倍，即d=2r。
計(jì)算公式
-第五章 簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)
一
統(tǒng)計(jì)表
（一）意義
* 把統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫在一定格式的表格內(nèi)，用來反映情況、說明問題，這樣的表格就叫做統(tǒng)計(jì)表。
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（二）組成部分
* 一般分為表格外和表格內(nèi)兩部分。表格外部分包括標(biāo)的名稱，單位說明和制表日期；表格內(nèi)部包括表頭、橫標(biāo)目、縱標(biāo)目和數(shù)據(jù)四個(gè)方面。
（三）種類
* 單式統(tǒng)計(jì)表：只含有一個(gè)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。
* 復(fù)式統(tǒng)計(jì)表：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。
* 百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)表：不僅表明各統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的具體數(shù)量，而且表明比較量相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)量的百分比的統(tǒng)計(jì)表。
（四）制作步驟
1搜集數(shù)據(jù)
2整理數(shù)據(jù)：
要根據(jù)制表的目的和統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。
3設(shè)計(jì)草表：
要根據(jù)統(tǒng)計(jì)的目的和內(nèi)容設(shè)計(jì)分欄格內(nèi)容、分欄格畫法，規(guī)定橫欄、豎欄各需幾格，每格長(zhǎng)度。正式制表：
把核對(duì)過的數(shù)據(jù)填入表中，并根據(jù)制表要求，用簡(jiǎn)單、明確的語言寫上統(tǒng)計(jì)表的名稱和制表日期。
二
統(tǒng)計(jì)圖
（一）意義
* 用點(diǎn)線面積等來表示相關(guān)的量之間的數(shù)量關(guān)系的圖形叫做統(tǒng)計(jì)圖。
（二）分類
條形統(tǒng)計(jì)圖
用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長(zhǎng)短不同的直條，然后把這些直線按照一定的順序排列起來。
優(yōu)點(diǎn)：很容易看出各種數(shù)量的多少。
注意：畫條形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，直條的寬窄必須相同。
取一個(gè)單位長(zhǎng)度表示數(shù)量的多少要根據(jù)具體情況而確定；
復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖中表示不同項(xiàng)目的直條，要用不同的線條或顏色區(qū)別開，并在制圖日期下面注明圖例。
制作條形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟:
小學(xué)和初中數(shù)學(xué)公式表篇四
江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班
江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)—
小學(xué)升初中語文學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
首先得對(duì)小學(xué)學(xué)習(xí)和初中學(xué)習(xí)的不同有一個(gè)清醒的認(rèn)識(shí)。在學(xué)習(xí)上，小學(xué)階段和初中階段有很大的不同，主要表現(xiàn)在：
1、學(xué)習(xí)科目的增多。
從小學(xué)的兩三門課增加到初中十多門，僅初一年級(jí)就有12門課。學(xué)科的內(nèi)容也更廣、更深、更趨于專業(yè)化，2、教師教學(xué)方法的不同。
3、學(xué)生成長(zhǎng)階段的不同。
面對(duì)這些不同，首先要有一個(gè)清醒地認(rèn)識(shí)，這樣的不同是學(xué)生成長(zhǎng)中的必然，是只能去適應(yīng)的而無法改變的，時(shí)間不可能回到小學(xué)時(shí)期，接受初中的現(xiàn)實(shí)，適應(yīng)并掌握這里的學(xué)習(xí)規(guī)律，才是唯一的正確之路。這就要求做好以下幾點(diǎn)：
1、轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)態(tài)度，認(rèn)清學(xué)習(xí)目標(biāo)。
那么要怎么轉(zhuǎn)變呢？首先要變輕輕松松為勤奮努力。沒有一個(gè)緊張有序，競(jìng)爭(zhēng)拼搏的態(tài)度是很難在初中的學(xué)習(xí)生活中成為佼佼者的。我們把態(tài)度細(xì)化一下，可以問自己幾個(gè)問題．
你上課認(rèn)真聽講了嗎?能堅(jiān)持認(rèn)真聽講到下課嗎? 有課堂筆記嗎?課堂筆記堅(jiān)持寫了嗎?自己不太懂的問題在上面有反映嗎? 預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)練習(xí)認(rèn)真的堅(jiān)持了嗎?是否還是伙伴們的一聲呼喚就丟掉學(xué)習(xí)去玩?zhèn)€痛快呢? 你以什么樣的態(tài)度對(duì)待學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)就會(huì)給你一個(gè)怎樣的分?jǐn)?shù)．結(jié)合自己的實(shí)際制定自己的目標(biāo)，并在目標(biāo)的指引下，堅(jiān)持努力，不斷進(jìn)步．認(rèn)清前進(jìn)的目標(biāo)才能激發(fā)前進(jìn)的動(dòng)力。
２、培養(yǎng)具有良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的治學(xué)能力。
這種治學(xué)能力首先也是最基本的就是，養(yǎng)成預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)練習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。很多學(xué)生說我也在這樣做了，正如所有人都在教室聽課，但效果卻不一樣，差別的原因在于有沒有專心認(rèn)真的去做，并能夠長(zhǎng)期堅(jiān)持。除了養(yǎng)成預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)練習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣外，提高聽課效率也是很重要的。
3、科學(xué)生活與學(xué)習(xí)的幾個(gè)小建議。
(1)養(yǎng)成有規(guī)律作息的生活習(xí)慣。積極鍛煉身體，保持身體健康。(2)重視每一門學(xué)科，重視每一節(jié)課，保證收獲最大。(3)學(xué)習(xí)到了某個(gè)階段而覺得疲勞時(shí)，這時(shí)就得馬上休息一下，要是你不顧這些，繼續(xù)用功，學(xué)習(xí)效率必然低落，因此遇到這種情形，干脆改換一下情結(jié)，方法很多，并不一定要休息，你可以散散步，呼吸新鮮空氣，還可以找不同學(xué)科的書看，這是很好的一種方法。
(4)學(xué)習(xí)主要依賴的感覺通道有視覺、聽覺和運(yùn)動(dòng)知覺。學(xué)習(xí)新內(nèi)容時(shí)，參與學(xué)習(xí)的感官越多，學(xué)生越可能好掌握新知識(shí)。
(5)樹立正確的人生觀、世界觀，培養(yǎng)科學(xué)、理性的思維模式。
總之，在學(xué)習(xí)上那種天真爛漫、無憂無慮的童年時(shí)代，在初中學(xué)習(xí)生活的現(xiàn)江西學(xué)思，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)，江西家教，江西初中家教，江西小升初家教輔導(dǎo),江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)!小班教學(xué)，名師名校，精心打造專業(yè)中小學(xué)輔導(dǎo)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班
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實(shí)，尤其是初中升入高中競(jìng)爭(zhēng)壓力下，將要一去不復(fù)返了，迎接你們的是走向成熟的嶄新的成長(zhǎng)階段。在這里的快樂將會(huì)更多的來源于知識(shí)殿堂里的攀登和科學(xué)海洋里的遨游。初中也是人生求學(xué)道路上第一次分化的開始，小學(xué)畢業(yè)后，大家都會(huì)進(jìn)入不同的初中，而初中畢業(yè)后則不然。希望你們都能夠在更高的學(xué)府里再相見。
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小學(xué)和初中數(shù)學(xué)公式表篇五
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學(xué)習(xí)之道在于悟，成功之道在于己
——中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法
中學(xué)生都很喜歡《功夫之王》和《功夫熊貓》這兩部電影，兩部電影都講述了兩個(gè)從喜愛功夫卻毫無功底的劇中人物最終練成絕世功夫，成就大業(yè)的故事。
《功夫之王》中默僧在傳授杰森功夫時(shí)，有一段精彩的對(duì)白：“畫家以潑墨山水為功夫，屠夫以庖丁解牛為功夫，從有形中求無形，充耳不聞，習(xí)萬家之變，才能自創(chuàng)一家，樂師以輾轉(zhuǎn)悠揚(yáng)為功夫，詩人以天馬行空的文字傾國傾城，這也是功夫，但功夫只能意會(huì)，因?yàn)樗拖袼粯?，水弱于萬物，然而水滴石穿，它并不正面抗衡對(duì)手，而從對(duì)手身邊流過，無形，無狀?！?/p>
套用上述對(duì)白，我們也可以說，學(xué)生以解題為功夫，習(xí)萬題之法，從又招到無招，習(xí)萬題之變，才能自創(chuàng)一家，功夫只能意會(huì)，揭示了學(xué)習(xí)是一個(gè)自我領(lǐng)悟的過程。無獨(dú)有偶，《功夫熊貓》中阿波在最后戰(zhàn)勝太郎時(shí)，熊貓阿波抓住太郎的手指，太郎不可思議地說:“你怎么會(huì)吳氏斷指法，師父不可能教你?！毙茇埌⒉ㄕf：“我會(huì)吳氏斷指法，但師父沒有教我。是我琢磨出來的。”
在這里琢磨就是悟字。我們從中可以理解為學(xué)習(xí)之道在于悟。悟的過程是一個(gè)自我思考、自我反思、自我總結(jié)的過程，如何在學(xué)習(xí)的過程上實(shí)現(xiàn)“悟”呢?
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其一，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)本身就需要有悟的過程。有些知識(shí)需要老師詳細(xì)的講解才能達(dá)到真正的理解，但有些知識(shí)則是只能意會(huì)不可言傳的，即單憑教師講很難使學(xué)生達(dá)到理解的升華。這并不是說就完全削弱了教師的作用，而是說，學(xué)生真正去掌握知識(shí)，達(dá)到對(duì)某一數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，并不是靠老師教出來的，而是靠學(xué)生悟出來的，將所學(xué)的知識(shí)嵌入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中才能達(dá)到真正的理解和掌握。
其二，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是學(xué)會(huì)獨(dú)立思考的過程.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程要防止那種死記硬背，不求甚解的傾向，學(xué)習(xí)中要多問幾個(gè)為什么，多沉下心來琢磨琢磨。一個(gè)問題可以從幾個(gè)不同的方面去思考，做到舉一反三，融會(huì)貫通。我們聽課時(shí)要邊聽邊思考，思考當(dāng)堂的內(nèi)容，思考與本課相關(guān)的知識(shí)體系，思考教師的思路，拿自己的思路與老師的思路比較。聽課中也可以嘗試在老師沒有做出判斷，結(jié)論之前，自己試判斷、試下結(jié)論，看看自己想的與老師講的是否一致。找出對(duì)與不對(duì)的原因，獨(dú)立思考能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的最中心環(huán)節(jié)。
其三，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程是一個(gè)需要練習(xí)的過程。練習(xí)的過程是一個(gè)熟能生巧的過程，反復(fù)練習(xí)正是為了達(dá)到悟的結(jié)果及培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和感覺，訓(xùn)練的過程需要經(jīng)歷一個(gè)由量變到質(zhì)變，一個(gè)無形、無狀的過程，當(dāng)然由于每個(gè)人知識(shí)結(jié)構(gòu)，思維水平和理解能力等的不同，訓(xùn)練的過程和量是不同的，但無論如何訓(xùn)練都不能“為解題而解題”。
其四，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程是把握數(shù)學(xué)的精神過程。數(shù)學(xué)的精神在于用數(shù)學(xué)的思想、方法、策略去思考問題。而一些學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)無論怎樣江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)— 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班
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練習(xí)，也始終難以找到數(shù)學(xué)的感覺。這就需要我們?cè)趯W(xué)習(xí)過中從問題解決中形成一般性的結(jié)論，領(lǐng)悟問題解決中數(shù)學(xué)思想、方法、策略的應(yīng)用。
其五，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程是善于總結(jié)的過程.學(xué)完一章，要做個(gè)小結(jié)；學(xué)完一本書，要做個(gè)總結(jié)。總結(jié)很重要，不同的知識(shí)模塊總結(jié)的方法不盡相同。常做總結(jié)可以幫助比進(jìn)一步理解所學(xué)的知識(shí)，形成較完整的知識(shí)框架。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中要緊緊圍繞概念、公式、法則、定理、定律。思考它們是怎么形成與推導(dǎo)出來的？能應(yīng)用到哪方面？他與哪些知識(shí)有聯(lián)系？通過追根溯源、牢固掌握知識(shí)。通過一課、一節(jié)、一章的復(fù)習(xí)，把自己的想法，思路寫成小結(jié)、列出圖表、或者用提綱摘要的方法，把前面知識(shí)貫穿起來，形成一個(gè)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。
要特別提出的是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程將是一個(gè)無形無狀的過程，是一個(gè)水滴石穿的過程，在于長(zhǎng)期的積累。只有在學(xué)習(xí)過程中不斷去悟，去反復(fù)琢磨，對(duì)每個(gè)問題都沉下心去想，才能達(dá)到太極中所說的“無招勝有招”得境界。
《功夫熊貓》中熊貓阿波得到了龍之神旨后，卻發(fā)現(xiàn)是一片空白，百思不得其解。在逃難的路途中，父親說，自家的秘密配方湯的秘密配方就是什么也都沒有。父親又說，要想做什么特別的東西，你只要相信它是特別的，熊貓阿波悟龍之神旨的真諦;沒有密碼配方，只有你自己。所以熊貓阿波在戰(zhàn)勝太郎自信說出：我不是只尋常的肥熊貓，江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)— 江西學(xué)思教育，江西中小學(xué)暑期輔導(dǎo)專業(yè)權(quán)威機(jī)構(gòu)，致力于為家長(zhǎng)提供放心暑期家教！江西南昌進(jìn)賢上饒市宜春高安新余萍鄉(xiāng)鄱陽奉縣豐城永修中小學(xué)暑期家教培訓(xùn)輔導(dǎo)班
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是一只無與倫比的肥熊貓。熊貓阿波的超級(jí)自信就是成就他的爆發(fā)的秘笈。
所以，成功之道在于己，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)在于自信。自信能激發(fā)每一個(gè)人的無限潛能。那么學(xué)習(xí)的自信源自于哪兒呢？
其一、自信源于對(duì)數(shù)學(xué)的熱情。華羅庚教授在《大哉數(shù)學(xué)之為用》中，精辟地闡述了他對(duì)數(shù)學(xué)的見解：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧。地球之變，生物之迷，日用之繁無處不有數(shù)學(xué)的偉大貢獻(xiàn)?！蔽覀冃枰斫鈹?shù)學(xué)是有用的明白數(shù)學(xué)是有趣的，我們需要熱情，更需要持久的熱誠。所謂持久，不是十天半個(gè)月或一年，應(yīng)是貫穿整個(gè)求學(xué)的時(shí)代乃至一生，唯有由于持久的熱忱所支持著的不斷努力，才是能出成績(jī)的惟一保證。
其二、源于自我的認(rèn)可。對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要有一顆雄心，一顆相信自己能學(xué)好數(shù)學(xué)的雄心。熊貓阿波有著無限的潛能，但它最初的自卑制約了它的潛能。當(dāng)它相信自己能行時(shí)，就迸發(fā)出不可想象的能量。所以，我們要相信“一切皆有可能”。
其三、自信源于堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基本功。我的一個(gè)學(xué)生在筆記本上記錄了他對(duì)基本功的理解：“從今天開始我做的每一道題高考肯定不考。高考的每一道都會(huì)做，并不會(huì)保證都能做對(duì)要關(guān)注對(duì)，而不是會(huì)，解決問題的最好的方法是反復(fù)，不要因?yàn)檫@題簡(jiǎn)單而不去做，不要因?yàn)檫@題做過三遍而不去做，可為難題放棄，決不可為簡(jiǎn)單題放棄，這就是基本功?！睌?shù)學(xué)的基本功是所有問題解決的基石。
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其四、自信源于鍥而不舍。不論是何種成績(jī)（或成就）都是需要多次乃至無數(shù)次失敗來奠基的。數(shù)學(xué)上的失敗不應(yīng)該成為同學(xué)們前進(jìn)的絆腳石，而應(yīng)是同學(xué)們登天的青云梯。
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