2017年北京高考理科數(shù)學(xué)試題答案與解析（word版）

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2017年北京高考理科數(shù)學(xué)試題答案與解析

絕密本科目考試啟用前

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（理）（北京卷）

本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。學(xué)科&網(wǎng)考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

（1）若集合A={x|-2x1}，B={x|x-1或x3}，則AB=

（A）{x|-2x-1}（B）{x|-2x3}

（C）{x|-1x1}（D）{x|1x3}

【答案】A

【解析】，故選A.

（2）若復(fù)數(shù)（1-i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（A）（-∞，1）（B）（-∞，-1）

（C）（1，+∞）（D）（-1，+∞）

【答案】B

【解析】，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得：，故選B.

（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為

（A）2（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】時(shí)，成立，第一次進(jìn)入循環(huán)，成立，第二次進(jìn)入循環(huán)，，成立，第三次進(jìn)入循環(huán)，否，輸出，故選C.

（4）若x，y滿足則x+2y的最大值為

（A）1（B）3

（C）5（D）9

【答案】D

【解析】如圖，畫出可行域，

表示斜率為的一組平行線，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D.

（5）已知函數(shù)，則

（A）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（B）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

（C）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)（D）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

【答案】A

【解析】，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)，是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，故選A.

（6）設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若，使，即兩向量反向，夾角是，那么，反過(guò)來(lái)，若，那么兩向量的夾角為，學(xué)科網(wǎng)并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)，使得，所以是充分不必要條件，故選A.

（7）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為

（A）3（B）2（C）2（D）2

【答案】B

【解析】幾何體是四棱錐，如圖

紅色線為三視圖還原后的幾何體，最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為正方體的對(duì)角線，，故選B.

（8）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是

（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）

（A）1033（B）1053

（C）1073（D）1093

【答案】D

【解析】設(shè)，兩邊取對(duì)數(shù)，，所以，即最接近，故選D.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

（9）若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m=_________.

【答案】2

【解析】

（10）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=-1，a4=b4=8，則=_______.

【答案】1

【解析】

（11）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,0），則|AP|的最小值為___________.

【答案】1

【解析】，所以

（12）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若，=___________.

【答案】

【解析】

（13）能夠說(shuō)明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．若a＞b＞c，則a+b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為______________________________．

【答案】-1，-2，-3

解析】

（14）三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的學(xué)科&網(wǎng)零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=1，2，3.

①記Q1為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是_________.

②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是_________.

【答案】；

三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

（15）（本小題13分）

在△ABC中，=60°，c=a.

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面積.

【答案】

（1）根據(jù)正弦定理

（2）當(dāng)時(shí)

△ABC中

（16）（本小題14分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（I）求證：M為PB的中點(diǎn)；

（II）求二面角B-PD-A的大??；

（III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．

【答案】

（1）連接AC，BD..連接OM

∵PD∥平面MAC且平面PBD平面MAC=MO

∴PD∥MO

∵O為BD中點(diǎn)

∴M為PB中點(diǎn)

（2）取AD中點(diǎn)E，連接PE

∵PA=PD

∴PE⊥AD

又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD平面ABCD=AD

∴PE⊥平面ABCD

建立如圖所示坐標(biāo)系

則B(-2，4，0)P(0，0，)D(2，0，0)A(-2，0，0)

易知平面PDA的法向量

設(shè)平面BPD的法向量，則

∴

∴二面角B-PD-A的平面角

（17）（本小題13分）

為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示為服藥者.

（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；

（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)學(xué)科網(wǎng).選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；學(xué)￥科網(wǎng)

（Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論）

分布列如下

012

p

，即所求數(shù)學(xué)期望為1.

（Ⅲ）由圖知100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大。

（18）（本小題14分）

已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1）.過(guò)點(diǎn)（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點(diǎn).

【答案】

（Ⅰ）把P（1,1）代入y2=2Px得P=∴C:y2=x∴焦點(diǎn)坐標(biāo)（，0）準(zhǔn)線：x=-。

（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+，A（x1，y1），B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=，由題知A(x1，x1)，B(x1，)

k2x2+（k-1）x+=0，x1+x2=，x1·x2=。

，由x1+x2=，x1x2=，

上式∴A為線段BM中點(diǎn)。

（19）（本小題13分）

已知函數(shù)f（x）=excosxx.

（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的最大值和最小值.

【答案】

（Ⅰ）f(x)=ex·cosx－x∴f(0)=1

∴f(x)=ex（cosx－sinx）－1

f(0)=0

∴y=f(x)在（0，f(0)）處切線過(guò)點(diǎn)（0,1），k=0

∴切線方程為y=1

（Ⅱ）f(x)=ex（cosx-sinx）－1，設(shè)f(x)=g(x)

∴g(x)=－2sinx·ex≤0∴g(x)在［0，］上單調(diào)遞減，

∴g(x)≤g(0)=0∴f’（x）≤0∴f(x)在［0，］上單調(diào)遞減，

f(x)max=f(0)=1

∴f(x)min=f()=－

（20）（本小題13分）

設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記

，

其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．

（Ⅰ）若，，求的值，并證明是等差數(shù)列；

（Ⅱ）證明：或者對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列．

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

所以，對(duì)于且，都有，只需比較與其他項(xiàng)的大小比較

當(dāng)且1<k<n時(shí)，

=（1-k）n+2(k-1)=（k-1）(2-n)

因?yàn)閗-1>0,且2-n<0,所以

所以對(duì)于且=1-n

所以

又

所以是以首項(xiàng)d=-1為公差的等差數(shù)列。

（Ⅱ）

（1）設(shè)、的公差為，對(duì)于

其中任意項(xiàng)（,1<i<n）

①若

則對(duì)于給定的正整數(shù)n，

此時(shí)，故數(shù)列為等差數(shù)列

②若

則對(duì)于給定正整數(shù)n，

此時(shí)，∴數(shù)列為等差數(shù)列

(3)若此時(shí)為一個(gè)關(guān)于n的一次函數(shù)，

故必存在，當(dāng)n≥S，

則當(dāng)n≥S時(shí)，

因此當(dāng)n≥S時(shí)，

此時(shí)，

令,,

下證：對(duì)任意正數(shù)M，存在,學(xué)%科%網(wǎng)當(dāng)n≥m時(shí)

①取取([x]取不大于x的整數(shù))

n≥m時(shí)，=A()+B＞A

成立

②若C＜0，取

當(dāng)n≥m時(shí)，

成立

綜上，對(duì)任意正整數(shù)M存在，當(dāng)n≥m時(shí)

命題得證.

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