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垂直于弦的直徑的推論篇一
：
(1)理解圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理的推證過(guò)程；能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證明；
(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；
(3)通過(guò)圓的對(duì)稱性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對(duì)的熱愛(ài).
、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：①垂徑定理及應(yīng)用；②從感性到理性的能力.
難點(diǎn)：垂徑定理的證明.
活動(dòng)設(shè)計(jì)：
1、實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對(duì)稱性，教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)不變性.2、提出問(wèn)題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.
通過(guò)“演示實(shí)驗(yàn)——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
已知：在⊙o中，cd是直徑，ab是弦，cd⊥ab，垂足為e.
求證：ae=eb， = ， = .
證明：連結(jié)oa、ob，則oa=ob.又∵cd⊥ab，∴直線cd是等腰△oab的對(duì)稱軸，又是⊙o的對(duì)稱軸.所以沿著直徑cd折疊時(shí)，cd兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，a點(diǎn)和b點(diǎn)重合，ae和be重合， 、 分別和 、 重合.因此，ae=be， = ， = .從而得到圓的一條重要性質(zhì).
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：
cd為⊙o的直徑，cd⊥ab ae=eb， = ， = .
為了運(yùn)用的方便，不易出現(xiàn)錯(cuò)誤，將原定理敘述為：①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧.加深對(duì)定理的理解，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)，避免學(xué)生記混.
例1、如圖，已知在⊙o中，弦ab的長(zhǎng)為8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑.
分析：要求⊙o的半徑，連結(jié)oa，只要求出oa的長(zhǎng)就可以了，因?yàn)橐阎獥l件點(diǎn)o到ab的距離為3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此時(shí)解rt△aoe即可.
解：連結(jié)oa，作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm，∴ae=4cm.
又∵oe=3cm，
在rt△aoe中，
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說(shuō)明：①學(xué)生獨(dú)立完成，老師指導(dǎo)解題步驟；②應(yīng)用垂徑定理計(jì)算：涉及四條線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)
關(guān)系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以o為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c、d兩點(diǎn).求證ac=bd.（證明略）
說(shuō)明：此題為基礎(chǔ)題目，對(duì)各個(gè)層次的學(xué)生都要求獨(dú)立完成.
練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1，2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開(kāi)評(píng)價(jià)、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
教師組織學(xué)生進(jìn)行：
知識(shí)：(1)圓的軸對(duì)稱性；(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的方法，構(gòu)造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過(guò)圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧.
教材p84中11、12、13.
：
（1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個(gè)推論及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用；
（2）通過(guò)對(duì)推論的探討，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，概括問(wèn)題的能力.促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高
（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關(guān)系.
、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：①垂徑定理的兩個(gè)推論；②對(duì)推論的探究方法.
難點(diǎn)：垂徑定理的推論1.
活動(dòng)設(shè)計(jì)：
1、復(fù)習(xí)提問(wèn)：定理：平分這條弦，并且平分弦所對(duì)應(yīng)的兩條弧.
2、剖析：
（教師指導(dǎo)）
(二)新組合，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題：（a層學(xué)生自己組合，小組交流，b層學(xué)生老師引導(dǎo)）
， ，……（包括原定理，一共有10種）
(三)探究新問(wèn)題，歸納新結(jié)論：
練習(xí)1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”這句話對(duì)嗎?為什么?
（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習(xí)2、按圖填空：在⊙o中，
（1）若mn⊥ab，mn為直徑，則________，________，________；
（2）若ac＝bc，mn為直徑，ab不是直徑，則則________，________，________；
（3）若mn⊥ab，ac＝bc，則________，________，________；
（4）若 = ，mn為直徑，則________，________，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
例、四等分 .
（a層學(xué)生自主完成，對(duì)于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成）
教材p80中的第3題圖，是典型的錯(cuò)誤作.
此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來(lái)平分弧的方法，通過(guò)學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力；通過(guò)與教材p80中的第3題圖的對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)感性知識(shí)的認(rèn)識(shí)及理性知識(shí)的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
知識(shí)：垂徑定理的兩個(gè)推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
教材p84中14題.
⑴要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論，會(huì)解決有關(guān)的證明，計(jì)算問(wèn)題.
⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?；提高學(xué)生方程思想、分類討論思想的應(yīng)用意識(shí).
⑶通過(guò)例4（趙州橋）對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的；并向?qū)W生滲透來(lái)源于實(shí)踐，又反過(guò)來(lái)服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義思想
：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用
：如何進(jìn)行輔助線的添加
1.垂徑定理及其推論1：對(duì)于一條直線和一個(gè)圓來(lái)說(shuō)，具備下列五個(gè)條件中的任何個(gè)，那么也具有其他三個(gè)：⑴ 直線過(guò)圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 ；⑸ 平分弦所對(duì)的劣弧.可簡(jiǎn)記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計(jì)算（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究）
涉及四條線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)
關(guān)系：r =h+d?? ;? r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學(xué)生歸納）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .------構(gòu)造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關(guān)系；同時(shí)為圓中的計(jì)算、作圖提供依據(jù).
：（讓學(xué)生分析，交流，解答，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納）
例1、1300多年前，我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為374米，拱高(弧中點(diǎn)到弦的距離，也叫弓形的高)為72米，求橋拱的半徑(精確到01米).
說(shuō)明：①對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的；②應(yīng)用題的解題思路：實(shí)際問(wèn)題——（轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形）——問(wèn)題.
例2、已知：⊙o的半徑為5 ，弦ab∥cd ，ab =6 ，cd =8 .求：ab與cd間的距離.（讓學(xué)生畫(huà)圖）
解：分兩種情況：
（1）當(dāng)弦ab、cd在圓心o的兩側(cè)
過(guò)點(diǎn)o作ef⊥ab于e，連結(jié)oa、oc，
又∵ab∥cd，∴ef⊥cd.（作輔助線是難點(diǎn)，學(xué)生往往作oe⊥ab，of⊥ab，就得ef=oe+of，錯(cuò)誤的結(jié)論）
由ef過(guò)圓心o，ef⊥ab，ab =6，得ae=3，
在rt△oea中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：of=3
∴ef=oe+of=4+3=7.
（2）當(dāng)弦ab、cd在圓心o的同側(cè)
同（1）的方法可得：oe=4，of=3.
∴.
說(shuō)明：①此題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問(wèn)題；②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖，ab是⊙o的弦，半徑oc∥ab ，ab=24 ，oc =15 .求：bc的長(zhǎng).
解：（略，過(guò)o作oe⊥ae于e ，過(guò)b作bf⊥oc于f ， =）
說(shuō)明：通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.
p8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬ab=600mm，求油的最大深度.
學(xué)生分析，教師適當(dāng)點(diǎn)撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來(lái)解決.
1垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.
2. 應(yīng)用定理可以證明的問(wèn)題；注重構(gòu)造思想，方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.
教材p84中15、16題，p85中b組2、3題.
如圖，直線mn與⊙o交于點(diǎn)a、b，cd是⊙o的直徑，ce⊥mn于e，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.
（1）線段ae、bf之間存在怎樣的關(guān)系？線段ce、oh、df之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.
（2）當(dāng)直線cd的兩個(gè)端點(diǎn)在mn兩側(cè)時(shí)，上述關(guān)系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由.
（答案提示：（1）ae=bf，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立，ce+df=、df、oh之間應(yīng)滿足）
垂直于弦的直徑的推論篇二
【教學(xué)內(nèi)容】 垂徑定理
【教學(xué)目標(biāo)】
1.知識(shí)目標(biāo)：①通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生理解圓的軸對(duì)稱性；
②掌握垂徑定理，理解其證明，并會(huì)用它解決有關(guān)的證明與計(jì)算問(wèn)題；
③掌握輔助線的作法——過(guò)圓心作一條與弦垂直的線段。
2.能力目標(biāo)：①通過(guò)定理探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯思維和歸納概括能力；
②向?qū)W生滲透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3.情感目標(biāo)：①結(jié)合本課教學(xué)特點(diǎn)，向?qū)W生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育和美育滲透；
②激發(fā)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣和欲望。
【教學(xué)重點(diǎn)】垂徑定理及其應(yīng)用。
【教學(xué)難點(diǎn)】垂徑定理的證明。
【教學(xué)方法】探究發(fā)現(xiàn)法。
【教具準(zhǔn)備】自制的教具、自制課件、實(shí)物投影儀、電腦、三角板、圓規(guī)。
【教學(xué)設(shè)計(jì)】
一
1 放映幻燈片，請(qǐng)同學(xué)們觀察幾幅圖片，看他們有什么共同特點(diǎn)？
那么圓具有這樣的特點(diǎn)嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？你能找到多少條對(duì)稱軸？
你是用什么方法解決上述問(wèn)題的？與同伴進(jìn)行交流.
（老師點(diǎn)評(píng)）圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是直徑，我能找到無(wú)數(shù)多條直徑.
4.
1.實(shí)例：同學(xué)們都學(xué)過(guò)《中國(guó)石拱橋》這篇課文（初二語(yǔ)文第三冊(cè)第一課·茅以升），其中介紹了我國(guó)隋代工匠李春建造的趙州橋（如圖）。因它位于現(xiàn)在的歷史文化名城河北省趙縣（古稱趙州）而得名，是世界上現(xiàn)存最早、保存最好的巨大石拱橋，距今已有1400多年歷史，被譽(yù)為“華北四寶之一”，它的結(jié)構(gòu)是當(dāng)時(shí)世界橋梁界的首創(chuàng)，這充分顯示了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的創(chuàng)造智慧。
2.導(dǎo)入：趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖1），它的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）為37.4米拱高（弧的中點(diǎn)到弦ab的距離，
也叫弓高）為7.2米。請(qǐng)問(wèn)：橋拱的半徑（即弧ab所在圓的半徑）是多少？
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們將能很容易解決這一問(wèn)題。????? （圖1幻燈片放映）
（一）學(xué)生活動(dòng)
1讓學(xué)生將準(zhǔn)備好的一張圓形紙片按下列條件操作；教師用電腦演示重疊的過(guò)程。
如圖，ab是⊙o的一條弦，做直徑cd，使cd⊥ab，垂足為e.
2教師用電腦演示重疊的過(guò)程。
提問(wèn)：（1）如圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？
（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由.
（老師點(diǎn)評(píng)）（1）是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是cd.
（2）ae=be，ad=bd ?ac=bc
1.引導(dǎo)證明：
引導(dǎo)學(xué)生從以下兩方面尋找證明思路。
①證明“ae=be”，可通過(guò)連結(jié)oa、ob來(lái)實(shí)現(xiàn)，利用等腰三角形性質(zhì)證明。
②證明“弧相等”，就是要證明它們“能夠完全重合”，可利用圓的對(duì)稱性證明。
2.歸納定理：
根據(jù)上面的證明，請(qǐng)學(xué)生自己用文字語(yǔ)文進(jìn)行歸納，并將其命名為“垂徑定理”。
3.鞏固定理：
a
d
在下列圖形能否利用“垂徑定理”得到相等的線段和相等的?。咳舨荒埽f(shuō)明理由；。
a
b
c
c
e
a
b
o
e
b
c
o
c
c
e
e
a
b
e
b
a
b
a
d
d
d
向?qū)W生強(qiáng)調(diào)：(1)定理中的兩個(gè)條件缺一不可；(2)定理的變式圖形。
1.運(yùn)用定理解決趙州橋的問(wèn)題。
〖例1〗 導(dǎo)入：趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖1），它的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）為37.4米拱高（弧的中點(diǎn)到弦ab的距離，
也叫弓高）為7.2米。請(qǐng)問(wèn)：橋拱的半徑（即弧ab所在圓的半徑）是多少 ？
分析：如圖，用ab ??表示主橋拱，設(shè) ab? 所在圓的圓心為o，半徑為r.經(jīng)過(guò)圓心o 作弦ab 的垂線oc，d為垂足，oc與ab 相交于點(diǎn)d，根據(jù)前面的結(jié)論，d 是ab 的中點(diǎn)，c是 ab? 的中點(diǎn)，cd 就是拱高
在圖中ab=37.4，cd=7.2
ad=1/2ab=1/2×37.4=18.7
od=oc-cd=r-7.2
在rt△oad中，由勾股定理，得
oa2=ad2+od2
即???????? r2=18.72+（r－7.2）2
解得：r≈27.9（m）
答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.
例2 如圖，在⊙o中，弦ab的長(zhǎng)為8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑.
解??????????????????????????
答：⊙o的半徑為5cm.
請(qǐng)大家圍繞以下兩個(gè)問(wèn)題小結(jié)本節(jié)課
① 學(xué)習(xí)了一個(gè)與圓有關(guān)的重要定理，定 理的內(nèi)容是什么？
② 在圓中解決與弦有關(guān)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常做的輔助線是什么？
教材88頁(yè)練習(xí)1，2題
2教材95頁(yè)習(xí)題24.1?? 7、8、9；
垂直于弦的直徑的推論篇三
第一課時(shí) 垂直于弦的直徑(一)
教學(xué)目標(biāo):
(1)理解圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理的推證過(guò)程;能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證實(shí);
(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;
(3)通過(guò)圓的對(duì)稱性,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的審美觀,并激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài).
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
重點(diǎn):①垂徑定理及應(yīng)用;②從感性到理性的學(xué)習(xí)能力.
難點(diǎn):垂徑定理的證實(shí).
教學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì):
(一)實(shí)驗(yàn)活動(dòng),提出問(wèn)題:
1、實(shí)驗(yàn):讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對(duì)稱性,教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn):圓具有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)不變性.
2、提出問(wèn)題:老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.
通過(guò)“演示實(shí)驗(yàn)——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
(二)垂徑定理及證實(shí):
已知:在⊙o中,cd是直徑,ab是弦,cd⊥ab,垂足為e.
求證:ae=eb, = , = .
證實(shí):連結(jié)oa、ob,則oa=ob.又∵cd⊥ab,∴直線cd是等腰△oab的對(duì)稱軸,又是⊙o的對(duì)稱軸.所以沿著直徑cd折疊時(shí),cd兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合,a點(diǎn)和b點(diǎn)重合,ae和be重合, 、 分別和 、 重合.因此,ae=be, = , = .從而得到圓的一條重要性質(zhì).
垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論:
cd為⊙o的直徑,cd⊥ab ae=eb, = , = .
為了運(yùn)用的方便,不易出現(xiàn)錯(cuò)誤,將原定理敘述為:①過(guò)圓心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.加深對(duì)定理的理解,突出重點(diǎn),分散難點(diǎn),避免學(xué)生記混.
(三)應(yīng)用和練習(xí)
例1、如圖,已知在⊙o中,弦ab的長(zhǎng)為8cm,圓心o到ab的距離為3cm,求⊙o的半徑.
分析:要求⊙o的半徑,連結(jié)oa,只要求出oa的長(zhǎng)就可以了,因?yàn)橐阎獥l件點(diǎn)o到ab的距離為3cm,所以作oe⊥ab于e,而ae=eb= ab=4cm.此時(shí)解rt△aoe即可.
解:連結(jié)oa,作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm,∴ae=4cm.
又∵oe=3cm,
在rt△aoe中,
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說(shuō)明:①學(xué)生獨(dú)立完成,老師指導(dǎo)解題步驟;②應(yīng)用垂徑定理計(jì)算:涉及四條線段的長(zhǎng):弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)
關(guān)系:r = h d;r2 = d2 (a/2)2
例2、 已知:如圖,在以o為圓心的兩個(gè)同心圓中,大圓的弦ab交小圓于c、d兩點(diǎn).求證ac=bd.(證實(shí)略)
說(shuō)明:此題為基礎(chǔ)題目,對(duì)各個(gè)層次的學(xué)生都要求獨(dú)立完成.
練習(xí)1:教材p78中練習(xí)1,2兩道題.由學(xué)生分析思路,學(xué)生之間展開(kāi)評(píng)價(jià)、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納:①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形,垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的常用方法;②在圓中解決弦的有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
(四)小節(jié)與反思
教師組織學(xué)生進(jìn)行:
知識(shí):(1)圓的軸對(duì)稱性;(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法:(1)垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的方法,構(gòu)造直角三角形;(2)在因中解決與弦有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距;(3)為了更好理解垂徑定理,一條直線只要滿足①過(guò)圓心;②垂直于弦;則可得③平分弦;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.
(五)作業(yè)
教材p84中11、12、13.
第二課時(shí) 垂直于弦的直徑(二)
教學(xué)目標(biāo):
(1)使學(xué)生把握垂徑定理的兩個(gè)推論及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用;
(2)通過(guò)對(duì)推論的探討,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,概括問(wèn)題的能力.促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高
(3)滲透一般到非凡,非凡到一般的辯證關(guān)系.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
重點(diǎn):①垂徑定理的兩個(gè)推論;②對(duì)推論的探究方法.
難點(diǎn):垂徑定理的推論1.
學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì):
(一)分解定理(對(duì)定理的剖析)
1、復(fù)習(xí)提問(wèn):定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)應(yīng)的兩條弧.
2、剖析:
(教師指導(dǎo))
(二)新組合,發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題:(a層學(xué)生自己組合,小組交流,b層學(xué)生老師引導(dǎo))
, ,……(包括原定理,一共有10種)
(三)探究新問(wèn)題,歸納新結(jié)論:
(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦對(duì)應(yīng)的兩條弧.
(2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦對(duì)應(yīng)的兩條弧.
(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.
(4)圓的兩條平行線所夾的弧相等.
(四)鞏固練習(xí):
練習(xí)1、“平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧”這句話對(duì)嗎?為什么?
(在推論1(1)中,為什么要附加“不是直徑”這一條件.)
練習(xí)2、按圖填空:在⊙o中,
(1)若mn⊥ab,mn為直徑,則________,________,________;
(2)若ac=bc,mn為直徑,ab不是直徑,則則________,________,________;
(3)若mn⊥ab,ac=bc,則________,________,________;
(4)若 = ,mn為直徑,則________,________,________.
(此題目的:鞏固定理和推論)
(五)應(yīng)用、反思
例、四等分 .
(a層學(xué)生自主完成,對(duì)于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成)
教材p80中的第3題圖,是典型的錯(cuò)誤作.
此題目的:是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來(lái)平分弧的方法,通過(guò)學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力;通過(guò)與教材p80中的第3題圖的對(duì)比,加深學(xué)生對(duì)感性知識(shí)的熟悉及理性知識(shí)的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
(六)小結(jié):
知識(shí):垂徑定理的兩個(gè)推論.
能力:①推論的研究方法;②平分弧的作圖.
(七)作業(yè):教材p84中14題.
第三課時(shí) 垂徑定理及推論在解題中的應(yīng)用
教學(xué)目的:
⑴要求學(xué)生把握垂徑定理及其推論,會(huì)解決有關(guān)的證實(shí),計(jì)算問(wèn)題.
⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?提高學(xué)生方程思想、分類討論思想的應(yīng)用意識(shí).
⑶通過(guò)例4(趙州橋)對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的教育;并向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐,又反過(guò)來(lái)服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義思想
教學(xué)重點(diǎn):垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn):如何進(jìn)行輔助線的添加
教學(xué)內(nèi)容:
(一)復(fù)習(xí)
1.垂徑定理及其推論1:對(duì)于一條直線和一個(gè)圓來(lái)說(shuō),具備下列五個(gè)條件中的任何個(gè),那么也具有其他三個(gè):⑴ 直線過(guò)圓心 ;⑵ 垂直于弦 ;⑶ 平分弦 ;⑷ 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 ;⑸ 平分弦所對(duì)的劣弧.可簡(jiǎn)記為:“知2推3”
推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計(jì)算(這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究)
涉及四條線段的長(zhǎng):弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)
關(guān)系:r = h d ; r2 = d2 (a/2)2
3.常添加的輔助線:(學(xué)生歸納)
⑴ 作弦心距 ;⑵ 作半徑 .構(gòu)造直角三角形
4.可用于證實(shí):線段相等、弧相等、角相等、垂直關(guān)系;同時(shí)為圓中的計(jì)算、作圖提供依據(jù).
(二)應(yīng)用例題:(讓學(xué)生分析,交流,解答,老師引導(dǎo)學(xué)生歸納)
例1、1300多年前,我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4米,拱高(弧中點(diǎn)到弦的距離,也叫弓形的高)為7.2米,求橋拱的半徑(精確到0.1米).
說(shuō)明:①對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的教育;②應(yīng)用題的解題思路:實(shí)際問(wèn)題——(轉(zhuǎn)化,構(gòu)造直角三角形)——數(shù)學(xué)問(wèn)題.
例2、已知:⊙o的半徑為5 ,弦ab∥cd ,ab = 6 ,cd =8 .求:ab與cd間的距離.(讓學(xué)生畫(huà)圖)
解:分兩種情況:
(1)當(dāng)弦ab、cd在圓心o的兩側(cè)
過(guò)點(diǎn)o作ef⊥ab于e,連結(jié)oa、oc,
又∵ab∥cd,∴ef⊥cd.(作輔助線是難點(diǎn),學(xué)生往往作oe⊥ab,of⊥ab,就得ef=oe of,錯(cuò)誤的結(jié)論)
由ef過(guò)圓心o,ef⊥ab,ab = 6,得ae=3,
在rt△oea中,由勾股定理,得
,∴
同理可得:of=3
∴ef=oe of=4 3=7.
(2)當(dāng)弦ab、cd在圓心o的同側(cè)
同(1)的方法可得:oe=4,of=3.
∴.
說(shuō)明:①此題主要是滲透分類思想,培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維和解題方法:確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問(wèn)題;②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知:如圖,ab是⊙o的弦,半徑oc∥ab ,ab=24 ,oc = 15 .求:bc的長(zhǎng).
解:(略,過(guò)o作oe⊥ae于e ,過(guò)b作bf⊥oc于f , = )
說(shuō)明:通過(guò)添加輔助線,構(gòu)造直角三角形,并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.
(三)應(yīng)用練習(xí):
p8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示,若油面寬ab=600mm,求油的最大深度.
學(xué)生分析,教師適當(dāng)點(diǎn)撥.
分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差,從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形,然后利用垂徑定理和勾股定理來(lái)解決.
(四)小結(jié):
1. 垂徑定理及其推論的應(yīng)用注重指明條件.
2. 應(yīng)用定理可以證實(shí)的問(wèn)題;注重構(gòu)造思想,方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.
(五)作業(yè):教材p84中15、16題,p85中b組2、3題.
探究活動(dòng)
如圖,直線mn與⊙o交于點(diǎn)a、b,cd是⊙o的直徑,ce⊥mn于e,df⊥mn于f,oh⊥mn于h.
(1)線段ae、bf之間存在怎樣的關(guān)系?線段ce、oh、df之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.
(2)當(dāng)直線cd的兩個(gè)端點(diǎn)在mn兩側(cè)時(shí),上述關(guān)系是否仍能成立?假如不成立,它們之間又有什么關(guān)系?并說(shuō)明理由.
(答案提示:(1)ae=bf,ce df=2oh,(2)ae=bf仍然成立,ce df=、df、oh之間應(yīng)滿足)
垂直于弦的直徑的推論篇四
教學(xué)目標(biāo)1、使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個(gè)推論；2、會(huì)利用推論1作一些簡(jiǎn)單的作圖題.3、繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括問(wèn)題的能力及動(dòng)手操作的基本技能；教學(xué)重點(diǎn)： 垂徑定理的兩個(gè)推論.教學(xué)難點(diǎn)：垂徑定理的推論1.教學(xué)過(guò)程：一、新課引入：同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓的重要性質(zhì)垂徑定理.請(qǐng)兩名中等生回答定理內(nèi)容，并說(shuō)出這個(gè)定理的題設(shè)和結(jié)論.這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察.若（1）過(guò)圓心；（2）垂直于弦；則（3）平分弦；（4）平分這條弦所對(duì)的優(yōu)??；（5）平分這條弦所對(duì)的劣弧.將（2）和（3）對(duì)調(diào)，得到一個(gè)命題，將（1）和（3）對(duì)調(diào)，得到一個(gè)命題；然后將（2）和（4）或（5）對(duì)調(diào)，又得到一個(gè)命題.接著又將直徑cd旋轉(zhuǎn)到和弦ab平行時(shí)，又出現(xiàn)一個(gè)新命題.這時(shí)教師點(diǎn)題.“9.3垂直于弦的直徑（二）”.剛才得到的四個(gè)命題，就是我們本節(jié)要學(xué)習(xí)的垂徑定理的兩個(gè)推論.教師這樣做的目的是讓學(xué)生明白垂徑定理的兩個(gè)推論，就是在原來(lái)定理的題設(shè)和結(jié)論做一小小的調(diào)換而得到的，使學(xué)生感覺(jué)新知識(shí)不新，容易產(chǎn)生興趣，減輕學(xué)生的心理壓力，使學(xué)生充滿著自信投入到教學(xué)活動(dòng)中.二、新課講解：為了使學(xué)生真正體驗(yàn)垂徑定理的重要，在取材處理上，沒(méi)有象教科書(shū)那樣直接給出推論1、推論2.而是將垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行對(duì)調(diào)，發(fā)現(xiàn)新命題，總結(jié)新命題，教師概括出推論1.再進(jìn)一步將垂徑定理的直徑旋轉(zhuǎn)到和弦ab平行時(shí)，又得到一個(gè)新命題，也就是推論2.這樣不僅讓學(xué)生了解了新知識(shí)與舊知識(shí)之間的聯(lián)系，也體現(xiàn)了知識(shí)的連貫性和系統(tǒng)性.這樣既開(kāi)發(fā)了學(xué)生的智力，又調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.同時(shí)又增強(qiáng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).學(xué)習(xí)提問(wèn)：請(qǐng)回答垂徑定理內(nèi)容，并敘述定理的題設(shè)和結(jié)論.學(xué)生回答，教師板書(shū)，畫(huà)出圖形.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.若①過(guò)圓心，②垂直于弦，則③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，⑤平分弦所對(duì)的劣弧.題? 設(shè)???????????????????????????????????? 結(jié)? 論將②和③對(duì)調(diào)，可得新命題為：
由于一個(gè)圓的任意兩條直徑互相平分，但是它們不一定是互相垂直的.所以得到上面命題的結(jié)論，必須加上“弦不是直徑”這一條件.教師用文字?jǐn)⑹鰹椋海?）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；將①和③對(duì)調(diào)，又得新命題為：④直線cd平分acb，⑤直線cd平分adb.從而得到：（2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弦；（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.以上三條是垂徑定理的推論1；請(qǐng)同學(xué)繼續(xù)觀察，當(dāng)直徑cd旋轉(zhuǎn)與弦ab平行時(shí)，可得新的命題為：
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.教師引導(dǎo)學(xué)生回述證明過(guò)程.數(shù)學(xué)表述成為：ab∥cd = .接著做練習(xí)：練習(xí)1：“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”這句話對(duì)嗎？為什么？練習(xí)2：按圖7-14填空：在⊙o中，
（1）若mn⊥ab，mn為直徑，則______，______，______；（2）若ac=bc，mn為直徑，ab不是直徑，則______，______，______；（3）若mn⊥ab，ac=cb，則______，______，（4）若 = ，mn為直徑，則______，______，______.這兩個(gè)練習(xí)題學(xué)生回答，學(xué)生評(píng)價(jià).練習(xí)題做完后教師接著講例3.例3? 平分已知弧 .教師引導(dǎo)學(xué)生回答已知，求作.
已知： .求作： 的中點(diǎn).分析：要將 兩等分，如何確定 的中點(diǎn)呢？學(xué)生在教師的啟發(fā)下，想出作圓的方法，這時(shí)教師進(jìn)一步提出問(wèn)題；連結(jié)ab，作ab的垂直平分線交 于點(diǎn)e，為什么可以說(shuō)e點(diǎn)是 的中點(diǎn)呢？根據(jù)什么？作圖由學(xué)生自己完成.教師這樣做的目的是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)平分弧的方法，通過(guò)積極思考得到解決辦法，這樣理解深刻，不容易出錯(cuò).練習(xí)3：p.80中3（由學(xué)生完成）略.三、課堂小結(jié)：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了垂徑定理的兩個(gè)推論.利用推論1舉出平分弧的作圖.四、布置作業(yè)p.84中14題.補(bǔ)充作業(yè)：1.已知：如圖7-15，ab為⊙o的直徑，cd為弦，ec⊥cd，fd⊥cd，垂足分別為c，d.求證：ae=bf.
2.已知：如圖7-16，ab為⊙o直徑，cd為弦，ae⊥cd，bf⊥cd，垂足分別為e，f.求證：（1）cf=de（2）∠oef=zofe
垂直于弦的直徑的推論篇五
目標(biāo)：
(1)理解圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理的推證過(guò)程；能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證明；
(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；
(3)通過(guò)圓的對(duì)稱性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài).
重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：①垂徑定理及應(yīng)用；②從感性到理性的學(xué)習(xí)能力.
難點(diǎn)：垂徑定理的證明.
學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
1、實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對(duì)稱性，引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)不變性.
2、提出問(wèn)題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.
通過(guò)“演示實(shí)驗(yàn)——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
已知：在⊙o中，cd是直徑，ab是弦，cd⊥ab，垂足為e.
求證：ae=eb， =， =.
證明：連結(jié)oa、ob，則oa=ob.又∵cd⊥ab，∴直線cd是等腰△oab的對(duì)稱軸，又是⊙o的對(duì)稱軸.所以沿著直徑cd折疊時(shí)，cd兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，a點(diǎn)和b點(diǎn)重合，ae和be重合， 、 分別和 、 重合.因此，ae=be， =， =.從而得到圓的一條重要性質(zhì).
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：
cd為⊙o的直徑，cd⊥ab ae=eb， =， =.
為了運(yùn)用的方便，不易出現(xiàn)錯(cuò)誤，將原定理敘述為：①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.加深對(duì)定理的理解，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)，避免學(xué)生記混.
例1、如圖，已知在⊙o中，弦ab的長(zhǎng)為8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑.
分析：要求⊙o的半徑，連結(jié)oa，只要求出oa的長(zhǎng)就可以了，因?yàn)橐阎獥l件點(diǎn)o到ab的距離為3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此時(shí)解rt△aoe即可.
解：連結(jié)oa，作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm，∴ae=4cm.
又∵oe=3cm，
在rt△aoe中，
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說(shuō)明：①學(xué)生獨(dú)立完成，老師指導(dǎo)解題步驟；②應(yīng)用垂徑定理計(jì)算：涉及四條線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)
關(guān)系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以o為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c、d兩點(diǎn).求證ac=bd.（證明略）
說(shuō)明：此題為基礎(chǔ)題目，對(duì)各個(gè)層次的學(xué)生都要求獨(dú)立完成.
練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1，2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開(kāi)評(píng)價(jià)、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
組織學(xué)生進(jìn)行：
知識(shí)：(1)圓的軸對(duì)稱性；(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的方法，構(gòu)造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過(guò)圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.
教材p84中11、12、13.
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垂直于弦的直徑的推論篇六
：
(1)理解圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理的推證過(guò)程；能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證明；
(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；
(3)通過(guò)圓的對(duì)稱性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對(duì)的熱愛(ài).
、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：①垂徑定理及應(yīng)用；②從感性到理性的能力.
難點(diǎn)：垂徑定理的證明.
活動(dòng)設(shè)計(jì)：
1、實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對(duì)稱性，教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)不變性.2、提出問(wèn)題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.
通過(guò)“演示實(shí)驗(yàn)——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
已知：在⊙o中，cd是直徑，ab是弦，cd⊥ab，垂足為e.
求證：ae=eb， =， =.
證明：連結(jié)oa、ob，則oa=ob.又∵cd⊥ab，∴直線cd是等腰△oab的對(duì)稱軸，又是⊙o的對(duì)稱軸.所以沿著直徑cd折疊時(shí)，cd兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，a點(diǎn)和b點(diǎn)重合，ae和be重合， 、 分別和 、 重合.因此，ae=be， =， =.從而得到圓的一條重要性質(zhì).
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：
cd為⊙o的直徑，cd⊥ab ae=eb， =， =.
為了運(yùn)用的方便，不易出現(xiàn)錯(cuò)誤，將原定理敘述為：①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.加深對(duì)定理的理解，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)，避免學(xué)生記混.
例1、如圖，已知在⊙o中，弦ab的長(zhǎng)為8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑.
分析：要求⊙o的半徑，連結(jié)oa，只要求出oa的長(zhǎng)就可以了，因?yàn)橐阎獥l件點(diǎn)o到ab的距離為3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此時(shí)解rt△aoe即可.
解：連結(jié)oa，作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm，∴ae=4cm.
又∵oe=3cm，
在rt△aoe中，
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說(shuō)明：①學(xué)生獨(dú)立完成，老師指導(dǎo)解題步驟；②應(yīng)用垂徑定理計(jì)算：涉及四條線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)
關(guān)系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以o為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c、d兩點(diǎn).求證ac=bd.（證明略）
說(shuō)明：此題為基礎(chǔ)題目，對(duì)各個(gè)層次的學(xué)生都要求獨(dú)立完成.
練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1，2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開(kāi)評(píng)價(jià)、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
教師組織學(xué)生進(jìn)行：
知識(shí)：(1)圓的軸對(duì)稱性；(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的方法，構(gòu)造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過(guò)圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.
教材p84中11、12、13.
：
（1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個(gè)推論及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用；
（2）通過(guò)對(duì)推論的探討，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，概括問(wèn)題的能力.促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高
（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關(guān)系.
、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：①垂徑定理的兩個(gè)推論；②對(duì)推論的探究方法.
難點(diǎn)：垂徑定理的推論1.
活動(dòng)設(shè)計(jì)：
1、復(fù)習(xí)提問(wèn)：定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)應(yīng)的兩條弧.
2、剖析：
（教師指導(dǎo)）
(二)新組合，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題：（a層學(xué)生自己組合，小組交流，b層學(xué)生老師引導(dǎo)）
， ，……（包括原定理，一共有10種）
(三)探究新問(wèn)題，歸納新結(jié)論：
練習(xí)1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”這句話對(duì)嗎?為什么?
（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習(xí)2、按圖填空：在⊙o中，
（1）若mn⊥ab，mn為直徑，則________，________，________；
（2）若ac＝bc，mn為直徑，ab不是直徑，則則________，________，________；
（3）若mn⊥ab，ac＝bc，則________，________，________；
（4）若 =，mn為直徑，則________，________，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
例、四等分 .
（a層學(xué)生自主完成，對(duì)于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成）
教材p80中的第3題圖，是典型的錯(cuò)誤作.
此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來(lái)平分弧的方法，通過(guò)學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力；通過(guò)與教材p80中的第3題圖的對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)感性知識(shí)的認(rèn)識(shí)及理性知識(shí)的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
知識(shí)：垂徑定理的兩個(gè)推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
教材p84中14題.
⑴要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論，會(huì)解決有關(guān)的證明，計(jì)算問(wèn)題.
⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?；提高學(xué)生方程思想、分類討論思想的應(yīng)用意識(shí).
⑶通過(guò)例4（趙州橋）對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的；并向?qū)W生滲透來(lái)源于實(shí)踐，又反過(guò)來(lái)服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義思想
：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用
：如何進(jìn)行輔助線的添加
1.垂徑定理及其推論1：對(duì)于一條直線和一個(gè)圓來(lái)說(shuō)，具備下列五個(gè)條件中的任何個(gè)，那么也具有其他三個(gè)：⑴ 直線過(guò)圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 ；⑸ 平分弦所對(duì)的劣弧.可簡(jiǎn)記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計(jì)算（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究）?
涉及四條線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)
關(guān)系：r =h+d?? ;? r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學(xué)生歸納）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .------構(gòu)造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關(guān)系；同時(shí)為圓中的計(jì)算、作圖提供依據(jù).
：（讓學(xué)生分析，交流，解答，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納）
例1、1300多年前，我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為374米，拱高(弧中點(diǎn)到弦的距離，也叫弓形的高)為72米，求橋拱的半徑(精確到01米).
說(shuō)明：①對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的；②應(yīng)用題的解題思路：實(shí)際問(wèn)題——（轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形）——問(wèn)題.
例2、已知：⊙o的半徑為5 ，弦ab∥cd ，ab =6 ，cd =8 .求：ab與cd間的距離.（讓學(xué)生畫(huà)圖）
解：分兩種情況：
（1）當(dāng)弦ab、cd在圓心o的兩側(cè)
過(guò)點(diǎn)o作ef⊥ab于e，連結(jié)oa、oc，
又∵ab∥cd，∴ef⊥cd.（作輔助線是難點(diǎn)，學(xué)生往往作oe⊥ab，of⊥ab，就得ef=oe+of，錯(cuò)誤的結(jié)論）
由ef過(guò)圓心o，ef⊥ab，ab =6，得ae=3，
在rt△oea中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：of=3
∴ef=oe+of=4+3=7.
（2）當(dāng)弦ab、cd在圓心o的同側(cè)
同（1）的方法可得：oe=4，of=3.
∴.
說(shuō)明：①此題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問(wèn)題；②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖，ab是⊙o的弦，半徑oc∥ab ，ab=24 ，oc =15 .求：bc的長(zhǎng).
解：（略，過(guò)o作oe⊥ae于e ，過(guò)b作bf⊥oc于f ， =）
說(shuō)明：通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.
p8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬ab=600mm，求油的最大深度.
學(xué)生分析，教師適當(dāng)點(diǎn)撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來(lái)解決.
1垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.
2. 應(yīng)用定理可以證明的問(wèn)題；注重構(gòu)造思想，方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.
教材p84中15、16題，p85中b組2、3題.
如圖，直線mn與⊙o交于點(diǎn)a、b，cd是⊙o的直徑，ce⊥mn于e，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.
（1）線段ae、bf之間存在怎樣的關(guān)系？線段ce、oh、df之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.
（2）當(dāng)直線cd的兩個(gè)端點(diǎn)在mn兩側(cè)時(shí)，上述關(guān)系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由.
（答案提示：（1）ae=bf，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立，ce+df=、df、oh之間應(yīng)滿足）
垂直于弦的直徑的推論篇七
目標(biāo)：
(1)理解圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理的推證過(guò)程；能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證明；
(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；
(3)通過(guò)圓的對(duì)稱性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài).
重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：①垂徑定理及應(yīng)用；②從感性到理性的學(xué)習(xí)能力.
難點(diǎn)：垂徑定理的證明.
學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
1、實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對(duì)稱性，引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)不變性.
2、提出問(wèn)題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.
通過(guò)“演示實(shí)驗(yàn)——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
已知：在⊙o中，cd是直徑，ab是弦，cd⊥ab，垂足為e.
求證：ae=eb， =， =.
證明：連結(jié)oa、ob，則oa=ob.又∵cd⊥ab，∴直線cd是等腰△oab的對(duì)稱軸，又是⊙o的對(duì)稱軸.所以沿著直徑cd折疊時(shí)，cd兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，a點(diǎn)和b點(diǎn)重合，ae和be重合， 、 分別和 、 重合.因此，ae=be， =， =.從而得到圓的一條重要性質(zhì).
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：
cd為⊙o的直徑，cd⊥ab ae=eb， =， =.
為了運(yùn)用的方便，不易出現(xiàn)錯(cuò)誤，將原定理敘述為：①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.加深對(duì)定理的理解，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)，避免學(xué)生記混.
例1、如圖，已知在⊙o中，弦ab的長(zhǎng)為8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑.
分析：要求⊙o的半徑，連結(jié)oa，只要求出oa的長(zhǎng)就可以了，因?yàn)橐阎獥l件點(diǎn)o到ab的距離為3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此時(shí)解rt△aoe即可.
解：連結(jié)oa，作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm，∴ae=4cm.
又∵oe=3cm，
在rt△aoe中，
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說(shuō)明：①學(xué)生獨(dú)立完成，老師指導(dǎo)解題步驟；②應(yīng)用垂徑定理計(jì)算：涉及四條線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)
關(guān)系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以o為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c、d兩點(diǎn).求證ac=bd.（證明略）
說(shuō)明：此題為基礎(chǔ)題目，對(duì)各個(gè)層次的學(xué)生都要求獨(dú)立完成.
練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1，2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開(kāi)評(píng)價(jià)、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
組織學(xué)生進(jìn)行：
知識(shí)：(1)圓的軸對(duì)稱性；(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的方法，構(gòu)造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過(guò)圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.
教材p84中11、12、13.
目標(biāo)：
（1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個(gè)推論及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用；
（2）通過(guò)對(duì)推論的探討，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，概括問(wèn)題的能力.促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高
（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關(guān)系.
重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：①垂徑定理的兩個(gè)推論；②對(duì)推論的探究方法.
難點(diǎn)：垂徑定理的推論1.
1、復(fù)習(xí)提問(wèn)：定理：平分這條弦，并且平分弦所對(duì)應(yīng)的兩條弧.
2、剖析：
（指導(dǎo)）
(二)新組合，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題：（a層學(xué)生自己組合，小組交流，b層學(xué)生老師引導(dǎo)）
， ，……（包括原定理，一共有10種）
(三)探究新問(wèn)題，歸納新結(jié)論：
練習(xí)1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”這句話對(duì)嗎?為什么?
（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習(xí)2、按圖填空：在⊙o中，
（1）若mn⊥ab，mn為直徑，則________，________，________；
（2）若ac＝bc，mn為直徑，ab不是直徑，則則________，________，________；
（3）若mn⊥ab，ac＝bc，則________，________，________；
（4）若 =，mn為直徑，則________，________，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
例、四等分 .
（a層學(xué)生自主完成，對(duì)于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成）
教材p80中的第3題圖，是典型的錯(cuò)誤作.
此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來(lái)平分弧的方法，通過(guò)學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力；通過(guò)與教材p80中的第3題圖的對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)感性知識(shí)的認(rèn)識(shí)及理性知識(shí)的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
知識(shí)：垂徑定理的兩個(gè)推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
教材p84中14題.
目的：
⑴要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論，會(huì)解決有關(guān)的證明，計(jì)算問(wèn)題.
⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?；提高學(xué)生方程思想、分類討論思想的應(yīng)用意識(shí).
⑶通過(guò)例4（趙州橋）對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的；并向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，又反過(guò)來(lái)服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義思想
重點(diǎn)：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用
難點(diǎn)：如何進(jìn)行輔助線的添加
內(nèi)容：
1.垂徑定理及其推論1：對(duì)于一條直線和一個(gè)圓來(lái)說(shuō)，具備下列五個(gè)條件中的任何個(gè)，那么也具有其他三個(gè)：⑴ 直線過(guò)圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 ；⑸ 平分弦所對(duì)的劣弧.可簡(jiǎn)記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計(jì)算（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究）
涉及四條線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)
關(guān)系：r =h+d?? ;? r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學(xué)生歸納）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .------構(gòu)造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關(guān)系；同時(shí)為圓中的計(jì)算、作圖提供依據(jù).
：（讓學(xué)生分析，交流，解答，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納）
例1、1300多年前，我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為374米，拱高(弧中點(diǎn)到弦的距離，也叫弓形的高)為72米，求橋拱的半徑(精確到01米).
說(shuō)明：①對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的；②應(yīng)用題的解題思路：實(shí)際問(wèn)題——（轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形）——數(shù)學(xué)問(wèn)題.
例2、已知：⊙o的半徑為5 ，弦ab∥cd ，ab =6 ，cd =8 .求：ab與cd間的距離.（讓學(xué)生畫(huà)圖）
解：分兩種情況：
（1）當(dāng)弦ab、cd在圓心o的兩側(cè)
過(guò)點(diǎn)o作ef⊥ab于e，連結(jié)oa、oc，
又∵ab∥cd，∴ef⊥cd.（作輔助線是難點(diǎn)，學(xué)生往往作oe⊥ab，of⊥ab，就得ef=oe+of，錯(cuò)誤的結(jié)論）
由ef過(guò)圓心o，ef⊥ab，ab =6，得ae=3，
在rt△oea中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：of=3
∴ef=oe+of=4+3=7.
（2）當(dāng)弦ab、cd在圓心o的同側(cè)
同（1）的方法可得：oe=4，of=3.
∴.
說(shuō)明：①此題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問(wèn)題；②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖，ab是⊙o的弦，半徑oc∥ab ，ab=24 ，oc =15 .求：bc的長(zhǎng).
解：（略，過(guò)o作oe⊥ae于e ，過(guò)b作bf⊥oc于f ， =）
說(shuō)明：通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.
p8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬ab=600mm，求油的最大深度.
學(xué)生分析，適當(dāng)點(diǎn)撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來(lái)解決.
1垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.
2. 應(yīng)用定理可以證明的問(wèn)題；注重構(gòu)造思想，方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.
教材p84中15、16題，p85中b組2、3題.
如圖，直線mn與⊙o交于點(diǎn)a、b，cd是⊙o的直徑，ce⊥mn于e，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.
（1）線段ae、bf之間存在怎樣的關(guān)系？線段ce、oh、df之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.
（2）當(dāng)直線cd的兩個(gè)端點(diǎn)在mn兩側(cè)時(shí)，上述關(guān)系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由.
（答案提示：（1）ae=bf，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立，ce+df=、df、oh之間應(yīng)滿足）
垂直于弦的直徑的推論篇八
：
(1)理解圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理的推證過(guò)程；能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證明；
(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；
(3)通過(guò)圓的對(duì)稱性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對(duì)的熱愛(ài).
、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：①垂徑定理及應(yīng)用；②從感性到理性的能力.
難點(diǎn)：垂徑定理的證明.
活動(dòng)設(shè)計(jì)：
1、實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對(duì)稱性，教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)不變性.2、提出問(wèn)題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.
通過(guò)“演示實(shí)驗(yàn)——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
已知：在⊙o中，cd是直徑，ab是弦，cd⊥ab，垂足為e.
求證：ae=eb， = ， = .
證明：連結(jié)oa、ob，則oa=ob.又∵cd⊥ab，∴直線cd是等腰△oab的對(duì)稱軸，又是⊙o的對(duì)稱軸.所以沿著直徑cd折疊時(shí)，cd兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，a點(diǎn)和b點(diǎn)重合，ae和be重合， 、 分別和 、 重合.因此，ae=be， = ， = .從而得到圓的一條重要性質(zhì).
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：
cd為⊙o的直徑，cd⊥ab ae=eb， = ， = .
為了運(yùn)用的方便，不易出現(xiàn)錯(cuò)誤，將原定理敘述為：①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.加深對(duì)定理的理解，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)，避免學(xué)生記混.
例1、如圖，已知在⊙o中，弦ab的長(zhǎng)為8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑.
分析：要求⊙o的半徑，連結(jié)oa，只要求出oa的長(zhǎng)就可以了，因?yàn)橐阎獥l件點(diǎn)o到ab的距離為3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此時(shí)解rt△aoe即可.
解：連結(jié)oa，作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm，∴ae=4cm.
又∵oe=3cm，
在rt△aoe中，
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說(shuō)明：①學(xué)生獨(dú)立完成，老師指導(dǎo)解題步驟；②應(yīng)用垂徑定理計(jì)算：涉及四條線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)
關(guān)系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以o為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c、d兩點(diǎn).求證ac=bd.（證明略）
說(shuō)明：此題為基礎(chǔ)題目，對(duì)各個(gè)層次的學(xué)生都要求獨(dú)立完成.
練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1，2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開(kāi)評(píng)價(jià)、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
教師組織學(xué)生進(jìn)行：
知識(shí)：(1)圓的軸對(duì)稱性；(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的方法，構(gòu)造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過(guò)圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧.
教材p84中11、12、13.
：
（1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個(gè)推論及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用；
（2）通過(guò)對(duì)推論的探討，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，概括問(wèn)題的能力.促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高
（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關(guān)系.
、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：①垂徑定理的兩個(gè)推論；②對(duì)推論的探究方法.
難點(diǎn)：垂徑定理的推論1.
活動(dòng)設(shè)計(jì)：
1、復(fù)習(xí)提問(wèn)：定理：平分這條弦，并且平分弦所對(duì)應(yīng)的兩條弧.
2、剖析：
（教師指導(dǎo)）
(二)新組合，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題：（a層學(xué)生自己組合，小組交流，b層學(xué)生老師引導(dǎo)）
， ，……（包括原定理，一共有10種）
(三)探究新問(wèn)題，歸納新結(jié)論：
練習(xí)1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”這句話對(duì)嗎?為什么?
（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習(xí)2、按圖填空：在⊙o中，
（1）若mn⊥ab，mn為直徑，則________，________，________；
（2）若ac＝bc，mn為直徑，ab不是直徑，則則________，________，________；
（3）若mn⊥ab，ac＝bc，則________，________，________；
（4）若 = ，mn為直徑，則________，________，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
例、四等分 .
（a層學(xué)生自主完成，對(duì)于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成）
教材p80中的第3題圖，是典型的錯(cuò)誤作.
此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來(lái)平分弧的方法，通過(guò)學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力；通過(guò)與教材p80中的第3題圖的對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)感性知識(shí)的認(rèn)識(shí)及理性知識(shí)的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
知識(shí)：垂徑定理的兩個(gè)推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
教材p84中14題.
⑴要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論，會(huì)解決有關(guān)的證明，計(jì)算問(wèn)題.
⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γ惶岣邔W(xué)生方程思想、分類討論思想的應(yīng)用意識(shí).
⑶通過(guò)例4（趙州橋）對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的；并向?qū)W生滲透來(lái)源于實(shí)踐，又反過(guò)來(lái)服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義思想
：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用
：如何進(jìn)行輔助線的添加
1.垂徑定理及其推論1：對(duì)于一條直線和一個(gè)圓來(lái)說(shuō)，具備下列五個(gè)條件中的任何個(gè)，那么也具有其他三個(gè)：⑴ 直線過(guò)圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 ；⑸ 平分弦所對(duì)的劣弧.可簡(jiǎn)記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計(jì)算（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究）
涉及四條線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)
關(guān)系：r =h+d?? ;? r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學(xué)生歸納）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .------構(gòu)造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關(guān)系；同時(shí)為圓中的計(jì)算、作圖提供依據(jù).
：（讓學(xué)生分析，交流，解答，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納）
例1、1300多年前，我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為374米，拱高(弧中點(diǎn)到弦的距離，也叫弓形的高)為72米，求橋拱的半徑(精確到01米).
說(shuō)明：①對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的；②應(yīng)用題的解題思路：實(shí)際問(wèn)題——（轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形）——問(wèn)題.
例2、已知：⊙o的半徑為5 ，弦ab∥cd ，ab =6 ，cd =8 .求：ab與cd間的距離.（讓學(xué)生畫(huà)圖）
解：分兩種情況：
（1）當(dāng)弦ab、cd在圓心o的兩側(cè)
過(guò)點(diǎn)o作ef⊥ab于e，連結(jié)oa、oc，
又∵ab∥cd，∴ef⊥cd.（作輔助線是難點(diǎn)，學(xué)生往往作oe⊥ab，of⊥ab，就得ef=oe+of，錯(cuò)誤的結(jié)論）
由ef過(guò)圓心o，ef⊥ab，ab =6，得ae=3，
在rt△oea中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：of=3
∴ef=oe+of=4+3=7.
（2）當(dāng)弦ab、cd在圓心o的同側(cè)
同（1）的方法可得：oe=4，of=3.
∴.
說(shuō)明：①此題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問(wèn)題；②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖，ab是⊙o的弦，半徑oc∥ab ，ab=24 ，oc =15 .求：bc的長(zhǎng).
解：（略，過(guò)o作oe⊥ae于e ，過(guò)b作bf⊥oc于f ， =）
說(shuō)明：通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.
p8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬ab=600mm，求油的最大深度.
學(xué)生分析，教師適當(dāng)點(diǎn)撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來(lái)解決.
1垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.
2. 應(yīng)用定理可以證明的問(wèn)題；注重構(gòu)造思想，方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.
教材p84中15、16題，p85中b組2、3題.
如圖，直線mn與⊙o交于點(diǎn)a、b，cd是⊙o的直徑，ce⊥mn于e，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.
（1）線段ae、bf之間存在怎樣的關(guān)系？線段ce、oh、df之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.
（2）當(dāng)直線cd的兩個(gè)端點(diǎn)在mn兩側(cè)時(shí)，上述關(guān)系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由.
（答案提示：（1）ae=bf，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立，ce+df=、df、oh之間應(yīng)滿足）
垂直于弦的直徑的推論篇九
：
(1)理解圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理的推證過(guò)程；能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證明；
(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；
(3)通過(guò)圓的對(duì)稱性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對(duì)的熱愛(ài).
、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：①垂徑定理及應(yīng)用；②從感性到理性的能力.
難點(diǎn)：垂徑定理的證明.
活動(dòng)設(shè)計(jì)：
1、實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對(duì)稱性，教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)不變性.2、提出問(wèn)題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.
通過(guò)“演示實(shí)驗(yàn)——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
已知：在⊙o中，cd是直徑，ab是弦，cd⊥ab，垂足為e.
求證：ae=eb， =， =.
證明：連結(jié)oa、ob，則oa=ob.又∵cd⊥ab，∴直線cd是等腰△oab的對(duì)稱軸，又是⊙o的對(duì)稱軸.所以沿著直徑cd折疊時(shí)，cd兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，a點(diǎn)和b點(diǎn)重合，ae和be重合， 、 分別和 、 重合.因此，ae=be， =， =.從而得到圓的一條重要性質(zhì).
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：
cd為⊙o的直徑，cd⊥ab ae=eb， =， =.
為了運(yùn)用的方便，不易出現(xiàn)錯(cuò)誤，將原定理敘述為：①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.加深對(duì)定理的理解，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)，避免學(xué)生記混.
例1、如圖，已知在⊙o中，弦ab的長(zhǎng)為8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑.
分析：要求⊙o的半徑，連結(jié)oa，只要求出oa的長(zhǎng)就可以了，因?yàn)橐阎獥l件點(diǎn)o到ab的距離為3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此時(shí)解rt△aoe即可.
解：連結(jié)oa，作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm，∴ae=4cm.
又∵oe=3cm，
在rt△aoe中，
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說(shuō)明：①學(xué)生獨(dú)立完成，老師指導(dǎo)解題步驟；②應(yīng)用垂徑定理計(jì)算：涉及四條線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)
關(guān)系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖，在以o為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c、d兩點(diǎn).求證ac=bd.（證明略）
說(shuō)明：此題為基礎(chǔ)題目，對(duì)各個(gè)層次的學(xué)生都要求獨(dú)立完成.
練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1，2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開(kāi)評(píng)價(jià)、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
教師組織學(xué)生進(jìn)行：
知識(shí)：(1)圓的軸對(duì)稱性；(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的方法，構(gòu)造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過(guò)圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.
教材p84中11、12、13.
：
（1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個(gè)推論及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用；
（2）通過(guò)對(duì)推論的探討，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，概括問(wèn)題的能力.促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高
（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關(guān)系.
、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：①垂徑定理的兩個(gè)推論；②對(duì)推論的探究方法.
難點(diǎn)：垂徑定理的推論1.
活動(dòng)設(shè)計(jì)：
1、復(fù)習(xí)提問(wèn)：定理：平分這條弦，并且平分弦所對(duì)應(yīng)的兩條弧.
2、剖析：
（教師指導(dǎo)）
(二)新組合，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題：（a層學(xué)生自己組合，小組交流，b層學(xué)生老師引導(dǎo)）
， ，……（包括原定理，一共有10種）
(三)探究新問(wèn)題，歸納新結(jié)論：
練習(xí)1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”這句話對(duì)嗎?為什么?
（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習(xí)2、按圖填空：在⊙o中，
（1）若mn⊥ab，mn為直徑，則________，________，________；
（2）若ac＝bc，mn為直徑，ab不是直徑，則則________，________，________；
（3）若mn⊥ab，ac＝bc，則________，________，________；
（4）若 =，mn為直徑，則________，________，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
例、四等分 .
（a層學(xué)生自主完成，對(duì)于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成）
教材p80中的第3題圖，是典型的錯(cuò)誤作.
此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來(lái)平分弧的方法，通過(guò)學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力；通過(guò)與教材p80中的第3題圖的對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)感性知識(shí)的認(rèn)識(shí)及理性知識(shí)的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
知識(shí)：垂徑定理的兩個(gè)推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
教材p84中14題.
⑴要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論，會(huì)解決有關(guān)的證明，計(jì)算問(wèn)題.
⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?；提高學(xué)生方程思想、分類討論思想的應(yīng)用意識(shí).
⑶通過(guò)例4（趙州橋）對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的；并向?qū)W生滲透來(lái)源于實(shí)踐，又反過(guò)來(lái)服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義思想
：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用
：如何進(jìn)行輔助線的添加
1.垂徑定理及其推論1：對(duì)于一條直線和一個(gè)圓來(lái)說(shuō)，具備下列五個(gè)條件中的任何個(gè)，那么也具有其他三個(gè)：⑴ 直線過(guò)圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 ；⑸ 平分弦所對(duì)的劣弧.可簡(jiǎn)記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計(jì)算（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究）
涉及四條線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)
關(guān)系：r =h+d?? ;? r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學(xué)生歸納）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .------構(gòu)造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關(guān)系；同時(shí)為圓中的計(jì)算、作圖提供依據(jù).
：（讓學(xué)生分析，交流，解答，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納）
例1、1300多年前，我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為374米，拱高(弧中點(diǎn)到弦的距離，也叫弓形的高)為72米，求橋拱的半徑(精確到01米).
說(shuō)明：①對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的；②應(yīng)用題的解題思路：實(shí)際問(wèn)題——（轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形）——問(wèn)題.
例2、已知：⊙o的半徑為5 ，弦ab∥cd ，ab =6 ，cd =8 .求：ab與cd間的距離.（讓學(xué)生畫(huà)圖）
解：分兩種情況：
（1）當(dāng)弦ab、cd在圓心o的兩側(cè)
過(guò)點(diǎn)o作ef⊥ab于e，連結(jié)oa、oc，
又∵ab∥cd，∴ef⊥cd.（作輔助線是難點(diǎn)，學(xué)生往往作oe⊥ab，of⊥ab，就得ef=oe+of，錯(cuò)誤的結(jié)論）
由ef過(guò)圓心o，ef⊥ab，ab =6，得ae=3，
在rt△oea中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：of=3
∴ef=oe+of=4+3=7.
（2）當(dāng)弦ab、cd在圓心o的同側(cè)
同（1）的方法可得：oe=4，of=3.
∴.
說(shuō)明：①此題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問(wèn)題；②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖，ab是⊙o的弦，半徑oc∥ab ，ab=24 ，oc =15 .求：bc的長(zhǎng).
解：（略，過(guò)o作oe⊥ae于e ，過(guò)b作bf⊥oc于f ， =）
說(shuō)明：通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.
p8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬ab=600mm，求油的最大深度.
學(xué)生分析，教師適當(dāng)點(diǎn)撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來(lái)解決.
1垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.
2. 應(yīng)用定理可以證明的問(wèn)題；注重構(gòu)造思想，方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.
教材p84中15、16題，p85中b組2、3題.
如圖，直線mn與⊙o交于點(diǎn)a、b，cd是⊙o的直徑，ce⊥mn于e，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.
（1）線段ae、bf之間存在怎樣的關(guān)系？線段ce、oh、df之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.
（2）當(dāng)直線cd的兩個(gè)端點(diǎn)在mn兩側(cè)時(shí)，上述關(guān)系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由.
（答案提示：（1）ae=bf，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立，ce+df=、df、oh之間應(yīng)滿足）
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