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與圓有關的比例線段知識點 圓中比例線段的題目解法篇一
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
重點:相交弦定理及其推論,切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節(jié)的重點、本章的重點,而且還是中考試題的熱點;這些定理和推論是重要的工具性知識,主要應用與圓有關的計算和證實.
難點:正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多,學生輕易混淆.
2、教學建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論,做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論,做例3.第3課時是習題課,講例4并做有關的練3.
(1)教師通過教學,組織學生自主觀察、發(fā)現(xiàn)問題、分析解決問題,逐步培養(yǎng)學生研究性學習意識,激發(fā)學生的學習熱情;
(2)在教學中,引導學生“觀察——猜想——證實——應用”等學習,教師組織下,以學生為主體開展教學活動.
第1課時:相交弦定理
教學目標:
1.理解相交弦定理及其推論,并初步會運用它們進行有關的簡單證實和計算;
2.學會作兩條已知線段的比例中項;
3.通過讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題,調(diào)動學生的思維積極性,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力和探索精神;
4.通過推論的推導,向學生滲透由一般到非凡的思想方法.
教學重點:
正確理解相交弦定理及其推論.
教學難點:
在定理的敘述和應用時,學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混,從而導致證實中發(fā)生錯誤,因此務必使學生清楚定理的提出和證實過程,了解是哪兩個三角形相似,從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.
教學活動設計
(一)設置學習情境
1、圖形變換:(利用電腦使ab與cd弦變動)
①引導學生觀察圖形,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:∠a=∠d,∠c=∠b.
②進一步得出:△apc∽△dpb.
.
③假如將圖形做些變換,去掉ac和bd,圖中線段 pa,pb,pc,po之間的關系會發(fā)生變化嗎?為什么?
組織學生觀察,并回答.
2、證實:
已知:弦ab和cd交于⊙o內(nèi)一點p.
求證:pa·pb=pc·pd.
(a層學生要練習學生寫出已知、求證、證實;b、c層學生在老師引導下完成)
(證實略)
(二)定理及推論
1、相交弦定理: 圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等.
結合圖形讓學生用數(shù)學語言表達相交弦定理:在⊙o中;弦ab,cd相交于點p,那么pa·pb=pc·pd.
2、從一般到非凡,發(fā)現(xiàn)結論.
對兩條相交弦的位置進行適當?shù)恼{(diào)整,使其中一條是直徑,并且它們互 相垂直如圖,ab是直徑,并且ab⊥cd于p.
提問:根據(jù)相交弦定理,能得到什么結論?
指出:pc2=pa·pb.
請學生用文字語言將這一結論敘述出來,假如敘述不完全、不準確.教師糾正,并板書.
推論 假如弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.
3、深刻理解推論:由于圓是軸對稱圖形,上述結論又可敘述為:半圓上一點c向直徑ab作垂線,垂足是p,則pc2=pa·pb.
若再連結ac,bc,則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形,于是有:
pc2=pa·pb ;ac2=ap·ab;cb2=bp·ab
(三)應用、反思
例1 已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段,第二條弦的長為32厘米,求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導學生根據(jù)題意列出方程并求出相應的解.
例2 已知:線段a,b.
求作:線段c,使c2=ab.
分析:這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式,因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓,仿照推論即可作出要求作的線段.
作法:口述作法.
反思:這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題,可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發(fā)學生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習1 如圖,ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp=1厘米,求cd.
變式練習:若ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp,dp的長度皆為整數(shù).那么cd的長度是 多少?
將條件隱化,增加難度,提高學生學習愛好
練習2 如圖,cd是⊙o的直徑,ab⊥cd,垂足為p,ap=4厘米,pd=2厘米.求po的長.
練習3 如圖:在⊙o中,p是弦ab上一點,op⊥pc,pc 交⊙o于c. 求證:pc2=pa·pb
引導學生分析:由ap·pb,聯(lián)想到相交弦定理,于是想到延長 cp交⊙o于d,于是有pc·pd=pa·pb.又根據(jù)條件op⊥pc.易 證得pc=pd問題得證.
(四)小結
知識:相交弦定理及其推論;
能力:作圖能力、發(fā)現(xiàn)問題的能力和解決問題的能力;
思想方法:學習了由一般到非凡(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
(五)作業(yè)
教材p132中 9,10;p134中b組4(1).
第2課時 切割線定理
教學目標:
1.把握切割線定理及其推論,并初步學會運用它們進行計算和證實;
2.把握構造相似三角形證實切割線定理的方法與技巧,培養(yǎng)學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力
3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論,培養(yǎng)學生辯證唯物主義的觀點.
教學重點:
理解切割線定理及其推論,它是以后學習中經(jīng)常用到的重要定理.
教學難點:
定理的靈活運用以及定理與推論問的內(nèi)在聯(lián)系是難點.
教學活動設計
(一)提出問題
1、引出問題:相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點.假如兩弦延長交于圓外一點p,那么該點到割線與圓交點的四條線段pa,pb,pc,pd的長之間有什么關系?(如圖1)
當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時,由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長pa,pb,pt之間又有什么關系?
2、猜想:引導學生猜想出圖中三條線段pt,pa,pb間的關系為pt2=pa·pb.
3、證實:
讓學生根據(jù)圖2寫出已知、求證,并進行分析、證實猜想.
分析:要證pt2=pa·pb, 可以證實,為此可證以 pa·pt為邊的三角形與以pt,bp為邊的三角形相似,于是考慮作輔助線tp,pb.(圖3).輕易證實∠pta=∠b又∠p=∠p,因此△bpt∽△tpa,于是問題可證.
4、引導學生用語言表達上述結論.
切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.
(二)切割線定理的推論
1、再提出問題:當pb、pd為兩條割線時,線段pa,pb,pc,pd之間有什么關系?
觀察圖4,提出猜想:pa·pb=pc·pd.
2、組織學生用多種方法證實:
方法一:要證pa·pb=pc·pd,可證此可證以pa,pc為邊的三角形和以pd,pb為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線ac,bd,輕易證實∠pac=∠d,∠p=∠p,因此△pac∽△pdb. (如圖4)
方法二:要證,還可考慮證實以pa,pd為邊的三角形和以pc、pb為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線ad、cb.輕易證實∠b=∠d,又∠p=∠p. 因此△pad∽△pcb.(如圖5)
方法三:引導學生再次觀察圖2,2=pa·pb,同時pt2=pc·pd,于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd
推論:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.(也叫做割線定理)
(三)初步應用
例1 已知:如圖6,⊙o的割線pab交⊙o于點a和b,pa=6厘米,ab=8厘米, po=10.9厘米,求⊙o的半徑.
分析:由于po既不是⊙o的切線也不是割線,故須將po延長交⊙o于d,構成了圓的一條割線,而od又恰好是⊙o的半徑,于是運用切割線定理的推論,問題得解.
(解略)教師示范解題.
例2 已知如圖7,線段ab和⊙o交于點c,d,ac=bd,ae,bf分別切⊙o于點e,f,
求證:ae=bf.
分析:要證實的兩條線段ae,bf均與⊙o相切,且從a、b 兩點出發(fā)引的割線acd和bdc在同一直線上,且ac=bd,ad=bc. 因此它們的積相等,問題得證.
學生自主完成,教師隨時糾正學生解題過程中出現(xiàn)的錯誤,如ae2=ac·cd和bf2=bd·dc等.
鞏固練習:p128練習1、2題
(四)小結
知識:切割線定理及推論;
能力:結合具體圖形時,應能寫出正確的等積式;
方法:在證實切割線定理和推論時,所用的構造相似三角形的方法十分重要,應注重很好地把握.
(五)作業(yè)教材p132中,11、12題.
探究活動
最佳射門位置
國際足聯(lián)規(guī)定法國世界杯決賽階段,比賽場地長105米,寬68米,足球門寬7.32米,高2.44米,試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).
分析與解 是足球門,點p是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置,即向p上方或下方移動,視角都變小,因此點p實際上是過a、b且與邊線相切的圓的切點,如圖1所示.即op是圓的切線,而ob是圓的割線.
故 ,又 ,
ob=30.34 7.32=37.66.
op= (米).
注:上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△bop可為任意角.
與圓有關的比例線段知識點 圓中比例線段的題目解法篇二
教學目標：1、使學生理解切割線定理及其推論；2、使學生初步學會運用切割線定理及其推論.3、通過對切割線定理及推論的證明，培養(yǎng)學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力；4、通過對切割線定理及其推論的初步運用，培養(yǎng)學生的分析問題能力.在上節(jié)我們曾經(jīng)學到相交弦定理及其推論，它反映了圓中兩弦的數(shù)量關系；我們可以用同樣的方法來研究圓的一條切線和一條割線的數(shù)量關系.教學重點： 使學生理解切割線定理及其推論，它是以后學習中經(jīng)常用到的重要定理.教學難點：學生不能準確敘述切割線定理及其推論，針對具體圖形學生很容易得到數(shù)量關系，但把它用語言表達，學生感到困難.教學過程：一、新課引入：我們已經(jīng)學過相交弦定理及其推論，現(xiàn)在我們用同樣的數(shù)學思想方法來研究圓的另外的比例線段.二、新課講解：現(xiàn)在請同學們在練習本上畫⊙o，在⊙o外一點p引⊙o的切線pt，切點為t，割線pba，以點p、b、a、t為頂點作三角形，可以作幾個三角形呢？它們中是否存在著相似三角形？如果存在，你得到了怎樣的比例線段？可轉化成怎樣的積式？現(xiàn)在請同學們打開練習本，按要求作⊙o的切線pt和割線pba，后研究討論一下.學生動手畫圖，完成證明，教師巡視，當所有學生都得到數(shù)量關系式時，教師打開計算機或幻燈機用動畫演示.最終教師指導學生把數(shù)量關系轉成語言敘述，完成切割線定理及其推論.1.切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.關系式：pt2=pa·pb
2.切割線定理推論：從圓外一點引圓的兩條割線.這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.數(shù)量關系式：pa·pb=pc·pb.
切割線定理及其推論也是圓中的比例線段，在今后的學習中有著重要的意義，務必使學生清楚，真正弄懂切割線定理的數(shù)量關系后，再把握定理敘述中的“從”、“引”、“切線長”、“兩條線段長”等關鍵字樣，定理敘述并不困難.練習一，p.128中1、選擇題：如圖7-86，⊙o的兩條弦ab、cd相交于點e，ac和db的延長線交于點p，下列結論成立的是?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
·ca=pb··ae=be··cd=be··pd=pc·pa答案：(d)，直接運用和圓有關的比例線段進行選擇.練習二，p.128中2、如圖7-87，已知：rt△abc的兩條直角邊ac、bc的長分別為3cm、4cm，以ac為直徑作圓與斜邊ab交于點d，求bd的長.
此題已知rt△abc中的邊ac、bc，則ab可知.容易證出bc切⊙o于c，于是產(chǎn)生切割線定理，bd可求.練習三，p.128中3.如圖7-88，線段ab和⊙o交于c、d，ac=bd，ae、bf分別切⊙o于e、f.求證：ae=bf.
本題可直接運用切割線定理.例3? p.127，如圖7-89，已知：⊙o的割線pab交⊙o于點a和b，pa=6cm，ab=8cm，po=10.9cm.求⊙o的半徑.
此題要通過計算得到⊙o的半徑，必須使半徑進入一個數(shù)量關系式，觀察圖形，可知只要延長po與圓交于另一點，則可產(chǎn)生切割線定理的推論，而其中一條割線恰好經(jīng)過圓心，在線段中自然可以參與進半徑，從而由等式中求出半徑.必須使學生清楚這種數(shù)學思想方法，結合圖形，正確使用和圓有關的比例線段，則關系式中必有兩條線段是半徑的代數(shù)式構成，只要解關于半徑的一元二次方程即可.解：設⊙o的半徑為r，po和它的長延長線交⊙o于c、d.(10.9-r)(10.9+r)=6×14r=5.9(取正數(shù)解)答：⊙o的半徑為5.9.三、課堂小結：為培養(yǎng)學生閱讀教材的習慣，讓學生看教材p.127—p.128.總結出本課主要內(nèi)容：1.切割線定理及其推論：它是圓的重要比例線段，它反映的是圓的切線和割線所產(chǎn)生的數(shù)量關系.需要指出的是，只有從圓外一點，才可能產(chǎn)生切割線定理或推論.切割線定理是指一條切線和一條割線；推論是指兩條割線，只有使學生弄清前提，才能正確運用定理.2.通過對例3的分析，我們應該掌握這類問題的思想方法，掌握規(guī)律、運用規(guī)律.四、布置作業(yè)：1.教材? p.132中10；2.p.132中11.
與圓有關的比例線段知識點 圓中比例線段的題目解法篇三
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節(jié)的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點；這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明.
難點：正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多，學生容易混淆.
2、教學建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習題課，講例4并做有關的練3.
（1）教師通過教學，組織學生自主觀察、發(fā)現(xiàn)問題、分析解決問題，逐步培養(yǎng)學生研究性意識，激發(fā)學生的熱情；
（2）在教學中，引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等，教師組織下，以學生為主體開展教學活動.
：
1.理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算；
2.學會作兩條已知線段的比例中項；
3.通過讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題，調(diào)動學生的思維積極性，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力和探索精神；
4.通過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法.
：
正確理解相交弦定理及其推論.
：
在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發(fā)生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.
情境
1、結合圖形讓學生用語言表達相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于點p，那么pa·pb＝pc·pd.
2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結論.
對兩條相交弦的位置進行適當?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，ab是直徑，并且ab⊥cd于p.
提問：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結論?
指出：pc2＝pa·pb.
請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確.教師糾正，并板書.
3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點c向直徑ab作垂線，垂足是p，則pc2＝pa·pb.?
若再連結ac，bc，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：
pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab
例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導學生根據(jù)題意列出方程并求出相應的解.
例2? 已知：線段a，b.
求作：線段c，使c2＝ab.
分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.
作法：口述作法.
這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發(fā)學生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習1 如圖，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.
變式練習：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的長度皆為整數(shù).那么cd的長度是 多少?
將條件隱化，增加難度，提高學生興趣
練習2 如圖，cd是⊙o的直徑，ab⊥cd，垂足為p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的長.
練習3? 如圖：在⊙o中，p是弦ab上一點，op⊥pc，pc 交⊙o于c.? 求證：pc2＝pa·pb?
引導學生分析：由ap·pb，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長 cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根據(jù)條件op⊥pc.易 證得pc＝pd問題得證.
（
知識：相交弦定理及其推論；
能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問題的能力和解決問題的能力；
思想方法：了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
教材p132中 9，10；p134中b組4(1).
：
1.掌握切割線定理及其推論，并初步學會運用它們進行計算和證明；
2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養(yǎng)學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力
3.能夠用運動的觀點切割線定理及其推論，培養(yǎng)學生辯證唯物主義的觀點.
：
理解切割線定理及其推論，它是以后中經(jīng)常用到的重要定理.
：
定理的靈活運用以及定理與推論問的內(nèi)在聯(lián)系是難點.
1、引出問題：相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點.如果兩弦延長交于圓外一點p，那么該點到割線與圓交點的四條線段pa，pb，pc，pd的長之間有什么關系？(如圖1)
當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時，由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長pa，pb，pt之間又有什么關系？
2、猜想：引導學生猜想出圖中三條線段pt，pa，pb間的關系為pt2=pa·pb.
3、證明：
讓學生根據(jù)圖2寫出已知、求證，并進行分析、證明猜想.
分析：要證pt2=pa·pb，? 可以證明，為此可證以 pa·pt為邊的三角形與以pt，bp為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線tp，pb.(圖3).容易證明∠pta=∠b又∠p=∠p，因此△bpt∽△tpa，于是問題可證.
4、引導學生用語言表達上述結論.
（二）切割線定理的推論
1、再提出問題：當pb、pd為兩條割線時，線段pa，pb，pc，pd之間有什么關系?
觀察圖4，提出猜想：pa·pb=pc·pd.
2、組織學生用多種方法證明：
方法一：要證pa·pb=pc·pd，可證此可證以pa，pc為邊的三角形和以pd，pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線ac，bd，容易證明∠pac=∠d，∠p=∠p，因此△pac∽△pdb.? (如圖4)
方法二：要證，還可考慮證明以pa，pd為邊的三角形和以pc、pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線ad、cb.容易證明∠b=∠d，又∠p=∠p.? 因此△pad∽△pcb.(如圖5)
方法三：引導學生再次觀察圖2，2=pa·pb，同時pt2=pc·pd，于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd
（三）初步應用
例1? 已知：如圖6，⊙o的割線pab交⊙o于點a和b，pa=6厘米，ab=8厘米， po=109厘米，求⊙o的半徑.
分析：由于po既不是⊙o的切線也不是割線，故須將po延長交⊙o于d，構成了圓的一條割線，而od又恰好是⊙o的半徑，于是運用切割線定理的推論，問題得解.
（解略）教師示范解題.
例2? 已知如圖7，線段ab和⊙o交于點c，d，ac＝bd，ae，bf分別切⊙o于點e，f，
求證：ae＝bf.
分析：要證明的兩條線段ae，bf均與⊙o相切，且從a、b 兩點出發(fā)引的割線acd和bdc在同一直線上，且ac＝bd，ad＝bc.? 因此它們的積相等，問題得證.
學生自主完成，教師隨時糾正學生解題過程中出現(xiàn)的錯誤，如ae2＝ac·cd和bf2＝bd·dc等.
?
（四）小結
知識：切割線定理及推論；
能力：結合具體圖形時，應能寫出正確的等積式；
方法：在證明切割線定理和推論時，所用的構造相似三角形的方法十分重要，應注意很好地掌握.
（五）作業(yè)?教材p132中，11、12題.
最佳射門位置
國際足聯(lián)規(guī)定法國世界杯決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).
分析與解 是足球門，點p是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置，即向p上方或下方移動，視角都變小，因此點p實際上是過a、b且與邊線相切的圓的切點，如圖1所示.即op是圓的切線，而ob是圓的割線.
故 ，又 ，
ob=3034+732＝3766.
op= (米).
注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△bop可為任意角.
與圓有關的比例線段知識點 圓中比例線段的題目解法篇四
建議
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節(jié)的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點；這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明.
難點：正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多，學生容易混淆.
2、建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習題課，講例4并做有關的練3.
（1）通過，組織學生自主觀察、發(fā)現(xiàn)問題、分析解決問題，逐步培養(yǎng)學生研究性學習意識，激發(fā)學生的學習熱情；
（2）在中，引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習，組織下，以學生為主體開展活動.
目標：
1.理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算；
2.學會作兩條已知線段的比例中項；
3.通過讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題，調(diào)動學生的思維積極性，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力和探索精神；
4.通過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法.
重點：
正確理解相交弦定理及其推論.
難點：
在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發(fā)生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.
活動設計
1、圖形變換：（利用電腦使ab與cd弦變動）
①引導學生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：∠a＝∠d，∠c＝∠b.
②進一步得出：△apc∽△dpb.
.
③如果將圖形做些變換，去掉ac和bd，圖中線段 pa，pb，pc，po之間的關系會發(fā)生變化嗎?為什么?
組織學生觀察，并回答.
2、證明：
已知：弦ab和cd交于⊙o內(nèi)一點p.
求證：pa·pb＝pc·pd.
（a層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明；b、c層學生在老師引導下完成）
（證明略）
1、
結合圖形讓學生用數(shù)學語言表達相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于點p，那么pa·pb＝pc·pd.
2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結論.
對兩條相交弦的位置進行適當?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，ab是直徑，并且ab⊥cd于p.
提問：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結論?
指出：pc2＝pa·pb.
請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確.糾正，并.
3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點c向直徑ab作垂線，垂足是p，則pc2＝pa·pb.?
若再連結ac，bc，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：
pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab
例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導學生根據(jù)題意列出方程并求出相應的解.
例2? 已知：線段a，b.
求作：線段c，使c2＝ab.
分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.
作法：口述作法.
這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發(fā)學生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習1 如圖，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.
變式練習：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的長度皆為整數(shù).那么cd的長度是 多少?
將條件隱化，增加難度，提高學生學習興趣
練習2 如圖，cd是⊙o的直徑，ab⊥cd，垂足為p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的長.
練習3? 如圖：在⊙o中，p是弦ab上一點，op⊥pc，pc 交⊙o于c.? 求證：pc2＝pa·pb?
引導學生分析：由ap·pb，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長 cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根據(jù)條件op⊥pc.易 證得pc＝pd問題得證.
（
知識：相交弦定理及其推論；
能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問題的能力和解決問題的能力；
思想方法：學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
教材p132中 9，10；p134中b組4(1).
第 1 2 頁 ?
與圓有關的比例線段知識點 圓中比例線段的題目解法篇五
建議
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節(jié)的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點；這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明.
難點：正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多，學生容易混淆.
2、建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習題課，講例4并做有關的練3.
（1）通過，組織學生自主觀察、發(fā)現(xiàn)問題、分析解決問題，逐步培養(yǎng)學生研究性學習意識，激發(fā)學生的學習熱情；
（2）在中，引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習，組織下，以學生為主體開展活動.
目標：
1.理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算；
2.學會作兩條已知線段的比例中項；
3.通過讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題，調(diào)動學生的思維積極性，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力和探索精神；
4.通過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法.
重點：
正確理解相交弦定理及其推論.
難點：
在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發(fā)生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.
活動設計
1、圖形變換：（利用電腦使ab與cd弦變動）
①引導學生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：∠a＝∠d，∠c＝∠b.
②進一步得出：△apc∽△dpb.
.
③如果將圖形做些變換，去掉ac和bd，圖中線段 pa，pb，pc，po之間的關系會發(fā)生變化嗎?為什么?
組織學生觀察，并回答.
2、證明：
已知：弦ab和cd交于⊙o內(nèi)一點p.
求證：pa·pb＝pc·pd.
（a層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明；b、c層學生在老師引導下完成）
（證明略）
1、
結合圖形讓學生用數(shù)學語言表達相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于點p，那么pa·pb＝pc·pd.
2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結論.
對兩條相交弦的位置進行適當?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，ab是直徑，并且ab⊥cd于p.
提問：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結論?
指出：pc2＝pa·pb.
請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確.糾正，并.
3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點c向直徑ab作垂線，垂足是p，則pc2＝pa·pb.?
若再連結ac，bc，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：
pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab
例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導學生根據(jù)題意列出方程并求出相應的解.
例2? 已知：線段a，b.
求作：線段c，使c2＝ab.
分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.
作法：口述作法.
這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發(fā)學生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習1 如圖，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.
變式練習：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的長度皆為整數(shù).那么cd的長度是 多少?
將條件隱化，增加難度，提高學生學習興趣
練習2 如圖，cd是⊙o的直徑，ab⊥cd，垂足為p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的長.
練習3? 如圖：在⊙o中，p是弦ab上一點，op⊥pc，pc 交⊙o于c.? 求證：pc2＝pa·pb?
引導學生分析：由ap·pb，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長 cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根據(jù)條件op⊥pc.易 證得pc＝pd問題得證.
（
知識：相交弦定理及其推論；
能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問題的能力和解決問題的能力；
思想方法：學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
教材p132中 9，10；p134中b組4(1).
目標：
1.掌握切割線定理及其推論，并初步學會運用它們進行計算和證明；
2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養(yǎng)學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力
3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論，培養(yǎng)學生辯證唯物主義的觀點.
重點：
理解切割線定理及其推論，它是以后學習中經(jīng)常用到的重要定理.
難點：
定理的靈活運用以及定理與推論問的內(nèi)在聯(lián)系是難點.
活動設計
1、引出問題：相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點.如果兩弦延長交于圓外一點p，那么該點到割線與圓交點的四條線段pa，pb，pc，pd的長之間有什么關系？(如圖1)
當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時，由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長pa，pb，pt之間又有什么關系？
2、猜想：引導學生猜想出圖中三條線段pt，pa，pb間的關系為pt2=pa·pb.
3、證明：
讓學生根據(jù)圖2寫出已知、求證，并進行分析、證明猜想.
分析：要證pt2=pa·pb，? 可以證明，為此可證以 pa·pt為邊的三角形與以pt，bp為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線tp，pb.(圖3).容易證明∠pta=∠b又∠p=∠p，因此△bpt∽△tpa，于是問題可證.
4、引導學生用語言表達上述結論.
（二）切割線定理的推論
1、再提出問題：當pb、pd為兩條割線時，線段pa，pb，pc，pd之間有什么關系?
觀察圖4，提出猜想：pa·pb=pc·pd.
2、組織學生用多種方法證明：
方法一：要證pa·pb=pc·pd，可證此可證以pa，pc為邊的三角形和以pd，pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線ac，bd，容易證明∠pac=∠d，∠p=∠p，因此△pac∽△pdb.? (如圖4)
方法二：要證，還可考慮證明以pa，pd為邊的三角形和以pc、pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線ad、cb.容易證明∠b=∠d，又∠p=∠p.? 因此△pad∽△pcb.(如圖5)
方法三：引導學生再次觀察圖2，2=pa·pb，同時pt2=pc·pd，于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd
（三）初步應用
例1? 已知：如圖6，⊙o的割線pab交⊙o于點a和b，pa=6厘米，ab=8厘米， po=109厘米，求⊙o的半徑.
分析：由于po既不是⊙o的切線也不是割線，故須將po延長交⊙o于d，構成了圓的一條割線，而od又恰好是⊙o的半徑，于是運用切割線定理的推論，問題得解.
（解略）示范解題.
例2? 已知如圖7，線段ab和⊙o交于點c，d，ac＝bd，ae，bf分別切⊙o于點e，f，
求證：ae＝bf.
分析：要證明的兩條線段ae，bf均與⊙o相切，且從a、b 兩點出發(fā)引的割線acd和bdc在同一直線上，且ac＝bd，ad＝bc.? 因此它們的積相等，問題得證.
學生自主完成，隨時糾正學生解題過程中出現(xiàn)的錯誤，如ae2＝ac·cd和bf2＝bd·dc等.
?
（四）小結
知識：切割線定理及推論；
能力：結合具體圖形時，應能寫出正確的等積式；
方法：在證明切割線定理和推論時，所用的構造相似三角形的方法十分重要，應注意很好地掌握.
（五）作業(yè)?教材p132中，11、12題.
最佳射門位置
國際足聯(lián)規(guī)定法國世界杯決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足球門寬7.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).
分析與解 是足球門，點p是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置，即向p上方或下方移動，視角都變小，因此點p實際上是過a、b且與邊線相切的圓的切點，如圖1所示.即op是圓的切線，而ob是圓的割線.
故 ，又 ，
ob=3034+732＝3766.
op=(米).
注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△bop可為任意角.
與圓有關的比例線段知識點 圓中比例線段的題目解法篇六
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節(jié)的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點；這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明.
難點：正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多，學生容易混淆.
2、教學建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習題課，講例4并做有關的練3.
（1）教師通過教學，組織學生自主觀察、發(fā)現(xiàn)問題、分析解決問題，逐步培養(yǎng)學生研究性意識，激發(fā)學生的熱情；
（2）在教學中，引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等，教師組織下，以學生為主體開展教學活動.
：
1.理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算；
2.學會作兩條已知線段的比例中項；
3.通過讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題，調(diào)動學生的思維積極性，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力和探索精神；
4.通過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法.
：
正確理解相交弦定理及其推論.
：
在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發(fā)生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.
情境
1、結合圖形讓學生用語言表達相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于點p，那么pa·pb＝pc·pd.
2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結論.
對兩條相交弦的位置進行適當?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，ab是直徑，并且ab⊥cd于p.
提問：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結論?
指出：pc2＝pa·pb.
請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確.教師糾正，并板書.
3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點c向直徑ab作垂線，垂足是p，則pc2＝pa·pb.?
若再連結ac，bc，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：
pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab
例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導學生根據(jù)題意列出方程并求出相應的解.
例2? 已知：線段a，b.
求作：線段c，使c2＝ab.
分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.
作法：口述作法.
這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發(fā)學生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習1 如圖，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.
變式練習：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的長度皆為整數(shù).那么cd的長度是 多少?
將條件隱化，增加難度，提高學生興趣
練習2 如圖，cd是⊙o的直徑，ab⊥cd，垂足為p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的長.
練習3? 如圖：在⊙o中，p是弦ab上一點，op⊥pc，pc 交⊙o于c.? 求證：pc2＝pa·pb?
引導學生分析：由ap·pb，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長 cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根據(jù)條件op⊥pc.易 證得pc＝pd問題得證.
（
知識：相交弦定理及其推論；
能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問題的能力和解決問題的能力；
思想方法：了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
教材p132中 9，10；p134中b組4(1).
：
1.掌握切割線定理及其推論，并初步學會運用它們進行計算和證明；
2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養(yǎng)學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力
3.能夠用運動的觀點切割線定理及其推論，培養(yǎng)學生辯證唯物主義的觀點.
：
理解切割線定理及其推論，它是以后中經(jīng)常用到的重要定理.
：
定理的靈活運用以及定理與推論問的內(nèi)在聯(lián)系是難點.
1、引出問題：相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點.如果兩弦延長交于圓外一點p，那么該點到割線與圓交點的四條線段pa，pb，pc，pd的長之間有什么關系？(如圖1)
當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時，由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長pa，pb，pt之間又有什么關系？
2、猜想：引導學生猜想出圖中三條線段pt，pa，pb間的關系為pt2=pa·pb.
3、證明：
讓學生根據(jù)圖2寫出已知、求證，并進行分析、證明猜想.
分析：要證pt2=pa·pb，? 可以證明，為此可證以 pa·pt為邊的三角形與以pt，bp為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線tp，pb.(圖3).容易證明∠pta=∠b又∠p=∠p，因此△bpt∽△tpa，于是問題可證.
4、引導學生用語言表達上述結論.
（二）切割線定理的推論
1、再提出問題：當pb、pd為兩條割線時，線段pa，pb，pc，pd之間有什么關系?
觀察圖4，提出猜想：pa·pb=pc·pd.
2、組織學生用多種方法證明：
方法一：要證pa·pb=pc·pd，可證此可證以pa，pc為邊的三角形和以pd，pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線ac，bd，容易證明∠pac=∠d，∠p=∠p，因此△pac∽△pdb.? (如圖4)
方法二：要證，還可考慮證明以pa，pd為邊的三角形和以pc、pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線ad、cb.容易證明∠b=∠d，又∠p=∠p.? 因此△pad∽△pcb.(如圖5)
方法三：引導學生再次觀察圖2，2=pa·pb，同時pt2=pc·pd，于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd
（三）初步應用
例1? 已知：如圖6，⊙o的割線pab交⊙o于點a和b，pa=6厘米，ab=8厘米， po=109厘米，求⊙o的半徑.
分析：由于po既不是⊙o的切線也不是割線，故須將po延長交⊙o于d，構成了圓的一條割線，而od又恰好是⊙o的半徑，于是運用切割線定理的推論，問題得解.
（解略）教師示范解題.
例2? 已知如圖7，線段ab和⊙o交于點c，d，ac＝bd，ae，bf分別切⊙o于點e，f，
求證：ae＝bf.
分析：要證明的兩條線段ae，bf均與⊙o相切，且從a、b 兩點出發(fā)引的割線acd和bdc在同一直線上，且ac＝bd，ad＝bc.? 因此它們的積相等，問題得證.
學生自主完成，教師隨時糾正學生解題過程中出現(xiàn)的錯誤，如ae2＝ac·cd和bf2＝bd·dc等.
?
（四）小結
知識：切割線定理及推論；
能力：結合具體圖形時，應能寫出正確的等積式；
方法：在證明切割線定理和推論時，所用的構造相似三角形的方法十分重要，應注意很好地掌握.
（五）作業(yè)?教材p132中，11、12題.
最佳射門位置
國際足聯(lián)規(guī)定法國世界杯決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).
分析與解 是足球門，點p是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置，即向p上方或下方移動，視角都變小，因此點p實際上是過a、b且與邊線相切的圓的切點，如圖1所示.即op是圓的切線，而ob是圓的割線.
故 ，又 ，
ob=3034+732＝3766.
op= (米).
注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△bop可為任意角.
與圓有關的比例線段知識點 圓中比例線段的題目解法篇七
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節(jié)的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點；這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明.
難點：正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多，學生容易混淆.
2、教學建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習題課，講例4并做有關的練3.
（1）教師通過教學，組織學生自主觀察、發(fā)現(xiàn)問題、分析解決問題，逐步培養(yǎng)學生研究性意識，激發(fā)學生的熱情；
（2）在教學中，引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等，教師組織下，以學生為主體開展教學活動.
：
1.理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算；
2.學會作兩條已知線段的比例中項；
3.通過讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題，調(diào)動學生的思維積極性，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力和探索精神；
4.通過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法.
：
正確理解相交弦定理及其推論.
：
在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發(fā)生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.
情境
1、結合圖形讓學生用語言表達相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于點p，那么pa·pb＝pc·pd.
2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結論.
對兩條相交弦的位置進行適當?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，ab是直徑，并且ab⊥cd于p.
提問：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結論?
指出：pc2＝pa·pb.
請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確.教師糾正，并板書.
3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點c向直徑ab作垂線，垂足是p，則pc2＝pa·pb.?
若再連結ac，bc，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：
pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab
例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導學生根據(jù)題意列出方程并求出相應的解.
例2? 已知：線段a，b.
求作：線段c，使c2＝ab.
分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.
作法：口述作法.
這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發(fā)學生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習1 如圖，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.
變式練習：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的長度皆為整數(shù).那么cd的長度是 多少?
將條件隱化，增加難度，提高學生興趣
練習2 如圖，cd是⊙o的直徑，ab⊥cd，垂足為p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的長.
練習3? 如圖：在⊙o中，p是弦ab上一點，op⊥pc，pc 交⊙o于c.? 求證：pc2＝pa·pb?
引導學生分析：由ap·pb，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長 cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根據(jù)條件op⊥pc.易 證得pc＝pd問題得證.
（
知識：相交弦定理及其推論；
能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問題的能力和解決問題的能力；
思想方法：了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
教材p132中 9，10；p134中b組4(1).
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1.掌握切割線定理及其推論，并初步學會運用它們進行計算和證明；
2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養(yǎng)學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力
3.能夠用運動的觀點切割線定理及其推論，培養(yǎng)學生辯證唯物主義的觀點.
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理解切割線定理及其推論，它是以后中經(jīng)常用到的重要定理.
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定理的靈活運用以及定理與推論問的內(nèi)在聯(lián)系是難點.
1、引出問題：相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點.如果兩弦延長交于圓外一點p，那么該點到割線與圓交點的四條線段pa，pb，pc，pd的長之間有什么關系？(如圖1)
當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時，由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長pa，pb，pt之間又有什么關系？
2、猜想：引導學生猜想出圖中三條線段pt，pa，pb間的關系為pt2=pa·pb.
3、證明：
讓學生根據(jù)圖2寫出已知、求證，并進行分析、證明猜想.
分析：要證pt2=pa·pb，? 可以證明，為此可證以 pa·pt為邊的三角形與以pt，bp為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線tp，pb.(圖3).容易證明∠pta=∠b又∠p=∠p，因此△bpt∽△tpa，于是問題可證.
4、引導學生用語言表達上述結論.
（二）切割線定理的推論
1、再提出問題：當pb、pd為兩條割線時，線段pa，pb，pc，pd之間有什么關系?
觀察圖4，提出猜想：pa·pb=pc·pd.
2、組織學生用多種方法證明：
方法一：要證pa·pb=pc·pd，可證此可證以pa，pc為邊的三角形和以pd，pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線ac，bd，容易證明∠pac=∠d，∠p=∠p，因此△pac∽△pdb.? (如圖4)
方法二：要證，還可考慮證明以pa，pd為邊的三角形和以pc、pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線ad、cb.容易證明∠b=∠d，又∠p=∠p.? 因此△pad∽△pcb.(如圖5)
方法三：引導學生再次觀察圖2，2=pa·pb，同時pt2=pc·pd，于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd
（三）初步應用
例1? 已知：如圖6，⊙o的割線pab交⊙o于點a和b，pa=6厘米，ab=8厘米， po=109厘米，求⊙o的半徑.
分析：由于po既不是⊙o的切線也不是割線，故須將po延長交⊙o于d，構成了圓的一條割線，而od又恰好是⊙o的半徑，于是運用切割線定理的推論，問題得解.
（解略）教師示范解題.
例2? 已知如圖7，線段ab和⊙o交于點c，d，ac＝bd，ae，bf分別切⊙o于點e，f，
求證：ae＝bf.
分析：要證明的兩條線段ae，bf均與⊙o相切，且從a、b 兩點出發(fā)引的割線acd和bdc在同一直線上，且ac＝bd，ad＝bc.? 因此它們的積相等，問題得證.
學生自主完成，教師隨時糾正學生解題過程中出現(xiàn)的錯誤，如ae2＝ac·cd和bf2＝bd·dc等.
?
（四）小結
知識：切割線定理及推論；
能力：結合具體圖形時，應能寫出正確的等積式；
方法：在證明切割線定理和推論時，所用的構造相似三角形的方法十分重要，應注意很好地掌握.
（五）作業(yè)?教材p132中，11、12題.
最佳射門位置
國際足聯(lián)規(guī)定法國世界杯決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).
分析與解 是足球門，點p是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置，即向p上方或下方移動，視角都變小，因此點p實際上是過a、b且與邊線相切的圓的切點，如圖1所示.即op是圓的切線，而ob是圓的割線.
故 ，又 ，
ob=3034+732＝3766.
op=(米).
注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△bop可為任意角.
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